2016年度挑战中考数学压轴题函数图象中点的存在性问答相似三角形.doc
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1、第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k0)与直线yx2都经过点A(2, m) (1)求k与m的值;(2)此双曲线又经过点B(n, 2),过点B的直线BC与直线yx2平行交y轴于点C,联结AB、AC,求ABC的面积;(3)在(2)的条件下,设直线yx2与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点A、C、E所组成的三角形与ACD相似,且相似比不为1,求点E的坐标图1 动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”,拖动点E在射线CB上运动,可以体验到,ACE与ACD相似,存在
2、两种情况思路点拨1直线AD/BC,与坐标轴的夹角为452求ABC的面积,一般用割补法3讨论ACE与ACD相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程满分解答(1)将点A(2, m)代入yx2,得m4所以点A的坐标为(2, 4)将点A(2, 4)代入,得k8(2)将点B(n, 2),代入,得n4所以点B的坐标为(4, 2)设直线BC为yxb,代入点B(4, 2),得b2所以点C的坐标为(0,2)由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2),可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2,B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4所以AB,BC,ABC90 图2所以SABC8 (3)由
3、A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2),得AD,AC由于DACACD45,ACEACD45,所以DACACE所以ACE与ACD相似,分两种情况:如图3,当时,CEAD此时ACDCAE,相似比为1如图4,当时,解得CE此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10,所以E(10, 8)图3 图4考点伸展第(2)题我们在计算ABC的面积时,恰好ABC是直角三角形一般情况下,在坐标平面内计算图形的面积,用割补法如图5,作ABC的外接矩形HCNM,MN/y轴由S矩形HCNM24,SAHC6,SAMB2,SBCN8,得SABC8图5例2 2014年武汉市中考第24题如图1,RtABC中,ACB
4、90,AC6 cm,BC8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0t2),连接PQ(1)若BPQ与ABC相似,求t的值;(2)如图2,连接AQ、CP,若AQCP,求t的值;(3)试证明:PQ的中点在ABC的一条中位线上图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”,拖动点P运动,可以体验到,若BPQ可以两次成为直角三角形,与ABC相似当AQCP时,ACQCDPPQ的中点H在ABC的中位线EF上思路点拨1BPQ与ABC有公共角,按照夹角相等,对应边成比例,分两种情况列方程
5、2作PDBC于D,动点P、Q的速度,暗含了BDCQ3PQ的中点H在哪条中位线上?画两个不同时刻P、Q、H的位置,一目了然满分解答(1)RtABC中,AC6,BC8,所以AB10BPQ与ABC相似,存在两种情况: 如果,那么解得t1 如果,那么解得图3 图4(2)作PDBC,垂足为D在RtBPD中,BP5t,cosB,所以BDBPcosB4t,PD3t当AQCP时,ACQCDP所以,即解得图5 图6(3)如图4,过PQ的中点H作BC的垂线,垂足为F,交AB于E由于H是PQ的中点,HF/PD,所以F是QD的中点又因为BDCQ4t,所以BFCF因此F是BC的中点,E是AB的中点所以PQ的中点H在AB
6、C的中位线EF上考点伸展本题情景下,如果以PQ为直径的H与ABC的边相切,求t的值如图7,当H与AB相切时,QPAB,就是,如图8,当H与BC相切时,PQBC,就是,t1如图9,当H与AC相切时,直径,半径等于FC4所以解得,或t0(如图10,但是与已知0t2矛盾)图7 图 8 图9 图10例3 2012年苏州市中考第29题如图1,已知抛物线(b是实数且b2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C(1)点B的坐标为_,点C的坐标为_(用含b的代数式表示);(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且PBC是以点P为直角顶点的
7、等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”,拖动点B在x轴的正半轴上运动,可以体验到,点P到两坐标轴的距离相等,存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻双击按钮“第(3)题”,拖动点B,可以体验到,存在OQAB的时刻,也存在OQAB的时刻思路点拨1第(2)题中,等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等2联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等
8、高的三角形,底边可以用含b的式子表示3第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上满分解答(1)B的坐标为(b, 0),点C的坐标为(0, )(2)如图2,过点P作PDx轴,PEy轴,垂足分别为D、E,那么PDBPEC因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3,联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b解得所以点P的坐标为()图2 图3(3)由,得A(1, 0),OA1如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么OQCQOA当,即时,BQAQOA所以解得所以符合题意的点Q为()如图5,以OC为直径的圆与直线x1交于
9、点Q,那么OQC90。因此OCQQOA当时,BQAQOA此时OQB90所以C、Q、B三点共线因此,即解得此时Q(1,4)图4 图5考点伸展第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而QOA与QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样,先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中,圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB4OC矛盾例4 2012年黄冈市中考模拟第25题如图1,已知抛物线的方程C1: (m0)与x轴交于点B、C,与y轴交于
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