三角恒等变换知识总结与解疑练习.docx
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1、精品名师归纳总结1. 三角函数恒等变形公式( 1)两角和与差公式( 2)二倍角公式( 3)三倍角公式( 4)半角公式( 5)万能公式,( 6)积化和差,( 7)和差化积,2. 网络结构可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 基础学问疑点辨析( 1)正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式?实际上,正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式,由于在和角公式中,是一个任意角,可正可负。另外,公式虽然形式不同,结构不同,但本质相同:。( 2)怎样正确懂得正切的和差角公式?正确懂得正切的和差角公式需要把握以下三点:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推导正切和角公式的关键步骤
2、是把公式,右边的“分子”、“分母”都除以,从而“化弦为切”,导出了。公式都适用于 为任意角,但运用公式 时,必需限定 ,都不等于。用 代替 ,可把 转化为 ,其限制条件同。( 3)正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用?不用运算器或查表,只通过笔算求得某些特别角(例如 15, 75, 105角等)的三角函数值。能由两个单角 的三角函数值,求得它们和差角的三角函数值。能由两个单角的三角函数值与这两个角的范畴,求得两角和的大小(留意这两个条件缺一不行)。能运用这些和(差)角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式,化简三角函数式,要留意公式可以正用,逆用和变用。运用这些公式可求得简洁三角函数式
3、的最大值或最小值。( 4)利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应留意什么?先用二倍角公式导出,再把两式的左边、右边分 别 相 除 , 得 到, 由 此 得 到 的 三 个 公 式 :,分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号,由所在的象限来确定,假如没有给出限制符号的条件,根号前面应保持正、负两个符号。另外,简洁证明。4. 三角函数变换的方法总结三角学中,有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等,都常常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧,而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广,是常用的解题工具,而且由于三角公式众多,方法敏捷多变,如能娴熟把握
4、三角恒等变换的技巧,不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的懂得,而且对进展数学规律思维才能,提高数学学问的综合运用才能都大有好处。下面通过例题的解题说明,对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨讨论。( 1)变换函数名对于含同角的三角函数式,通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式,通过“切割化弦”,“切割互化”,“正余互化”等途径来削减或统一所需变换的式子中函数的种类,这就是变换函数名法它实质上是“归一”思想,通过同一和化归以有利于问题的解决或发觉解题途径。【例 1】已知 同时满意和,且 a、 b 均不为 0,求 a、b 的关系。解析 :已知明显有:由 cos2 cos,得: 2acos2
5、2bcos =0即有: acos b=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a0所以, cos b/a将代入得: a( a/b) 2 b( b/a) 2a即 a4 b4 2a2b2 ( a2 b2) 20 即 a b点评 :本例是“化弦”方法在解有关问题时的详细运用,主要利用切割弦之间的基本关系式 。( 2)变换角的形式对于含不同角的三角函数式,通常利用各种角之间的数值关系,将它们相互表示,转变原角的形式,从而运用有关的公式进行变形,这种方法主要是角的拆变它应用广泛,方式敏捷,如 可变为( ) 。 2 可变为( )( )。 2 可变为( ) 。 2 可看作 4 的倍角。( 45
6、 )可看成( 90 2 )的半角等等。【例 2】求 sin( 75) cos( 45)cos( 15)的值。解析 :设 15 ,就原式 sin( 60) cos ( +30 )cos( sin cos60 cos sin60 )( cos cos30 sin sin30)cossin cos cos sin cos 0点评 :本例挑选一个适当的角为“基本量”,将其余的角变成某特别角与这个“基本量”的和差关系,这也是角的拆变技巧之一。【例 3】已知 sin sin( ) (其中 cos A ),试证明: tan( )证明 :已知条件可变为: sin( ) sin ( )所以有: sin ( )
7、cos cos ( ) sin sin ( ) sin ( )( cos) cos ( ) sin tan( )点评 :在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法,它往往是查找解题突破的关键。( 3)以式代值利用特别角的三角函数值以及含有1 的三角公式,将原式中的1 或其他特别值用式子代换,往往有助于问题得到简便的解决。这其中以“ 1”的变换为最常见且最敏捷。“ 1” 可以看作是 sin 2x cos2x, sec2x tan2x, csc2x cot2x, tanxcotx, secxcosx, tan45等, 依据解题的需要,适时的将“ 1”作某种变形,常能获得较抱负的解题方法。【
8、例 4】化简:解析 :原式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评 : 1“”的正用、逆用在三角变换中应用非常广泛。( 4)和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决,升幂和降次实际上就是和积互化的特别情形。这往往用到倍、半角公式。【例 5】解三角方程: sin2xsin 22x sin23x解析: 原方程变形为:( 1 cos2x)( 1 cos4x)( 1 cos6x) 即:1 cos6x cos2x cos4x22cos 3x 2cos3x cosx得:cos3x sin2x sinx 0解得:x或 x() 原方程的解集为x| x 或 x,点评 :题中先降次后升幂,这种交叉
9、使用的方法在解三角方程中时有显现,其目的是为了提取公因式。( 5)添补法与代数恒等变换一样,在三角变换中有时应用添补法对原式作肯定的添项裂项会使某些问题很便利的得以解决。将原式“配”上一个因子,同时除以这个式子也是添补法的一种特别情形。【例 6】 求证:证明 :左边右边 原式成立。点评 :本例中采纳“加一项再减去一项”,“乘一项再除以一项”的方法,其技巧性较强,目的都是为了便于分解因式进行约分化简。( 6)代数方法三角问题有时稍作置换,用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形,从而将三角问题转换成代数问题来解,而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等式等方法。可编辑资料 - -
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