2022年八年级数学下册知识点与典型例题 .pdf
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1、名师总结优秀知识点八年级数学下册知识点复习第十六章分式考点一、分式定义:如果 A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子BA叫做分式。分式有意义的条件是分母不为零,分式值为零的条件分子为零且分母不为零题型一:考查分式的定义下列代数式中:yxyxyxyxbabayxx1,21,22,是分式的有:yxyxyxyxbaba1,22. 题型二:考查分式有意义的条件:当x有何值时,下列分式有意义(1)44xx(2)232xx(3)122x(4)3|6xx( 5)xx11答: (1) (2) (3) (4) (5) 题型三:考查分式的值为0 的条件:当x取何值时,下列分式的值为0. (1)31xx(2
2、)42|2xx(3)653222xxxx答( 1) (2) (3) 题型四:考查分式的值为正、负的条件:(1)当x为何值时,分式为正;(2)当x为何值时,分式为负;(3)当x为何值时,分式为非负数 . 练习 : (1)已知分式11-xx的值是零,那么x 的值是()A-1 B0 C1 D(2)当 x_时,分式11x没有意义考点二:分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式,分式的值不变。1分式的基本性质:MBMAMBMABA2分式的变号法则:babababa题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. (1)yxyx413132
3、21( 2)baba04.003. 02. 0题型二:分数的系数变号【例 2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. (1)yxyx(2)baa(3)ba题型三:化简求值题【例 3】已知:511yx,求yxyxyxyx2232的值 . 提示:整体代入,xyyx5,转化出yx11. 【例 4】已知:21xx,求221xx的值 . 【例 5】若0)32(|1|2xyx,求yx241的值 . 考点三:分式的运算1确定最简公分母的方法:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2确定最大公因式的方法最大公因式的系数取分子、分母系
4、数的最大公约数;取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一:分式的混合运算1、计算24111aaaa的结果是 _2、计算)242(2222aaaaaa3、计算11xxxx题型二:化简求值题先化简后求值(1)已知:1x,求分子)121()144(48122xxxx的值;(2)已知:432zyx,求22232zyxxzyzxy的值;题型三:求待定字母的值【1】若关于x的分式方程3132xmx有增根,求m的值 . 【2】若分式方程122xax的解是正数,求a的取值范围 . 提示:032ax且2x,2a且4a. 32xx2) 1(35xxx84精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
5、归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页名师总结优秀知识点【3】若212143xBxAxxx,试求 A、 B的值 . 题型四:指数幂运算(1)下列各式中计算正确的是.A27133.B55aa.C23639aa.D538aaa(2)0322007125.02)21(注意:分式的通分和约分:关键先是分解因式分式的运算:分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。分式乘方法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方。分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。异分母的分式相加减
6、,先通分,变为同分母分式,然后再加减混合运算 : 运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。任何一个不等于零的数的零次幂等于1,=1(a;正整数指数幂运算性质(请同学们自己复习)也可以推广到整数指数幂特别是一个整数的-n 次幂等于它的n次幂的倒数,naan1考点四:分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程分式方程。解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母),把分式方程转化为整式方程。解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。解分式方程的步骤:(1) 能化简的先化简(2) 方程两边同乘以最简公分母,化
7、为整式方程;(3) 解整式方程; (4) 验根增根应满足两个条件:一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。列方程应用题的步骤是什么?(1) 审(作题时不写出);(2) 设; (3) 列; (4) 解; (5) 验(6)答应用题有几种类型基本上有五种:(1) 行程问题:基本公式:路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题(2) 数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法(3) 工程问题基本公式:工作量=工时工效(4) 顺水逆水问
8、题v 顺水 =v 静水 +v 水v 逆水 =v 静水 -v 水(5) 盈利问题基本公式:利润(售价进价)件数利润率%100进价利润1、解方程21133xxx2、某市今年1 月 1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨25,小明家去年12 月份的水费是18 元,而今年5 月份的水费是36 元已知小明家今年5 月份的用水量比去年12 月份多 6 立方米,求该市今年居民用水的价格3、某一工程队,在工程招标时,接到甲乙工程队的投标书,每施工一天,需付甲工程队工程款1.5 万元,付乙工程队工程款1.1 万元,工程领导小组根据甲乙两队的投标书预算,可有三种施工方案:(1)甲队单独完成此项工程刚好如期完工。
