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1、- 1 - 课题名称导数及其应用教学目标同步教学知识内容1,导数的定义及其几何意义;2,求导基本公式;3,四则运算求导法则,复合求导法则;4,导数在求函数求单调性、极值、最值中的应用;5,定积分的定义、几何意义、应用;6,微积分基本定律个性化学习问题解决重视对基本定义、概念的理解,掌握基本的运算公式,掌握中等难度的常规题目的解题思路与方法。做题时注意细节,注重解题方法、思路的归纳总结。教学重点1,求导的四则运算法则、复合求导法则;2,导数的应用;3,定积分概念、几何意义及应用;4,微积分基本定律;教学难点导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用定积分的应用教务部主办审批精选学习资料 -
2、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页- 2 - 一、基本知识点1,导数:当x趋近于零时,xxfxxf)()(00趋近于常数 C。可用符号 “ ” 记作:当0 x时,xxfxxf)()(00c或记作cxxfxxfx)()(lim000,符号 “”读作“ 趋近于 ” 。函数在0 x的瞬时变化率,通常称作)(xf在0 xx处的导数,并记作)(0 xf。即xxfxxfxfx)()(l i m)(00002,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率;导数的物理意义,通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。即若点),(00yxP为曲线上一点,则过
3、点),(00yxP的切线的斜率xxfxxfxfkx)()(l i m)(0000切由于函数)(xfy在0 xx处的导数,表示曲线在点)(,(00 xfxP处切线的斜率,因此,曲线)(xfy在点)(,(00 xfxP处的切线方程可如下求得:(1)求出函数)(xfy在点0 xx处的导数,即曲线)(xfy在点)(,(00 xfxP处切线的斜率。(2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为:)(000 xxxfyy,如果曲线)(xfy在点)(,(00 xfxP的切线平行于y轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为0 xx,故过点),(00yxP的切线的方程为:)(000 xxxf
4、yy3,导数的四则运算法则:(1))()() )()(xgxfxgxf(2))()()()( )()(xgxfxgxfxgxf(3))()()()()()()(2xgxgxfxfxgxgxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页- 3 - 4,几种常见函数的导数:(1)(0为常数CC(2)(1Qnnxxnn)((3)xxcos)(sin(4)xxsin)(cos(5)xx1)(ln(6)exxaalog1)(log(7)xxee )(8)aaaxxln)(5,函数的单调性:在某个区间),(ba内,如果0)(xf,那么函数
5、)(xfy在这个区间内单调递增;如果0)(xf,那么函数)(xfy在这个区间内单调递减。6,函数的极值求函数 yfx 的极值的方法是:解方程0fx当00fx时:1 如果在0 x 附近的左侧0fx,右侧0fx,那么0fx是极大值;2 如果在0 x 附近的左侧0fx,右侧0fx,那么0fx是极小值7,函数的最大值和最小值(1)设)(xfy是定义在区间ba,上的函数,)(xfy在),(ba内有导数,求函数)(xfy在ba,上的最大值与最小值,可分两步进行:1 求)(xfy在),(ba内的极值;2 将)(xfy在各极值点的极值与)(af、)(bf比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值;(2)
6、若函数)(xf在ba,上单调增加,则)(af为函数的最小值,)(bf为函数的最大值;若函数)(xf在ba,上单调递减,则)(af为函数的最大值,)(bf为函数的最小值 . 注意: (1)在求函数的极值时,应注意:使导函数)(xf取值为 0 的点可能是它的极值点,也可能不是极值点。例如函数3)(xxf的导数23)(xxf,在点0 x处有0)0(f,即点0 x是3)(xxf的驻点,但从)(xf在,上为增函数可知,点0 x不是)(xf的极值点 . (2)在求实际问题中的最大值和最小值时,一般是先找出自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域.如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可精选学习资料
7、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页- 4 - 导(其实只要是初等函数, 它在自己的定义域内必然可导) , 并且按常理分析,此函数在这一开区间内应该有最大(小)值,然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个点使得导函数为0, 那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大(小)值。(3)极大(小)值与最大(小)值的区别与联系。8,定积分的定义如果函数f(x)在区间 a,b上连续,用分点ax0 x1xi1xixnb,将区间a,b等分成 n 个小区间,在每个小区间 xi1,xi上任取一点 i(i1,2,n),作和式11()()nniiiiba
