2014届高考数学(理)一轮复习资料学习知识重点逐个击破专业题材讲座-函数的奇偶性与周期性(人教A版).doc
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1、.2014届数学一轮知识点讲座:函数的奇偶性与周期性一、考纲目标1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.运用函数图像,理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性; 二、知识梳理(一)函数的奇偶性1.定义:如果对于函数f (x)的定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x),那么这个函数就是偶(奇)函数;2.性质及一些结论:(1)定义域关于原点对称;(2)偶函数的图象关于轴对称,奇函数的图象关于原点对称;(3)为偶函数(4)若奇函数的定义域包含,则因此,“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件;(5)判断函
2、数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响; (6)断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:,(7)设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇(8)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(二)函数的周期性1.定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期2.简单理解:一般所说的周期是指函数的最小正周期,周期函数的定义域一定是无限集,但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破 1奇偶性辨析
3、例1.下面四个结论:偶函数的图象一定与y轴相交;奇函数的图象一定通过原点;偶函数的图象关于y轴对称;既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR),其中正确命题的个数是A1 B.2 C.3 D.4分析:偶函数的图象关于y轴对称,但不一定相交,因此正确,错误奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此不正确若y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但不一定xR,如例1中的(3),故错误,选A说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)|x|(x21);(2)f(x);(3)f(x);(4)f(x);(5)f
4、(x)(x1).解析 (1)此函数的定义域为R.f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x),f(x)f (x),即f(x)是偶函数(2)此函数的定义域为x0,由于定义域关于原点不对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)此函数的定义域为2,由于定义域关于原点不对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4)此函数的定义域为1, 1,且f(x)0,可知图像既关于原点对称,又关于y轴对称,故此函数既是奇函数又是偶函数(5)定义域:1x1是关于原点不对称区间,故此函数为非奇非偶函数2.奇偶性的应用例3.已知函数对一切,都有,(1)求证:是奇函数;(2)若,用表示解:(1)显然的定义域是,它关
5、于原点对称.在中,令,得,令,得,即, 是奇函数(2)由,及是奇函数,得例4.(1)已知是上的奇函数,且当时,则的解析式为(2)已知是偶函数,当时,为增函数,若,且,则 () 例5设为实数,函数,(1)讨论的奇偶性; (2)求 的最小值解:(1)当时, ,此时为偶函数;当时,此时函数既不是奇函数也不是偶函数(2)当时,函数,若,则函数在上单调递减,函数在上的最小值为;若,函数在上的最小值为,且当时,函数,若,则函数在上的最小值为,且;若,则函数在上单调递增,函数在上的最小值综上,当时,函数的最小值是,当时,函数的最小值是,当,函数的最小值是3.函数周期性的应用例6设f(x)是定义在R上的奇函数
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