9、(2)乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5 天。(3)若甲、乙两队合作4 天,剩下的工程由乙队独做也正好如期完工。问哪一种施工方案最省工程款?4、一辆汽车开往距离出发地180 千米的目的地,出发后第1 小时内按原计划的速度行使,1 小时后加速为原来速度的 1.5 倍,并比原计划提前40 分到达目的地,求前1 小时的平均行使速度。考点五 . 科学记数法 :把一个数表示成na10的形式(其中a, n 是整数)的记数方法叫做科学记数法用科学记数法表示绝对值大于10 的 n 位整数时,其中10 的指数是整数位数减1 用科学记数法表示绝对值小于1 的正小数时 , 其中 10 的负指数是第一个非0数字前
10、面 0 的个数 ( 包括小数点前面的一个 0) 第十七章反比例函数1. 定义:形如y=k/x (k 为常数, k0)的函数称为反比例函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页名师总结优秀知识点2. 图像:反比例函数的图像属于双曲线。3. 性质 : 当 k0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y 值随 x 值的增大而减小;当 k0 时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y 值随 x 值的增大而增大。4.|k|的几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积
11、。考点一:反比例函数定义1、反比例函数的判定:下列函数中,y是x的反比例函数的是 D A3xy B.11xy C.21yx D.3yx2、K值确定:已知点A (-1 , 5)在反比例函数(0)kykx的图象上,则该函数的解析式为(C ) A:1yx B:25yx C:5yx D:5yx反比例函数35yx中,比例系数k=已知22(1)mymx是反比例函数,则m=1.已知 y2 与 x 成反比例,当x=3 时, y=1,则 y 与 x 的函数关系式为 . 已知 y=y1+y2,y1与 x+1 成正比例, y2与 x+1 成反比例,当x=0 时 y=-5, 当 x=2 时, y=-7 (1)求 y
12、与 x 之间的函数关系式(2)当 x=-2 时,求 y 的值3、点与解析式的关系:见考点3 第题第 3 问考点二:反比例函数图象与性质(1)反比例函数y=2x的图象位于 A 、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、三象限 D、第二、四象限(2)已知三角形的面积一定,则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是(D)(3) 已知反比例函数y=xm5的图象的一支在第一象限。(1)图象的另一支在哪个象限,常数m的取值是什么?(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b) 和 B( a/,b/), 如果 b b/,那么 a 与 a/有怎么样的大小关系?(4)、已知关于x 的函数)1(xk
13、y和xky(k0) ,它们在同一坐标系内的图象大致是()O x y A O x y B O x y C O x y D (5)已知反比例函数xy1的图象上有两点),(11yxA、),(22yxB且21xx,那么下列结论正确的是()A. 21yyB. 21yyC. 21yyD1y 与2y 之间的大小关系不能确定Ex:反比例函数图象上有三个点(x1,y1)( x2,y2)( x3,y3)其中 x1x20y2时 x 的取值范围是5、如图,已知反比例函数xky1和一次函数y2=ax+1的图象相交于第一象限内的点A,且点 A 的横坐标为1,过点 A作 AB垂直 x 轴于点 B,SAOB=1求反比例函数与
14、一次函数的解析式若一次函数y2=ax+1的图象与 x 轴交于点C,求 ACO 的度数结合图象直接写出当y1y20时 x 的取值范围。6.为了杀灭空气中的病菌,某学校对教室采用了熏毒法进行消毒,已知药物燃烧时, 室内每立方米空气中含药量y(mg)与时间 x(min) 成正比例;药物燃烧后,y 与 x 成反比例,请根据下图所提供的信息,回答下列问题。(1)药物分钟后燃毕;此时空气中每立方米的含药量是mg. (2)药物燃烧时,y 关于 x 的函数式为,自变量的取值范围是_. (3)药物燃烧后,y 关于 x 的函数式为,自变量的取值范围是_. (4)研究表明,当空气中每立方米含药量低于1.5mg 时,
15、学生方可安全进入教室。从药物燃烧开始,有位同学要回教室取东西,何时进入教室是安全的?请你给他合理的建议。第十八章勾股定理基本内容:1. 勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么222cba2. 勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足222cba。,那么这个三角形是直角三角形。3. 经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)考点分析:考点一:利用222cba求未知边。如在一直角三角形中有两边长分别是3、4,则其第三边长为5 或7(注意分类讨
16、论);印度数学家拜斯迦罗(公元11141185 年)的著作中,有个有趣的“荷花问题”,是以诗歌的形式出现的:湖静浪平六月天,荷花半尺出水面;忽来一阵狂风急,吹倒花儿水中偃. 湖面之上不复见,入秋渔翁始发现;残花离根二尺遥,试问水深尺若干?问题:这是一道数学诗,你能读懂诗意,求出水深是多少尺吗?分析:设水深为x 尺,则荷花高为(x+0.5)尺,如图形成直角三角形由勾股定理可列方程:222)5 .0(2xx,解之: x=3.75 一棵大树离地面9 米高处折断,树顶落在离树根底部12 米远处,求大树折断前的高度?答24 米考点二:直角三角形的判定问题1、已知:在 ABC 中, A、 B、 C 的对边