8、fxfn,当 n 时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间 a,b上的定积分, 记作abf(x)dx。即badx)x(f=)(fnablimin1in。注:在abf(x)dx 中中 f(x)叫做被积函数, x 叫做积分变量,f(x) dx 叫做被积式, b,a分别叫做积分上限和下限,区间a,b叫做积分区间。9,曲边梯形:曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形,通常称为曲边梯形。根据定积分的定义,曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数( )yf x在区间ab,上的定积分,即( )baSf x dx。求曲边梯形面积的四个步骤:第一步:分割在区间ab,中插入1n各分点,将它们等
9、分成n个小区间1iixx,12in, ,区间1iixx,的长度1iiixxx;第二步:近似代替, “ 以直代曲 ” ,用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出每个小曲边梯形面积的近似值;第三步:求和;第四步:取极限。10,定积分的几何意义:badx)x(f表示介于 x 轴,曲线 y=f(x),与直线 x=a,x=b 之间部分的曲边梯形面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号。如下图( 1) (2) :精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页- 5 - 11,微积分基本定理 (牛顿-莱布尼兹公式 )
10、:如果( )( )Fxf x, 且( )f x在,a b上可积,则( )( )( )baf x dxF bF a, 其中( )F x叫做( )f x的一个原函数。由于( )( )F xcf x,( )F xc也是( )f x的原函数,其中c为常数一般地,原函数在,a b上的改变量( )( )F bF a简记作( )baF x,因此,微积分基本定理可以写成形式:( )( )( )( )bbaaf x dxF xF bF a12,定积分的性质 : babadx)x(fkdx)x(kf,(其中 k 为常数 );bababadx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f ;bccabadx)x(fdx)
11、x(fdx)x(f(其中 abc)。13,利用函数的奇偶性求定积分:若 f(x)是-a,a上的奇函数 ,则0dx)x(faa;若 f(x)是-a,a上的偶函数 ,则a0aadx)x(f2dx)x(f. 14,定积分的求法:定义法(用微分思想求曲边梯形的面积,分割、近似代替、求和、取极限);牛顿 -莱布尼兹公式法;几何意义法:若 y=f(x) 、x 轴与直线 x=a,x=b 之间的各部分区域是可求面积的规则图形,则可直接求其面积;利用奇、偶函数的性质求。二、经典例题练习1, 若函数( )yfx在区间( , )a b内可导,且0( , )xa b 则000()()limhf xhf xhh的值为
12、( )A0()fxB02()fxC02()fxD02,若2)(0 xf,则kxfkxfk2)()(lim000等于。3,已知曲线mxy331的一条切线方程是44yx,则 m的值为().A43.B283.C43或283.D23或1334,若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为ABCD5,已知函数2)12()(23xaaxxf, 若1x是)(xfy的一个极值点, 则a值为()A2 B.-2 C. 72D.4 6,已知函数223)(abxaxxxf在1x处有极值为 10,则)2(f= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页-
13、6 - 7,已知直线1l 为曲线2)(3xxxf在点(1,0)处的切线,直线2l 为该曲线的另一条切线,且2l 的斜率为 1.1 求直线1l 、2l 的方程;2 求由直线1l 、2l 和 x 轴所围成的三角形面积。8,已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值 . 1 讨论(1)f和( 1)f函数的( )fx的极大值还是极小值;2 过点(0,16)A作曲线)(xfy的切线,求此切线方程 . 9,已知函数13)(23xxaxxf在R上是减函数,求 a的取值范围;10,已知函数 f(x)x3ax2bxc 在 x32-与 x1 时都取得极值(1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间(2)
14、若对 x 1,2,不等式 f(x)c2恒成立,求 c 的取值范围。11,甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处,乙厂到河岸的垂足D 与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和 5a元,问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省?三、专题测试一、选择题(每小题4 分, 共 48 分)1设函数( )yfx可导,则0(1)(1)lim3xfxfx等于() A(1)fB3(1)fC1(1)3fD以上都不对2一个物体的运动方程为21tts其中s的单位是米,t的单位是
