2022年全国高考理科数学试题分类汇编立体几何 .pdf
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1、2013 年全国高考理科数学试题分类汇编7:立体几何一、选择题1 (2013 年高考新课标1(理)如图 , 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口 , 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()A35003cmB38663cmC313723cmD320483cm【答案】A 2 (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)设,m n是两条不同的直线,是两个不同的平面 , 下列命题中正确的是()A若,m,n, 则mnB若/,m,n, 则/mnC若mn,m,n, 则D若m,/mn,/n, 则【答案】D 3
2、(2013 年上海市春季高考数学)若两个球的表面积之比为1: 4, 则这两个球的体积之比为()A1: 2B1: 4C1:8D1:16【答案】C 4 (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)已知正四棱柱1111ABCDA B C D中12AAAB,则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于()A23B33C23D13【答案】A 5 (2013 年高考新课标1(理)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 37 页()A168B88C16 16D8 16【答案】A 6 (2013
3、年高考湖北卷(理) )一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V,2V,3V,4V, 上面两个简单几何体均为旋转体, 下面两个简单几何体均为多面体, 则有()A1243VVVVB1324VVVVC2134VVVVD2314VVVV【答案】C 7 (2013 年高考湖南卷 (理)已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形 , 则该正方体的正视图的面积不可能等于()A1B2C2-12D2+12【答案】C 8 (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)某四棱台的三视图如图所示, 则该四棱台的体积是精选学习资料 - - - - - -
4、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 37 页()A4B143C163D6【答案】B 9 (2013年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学(理) )已知nm,为异面直线 ,m平面,n平面. 直线l满足,lm ln ll, 则()A/, 且/lB, 且lC与相交 , 且交线垂直于lD与相交 , 且交线平行于l【答案】D 10 (2 013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)已知三棱柱111ABCA B C的侧棱与底面垂直, 体积为94, 底面是边长为3的正三角形 . 若P为底面111A B C的中心 , 则PA与平面ABC所成角的大小为()A512B3C4
5、D6【答案】B 11 (2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)某几何体的三视图如题5图所示 , 则该几何体的体积为()A5603B5803C200D24012211正视图俯视图侧视图第 5 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 37 页【答案】C 12 (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)已知三棱柱111ABCA B C的 6 个顶点都在球O的球面上 ,若34ABAC,,ABAC,112AA, 则球O的半径为()A3 172B2 10C132D3 10【答案】C 13 (2013 年高考江西卷(理
6、) )如图 , 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上, 且ABCD, 正 方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,m n, 那么mn()A 8 B9 C10 D 11【答案】A 14 (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学(理) )一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时, 以zOx平面为投影面, 则得到正视图可以为()ABCD【答案】A 15 (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)在下列命题中, 不是公理的是()精选学习资料 - -
7、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 37 页A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A 16 (2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)在空间中 , 过点A作平面的垂线 , 垂足为B, 记)(AfB. 设,是两个不同的平面, 对空间任意一点P,)(),(21PffQPffQ, 恒有21PQPQ, 则()A平面与平面垂直B平面与平面所成的 (锐
8、) 二面角为045C平面与平面平行D平面与平面所成的 ( 锐) 二面角为060【答案】A 17 (2013 年高考四川卷(理) )一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是【答案】D 二、填空题18 ( 2013年 高 考 上 海 卷 ( 理 )在xOy平 面 上 , 将 两 个 半 圆 弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y和1y围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分. 记 D绕 y轴旋转一周而成的几何体为, 过(0, )(| 1)yy作的水平截面 , 所得截面面积为2418y,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体, 得出的体积值为 _ 精选学习资