17、分别是a、 b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断 ABC 的形状。分析:移项,配成三个完全平方;三个非负数的和为0,则都为 0;已知a、 b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。2、已知:在 ABC 中, A、 B、 C 的对边分别是a、 b、c,a=n21,b=2n,c=n21(n1)求证: C=90。分析:运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤:先判断那条边最大。分别用代数方法计算出a2+b2和 c2的值。判断a2+b2和 c2是否相等,若相等,则是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形。要证 C=90,只要证 AB
18、C 是直角三角形, 并且 c 边最大。 根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。由于 a2+b2= ( n2 1)2( 2n)2=n42n21,c2=( n2 1)2= n42n21,从而 a2+b2=c2,故命题获证。3、已知:如图,在ABC 中, CD 是 AB 边上的高,且CD2=AD BD。求证: ABC 是直角三角形。分析: AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2 AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD BD+BD2 =(AD+BD )2=AB2练习: 1、若 ABC 的三边 a、b、c,满足( ab) (a2b2c2)=0,则 ABC 是()A
19、等腰三角形;B直角三角形;C等腰三角形或直角三角形;D等腰直角三角形。x 2 X+0.5 x BACD368oy(mg)x(min)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页名师总结优秀知识点2、已知 ABC 的三边为a、b、c,且 a+b=4,ab=1, c=14,试判定 ABC 的形状。3若 ABC 的三边 a、b、c,满足 a: b:c=1:1:2,试判断 ABC 的形状。考点三:互逆命题与互逆定理问题1、说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?同旁内角互补,两条直线平行。如果两个实数的平方相等,那么两个实数平
20、方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。分析:每个命题都有逆命题,说逆命题时注意将题设和结论调换即可,但要分清题设和结论,并注意语言的运用。理顺他们之间的关系,原命题有真有假,逆命题也有真有假,可能都真,也可能一真一假,还可能都假。考点四:面积问题1、已知:如图,四边形ABCD ,ADBC ,AB=4 ,BC=6,CD=5 ,AD=3 。求:四边形ABCD 的面积。分析:作DE AB ,连结 BD ,则可以证明ABD EDB (ASA );DE=AB=4 ,BE=AD=3 ,EC=EB=3 ;在 DEC中, 3、4、5 勾股数, DEC
21、为直角三角形,DE BC ;利用梯形面积公式可解,或利用三角形的面积。2、若 ABC 的三边 a、b、 c满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,求 ABC 的面积。考点五:折叠问题1、 如图,有一个直角三角形,两条直角边AC=6cm,BC=8cm, 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出 CD 的长吗?2如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C/处,BC/交AD于E,AD=8,AB=4,则DE的长为() A3 B4 C5 D6 考点六:无理数在数轴上表示问题如图所示:数轴上点A所表示的数为a,则 a 的值是( B )A5+
22、1 B5-1 C-5+1 D 5考点七:应用(航海、侧面展开图、最值,是否受污染问题)例为筹备迎新生晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸,如图(1) ,已知圆筒高 108 ,其截面周长为36 ,如果在表面缠绕油纸4 圈,应裁剪多长油纸分析:此题的难点在于将圆柱展开后,纸带会发生什么样的变化,纸带被相应剪断为相等的4 段,随着圆柱而展开解:将圆筒展开后成为一个矩形,如图(2)整个油纸也随之分成相等4 段只需求出AC 长即可,在RtABC 中, AB=36 ,BC=274108由勾股定理得AC2=AB2+BC2=362+272AC=45 ,故整个油纸的长为454=180
23、() 说明:此题对空间想象能力要求较高,一条曲线怎样随着圆柱的展开成为4 条线段,同学们可以用纸卷成一个筒帮助自己分析一下,将曲线变成直线来解决问题1如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13 海里的 A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120 海里,乙巡逻艇每小时航行50 海里,航向为北偏西40,问:甲巡逻艇的航向?2如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算一下产量。小明找了一卷米尺,测得AB=4米, BC=3米, CD=13米, DA=12米,又已知B=
24、90。3、一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到 B点 , 那么沿哪条路最近, 最短的路程是多少?已知长方体的长 2cm 、宽为 1cm 、高为 4cm. 4如图 6,一圆柱体的底面周长为24cm,高 AB 为 4cm,BC 是直径,一只蚂蚁从A 出发沿着圆柱体的表面爬到点C 的最短路程大约是()(A)6cm(B)12cm( C)13cm(D)16cm5、一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西 8km北 7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家 . 他要完成这件事情所走的最短路程是多少?6、如图, A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的 B处,以每小时40
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