15、秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒3若曲线21yx与31yx在0 xx处的切线互相垂直,则0 x等于() A3366B3366C23D23或 0 4函数)(xfy在一点的导数值为0是函数)(xfy在这点取极值的()A充分条件B必要条件C充要条件D必要非充分条件CDBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页- 7 - 5设( )fx是函数( )f x的导数,( )yfx的图像如图所示,则( )yf x的图像最有可能的是() 6函数3( )2f xxax在区间1,)内是增函数,则实数
16、a的取值范围是() A3,)B 3,)C( 3,)D(, 3)7函数xxyln的最大值为()A1eBeC2eD3108由直线21x,2x,曲线xy1及x轴所围图形的面积是() A. 415B. 417C. 2ln21D.2ln29函数3( )33f xxbxb在(0,1)内有极小值,则() A01bB1bC0bD12b1021yax的图像与直线yx相切,则a的值为() A18B14C12D1 11将和式的极限)0(.321lim1pnnPppppn表示成定积分()Adxx101Bdxxp10Cdxxp10)1(Ddxnxp10)(12下列等于1 的积分是()Adxx10Bdxx10) 1(Cd
17、x101Ddx1021二、填空题(每小题4 分,共 16 分)13dxx|4|102= 14由定积分的几何意义可知dxx2224=_A 0 xy1 2 xyB 0 1 2 xyC 0 1 2 xyD 0 1 2 2 1 xy0 ( )yfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页- 8 - 15.如图,一矩形铁皮的长为8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为时,盒子容积最大. 16. 函数432( )41f xxxax在区间0,1上单调递增,在区间1,2上单调递减,则
18、a= . 三、解答题17( 12 分)计算下列定积分的值(1)312)4(dxxx;( 2)215) 1(dxx;(3)dxxx20)sin(;( 4)dxx222cos;18 (本题 10 分)已知1x,求证:ln(1)xx19. (本题 10 分) 已知cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1), 且在1x处的切线方程是2yx(1)求)(xfy的解析式;(2)求)(xfy的极值。20 (12 分)求曲线xxxy223与x轴所围成的封闭图形的面积21 (本题 12 分)某商品每件成本9 元,售价 30 元,每星期卖出432 件. 如果降低价格。销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品
19、单价的降低销x(单位:元,300 x)的平方成正比. 已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出24 件. ( ) 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 ; ( ) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?四、解题思路总结1,对考查导数定义的题型,一定要记住,把已知等式化为和导数定义式同等形式,再利用导数的定义求解;2, 一定要记住教材中所给的8 个常见函数的导数及导数的四则运算、复合函数求导法则,这是求导基础;3, 连续的闭区间内必有最大值和最小值,比较各极值点和端点的函数值的大小即可求出;4,导数的几何意义是过曲线上一点的切线的斜率,这在综合题型中考查的比较多,一般是联合函数求导、直线方
20、程、定积分的知识,因此要掌握这三个方面的知识点;5,求解定积分时,要注意灵活应用奇函数、偶函数的定积分性质和定积分的几何意义。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页- 9 - CCADC BADAB BC 13. 31114 . 215. 1cm 16. 4 17 (1)320(2)61(3)182(4)218证明:设( )ln(1)f xxx(1x) ,1( )111xfxxx(1x) , ( )0fx,( )f x在(1,)是增函数,又(1)1ln 21ln0fe,即(1)0f( )0f x,即ln(1)xx(1x)
21、 19解:(1)cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1),则1c,3( )42,(1)421,fxaxbx kfab切点为(1, 1),则cbxaxxf24)(的图象经过点(1, 1)得591,22abcab得4259( )122f xxx(2)极小值4041,极大值 1 20解: 首先求出函数xxxy223的零点:11x,02x,23x.又易判断出在)0,1(内,图形在x轴下方,在)2,0(内,图形在x轴上方,所以所求面积为dxxxxA0123)2(dxxxx2023)2(123721解:()设商品降价x元,则多卖的商品数为2kx,若记商品在一个星期的获利为)(xf,则依题意有)432)(21)(432)(930()(22kxxkxxxf又由已知条件,2224k,于是有6k, 所以90724321266)(23xxxxf,30, 0 x( )根据() ,我们有)12)(2(1843225218)(2/xxxxxfx0, 22 (2, 12)12 (12,30))(/xf- 0 + 0 - )(xf单调递减极小单调递增极大单调递减故12x时,)(xf达到极大值,因为9072)0(f、11264)12(f,所以定价为181230元能使一个星期的商品销售利润最大. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页
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