9、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 37 页【答案】2216. 19 (2013 年高考陕西卷(理) )某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 _. 1121【答案】320 (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆 , 其公共弦长等于球O的半径 ,32OK, 且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60, 则球O的表面积等于 _.【答案】1621 (2013 年高考北京卷(理) )如图 , 在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点 , 点P在线段D1E上 , 点P到
10、直线CC1的距离的最小值为_. 【答案】2 5522 ( 2013年 普 通 高等学校招生全国统一招生考 试江苏卷(数学) )如图 , 在三棱柱ABCCBA1111D1BPD1CCEBA1A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 37 页中 ,FED,分 别 是1AAACAB,的 中 点 , 设 三 棱 锥A D EF的 体 积 为1V, 三 棱 柱A B CCBA111的体积为2V, 则21:VV_. 【答案】1: 2423 (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)若某几何体的三视图( 单位 :cm) 如图所示 ,
11、 则此几何体的体积等于_2cm. 【答案】24 24 (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)如图 , 正方体1111ABCDA B C D的棱长为1,P 为BC的中点 ,Q 为线段1CC上的动点 , 过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_ _(写出所有正确命题的编号). 当102CQ时,S 为四边形; 当12CQ时,S 为等腰梯形; 当34CQ时,S 与11C D的交点 R满足1113C R; 当314CQ时,S 为六边形; 当1CQ时,S 的面积为62.【答案】25 (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)某几何体的三视图如图所示,
12、 则该几何体的体积是. 43233正视图侧视图俯视图(第 12 题图)ABCADEFBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 37 页【答案】161626 (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)已知某一多面体内接于一个简单组合体, 如果该组合体的正视图. 测试图 . 俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为2 的正方形 , 则该球的表面积是_ 【答案】1227 (2013 年上海市春季高考数学)在如图所示的正方体1111ABCDA B C D中, 异面直线1A B与1B C所成角的大小为 _ 【答案】3三、解答
13、题28 (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)如图 ,AB 是圆的直径 ,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点 . (I) 求证 :PACPBC平面平面;(II)2.ABACPACPBA若,1,1,求证:二面角的余弦值D1C1B1A1DCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 37 页【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 37 页29 ( 2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 ( 理 )如 图 ,
14、 四 棱 锥PA B C D中 ,PAABCD底面,2,4,3BCCDACACBACD,F为PC的中点 ,AFPB. (1) 求PA的长 ; (2)求二面角BAFD的正弦值 . 【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 37 页30 (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)如图 , 圆锥顶点为p. 底面圆心为o, 其母线与底面所成的角为22.5 .AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦, 轴OP与平面PCD所成的角为60. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
15、-第 11 页,共 37 页( ) 证明 : 平面PAB与平面PCD的交线平行于底面 ; () 求cos COD. 【答案】解: ( ) PABP D,/ / /CmABCDCDPCDABPCD设面面直线且面面/ /ABm直线ABCDmABCDAB面直线面/. 所以 ,ABCDDPPAB的公共交线平行底面与面面C. ( ) rPOOPFFCDr5 .22tan.60,由题知,则的中点为线段设底面半径为. 5.22tan15.22tan245tan,2cos5 .22tan60tan60tan,2CODrOFPOOF. )223( 3), 1-2(321cos, 1-25.22tan12cos2
16、cos22CODCODCOD212-17cos.212-17cosCODCOD所以. 法二 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 37 页31 ( 2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)如图 , 在四面体BCDA中 ,AD平面BCD,22,2,BDADCDBC.M是AD的中点 ,P是BM的中点 , 点Q在线段AC上, 且QCAQ3. (1) 证明 :/PQ平面BCD;(2) 若二面角DBMC的大小为060, 求BDC的大小 . 【答案】解: 证明( ) 方法一 : 如图 6, 取MD的中点F, 且M是AD中点
