2022年广州高中数学奥赛班专题资料-由数列的递推公式求通项公式 .pdf
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1、立身以立学为先,立学以读书为本由数列的递推公式求通项公式一准备知识所谓数列,简单地说就是有规律的(有限或无限多个)数构成的一列数,常记作an,an的公式叫做数列的通项公式常用的数列有等差数列和等比数列等差数列等比数列定义数列 an 的后一项与前一项的差anan1为常数 d数 列 an 的 后 一 项 与 前 一 项 的 比1nnaa为常数 q(q0)专有名词d 为公差q 为公比通项公式an=a1+(n1)dan=a1 qn1前 n 项和Sn=22) 1(11naadnnnanSn=qqan111数列的前n 项和 Sn与通项公式an的关系是: an=SnSn1(n2) 有些数列不是用通项公式给出
2、,而是用 an与其前一项或前几项的关系来给出的,例如:an1=2an+3,这样的公式称为数列的递推公式由数列的递推公式我们可以求出其通项公式数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形,然后将它看成新数列(通常是等差或等比数列)的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题二例题精讲例 1 (裂项求和)求Sn=222222) 12()12(853283118nnn解:因为an=22) 12()12(8nnn=22) 12(1)12(1nn所以 Sn=222222)12(1)12(151313111nn=12)12(1n例 2 (倒数法)已知数列an中, a1=53,an+1=1
3、2nnaa,求 an 的通项公式解:211211nnnnaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页立身以立学为先,立学以读书为本na1是以35为首项,公差为2 的等差数列,即351na+2(n1) =316nan=163n练习 1已知数列 an 中, a1=1, Sn=1211nnSS,求 an的通项公式解:21121111nnnnSSSSnS1是以 1 为首项,公差为2 的等差数列nS1=1+2( n1)=2n1,即 Sn=121nan=SnSn1=321121nn=)32)(12(2nnan=3211211nn)
4、2()1(nn例3 (求和法,利用公式an=Sn Sn1, n 2)已知正数数列 an 的前n 项和Sn=nnaa121,求 an的通项公式解: S1=a1=11121aa,所以 a1=1an=SnSn12Sn=SnSn1+11nnSSSn+Sn1=11nnSS,即 Sn2Sn12=1 2nS是以 1 为首项,公差为1 的等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页立身以立学为先,立学以读书为本Sn2=n,即 Sn=nan=SnSn1=n1n(n2)an=n1n例 4 (叠加法)已知数列an的前 n 项和 Sn满足 S
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