17、, 所以3AFFD. 因为P是BM中点 , 所以/ /PFBD; 又因为 ( )3AQQC且3AFFD, 所以/ /QFBD, 所以面/ /PQF面BDC, 且PQ面BDC, 所以/ /PQ面BDC; ABCDPQM(第 20 题图)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 37 页方法二 : 如图7 所示 , 取BD中点O, 且P是BM中点 , 所以1/ /2POMD; 取CD的三等分点H, 使3DHCH, 且3AQQC, 所 以11/ / /42QHADMD, 所 以/ / /P OQ HP QO H, 且OHBCD, 所以
18、/ /PQ面BDC; ( ) 如图 8 所示 , 由已知得到面ADB面BDC, 过C作CGBD于G, 所以CGBMD, 过G作GHBM于H, 连 接CH, 所 以C H G就 是CB MD的 二 面 角 ; 由 已 知 得 到813BM, 设BDC, 所以cos ,sin2 2cos ,2 2cossin,2 2sin,CDCGCBCDCGBCBDCDBD, 在RT BCG中 ,2sin2 2sinBGBCGBGBC, 所 以 在R TB H G中 , 2212 2sin332 2sinHGHG,所以在RT CHG中22 2cossintantan6032 2sin3CGCHGHGtan3(0
19、,90 )6060BDC; 32 (2013 年上海市春季高考数学)如图 ,在正三棱锥111ABCA B C中,16AA, 异面直线1BC与1AA所成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 37 页角的大小为6, 求该三棱柱的体积. 【答案】 解 因为1CC1AA. 所以1BC C为异面直线1BC与1AA. 所成的角 ,即1BC C=6. 在 Rt1BC C中,113tan62 33BCCCBC C, 从而233 34ABCSBC, 因此该三棱柱的体积为13 3 618 3ABCVSAA. 33 (2013 年普通高等学校招生
20、全国统一招生考试江苏卷(数学)本小题满分14 分. 如图 , 在三棱锥ABCS中 , 平面SAB平面SBC,BCAB,ABAS, 过A作SBAF, 垂足为F, 点GE,分别是棱SCSA,的中点 . 求证 :(1) 平面/EFG平面ABC; (2)SABC. 【答案】证明:(1) ABAS,SBAFF 分别是 SB的中点E.F 分别是 SA.SB 的中点EF AB又EF平面 ABC, AB平面 ABC EF 平面ABC 同理:FG平面ABC 又EFFG=F, EF.FG平面 ABC 平面/EFG平面ABC(2) 平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=BC AF平面 SAB AF SBAF 平
21、面 SBC 又BC平面 SBC AF BC 又BCAB, ABAF=A, AB.AF平面 SAB BC 平面SAB又SA平面 SAB BC SA34 (2013 年高考上海卷(理) )如图 , 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1, 证明直线BC1平行于平面ABCSGFEB1A1C1ACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 37 页DA1C,并求直线BC1到平面 D1AC的距离 . D1C1B1A1DCBA【答案】因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体 , 故1111/,ABC DABC
22、D, 故 ABC1D1为平行四边形, 故11/BCAD, 显然 B不在平面D1AC上, 于是直线BC1平行于平面DA1C; 直线 BC1到平面 D1AC的距离即为点B到平面 D1AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD1的体积 , 以 ABC为底面 , 可得111(1 2)1323V而1AD C中,115,2ACDCAD, 故132AD CS所以 ,13123233Vhh, 即直线 BC1到平面 D1AC的距离为23. 35 ( 2013年高考湖北卷(理)如图 ,AB是圆O的直径 , 点C是圆O上异于,A B的点 , 直线PC平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点 . (I) 记平面BEF与平面A
23、BC的交线为l, 试判断直线l与平面PAC的位置关系 , 并加以证明 ; (II)设(I) 中的直线l与圆O的另一个交点为D, 且点Q满足12DQCP. 记直线PQ与平面ABC所 成 的 角 为, 异 面 直 线PQ与EF所 成 的 角 为, 二 面 角ElC的 大 小 为, 求证:sinsinsin. 【答案】解:(I)EFAC,ACABC平面,EFABC平面EFABC平面又EFBEF平面第 19 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 37 页EFllPAC平面(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证.( 这一
24、题用几何方法较快, 向量的方法很麻烦, 特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 37 页36 ( 2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 广 东 省 数 学 ( 理 )如 图1, 在 等 腰 直 角 三 角 形ABC中 ,90A,6BC,D E分别是,AC AB上的点 ,2CDBE,O为BC的中点 . 将ADE沿DE折起 , 得到如图2 所示的四棱锥ABCDE, 其中3A O. ( ) 证明 :AO平面BCDE;
25、 () 求二面角ACDB的平面角的余弦值. 【答案】( ) 在图 1 中, 易得3,3 2,2 2OCACAD. C O B D E A C D O B E A图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 37 页C D O x E A向量法图y z B 连结,OD OE, 在OCD中, 由余弦定理可得222cos455ODOCCDOC CD由翻折不变性可知2 2A D, 所以222A OODA D, 所以A OOD, 理可证A OOE, 又ODOEO, 所以A O平面BCDE. ( ) 传统法 : 过O作OHCD交
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