2022年高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀 .pdf
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1、第 12 讲三角函数高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。一、知识整合1熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题2熟练掌握正弦函数、余
2、弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函数sin()yAx的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化二、高考考点分析2004 年各地高考中本部分所占分值在1722 分,主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次:第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次:
3、充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。三、方法技巧1. 三角函数恒等变形的基本策略。(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2 +sin2=tanx cotx=tan45 等。(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角: =(+) , =22等。(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。(4)引入辅助角。asin +bcos=22basin( +) ,这里辅助角所在象限由a、b 的符号确定,角的值由tan=a
4、b确定。2. 证明三角等式的思路和方法。(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3. 证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。4. 解答三角高考题的策略。(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。四、例题分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
5、- - - - - -第 1 页,共 6 页例 1已知2tan,求( 1)sincossincos; (2)22cos2cos.sinsin的值. 解: (1)2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos; (2) 222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222. 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。例 2求函数21sincos(sincos )yxxxx的值域。解:设sincos2 sin()224t
6、xxx,则原函数可化为22131()24yttt,因为22t,所以当2t时,max32y,当12t时,min34y,所以,函数的值域为3324y,。例 3已知函数2( )4sin2sin 22f xxxxR,。(1)求( )f x的最小正周期、( )f x的最大值及此时x 的集合;(2)证明:函数( )f x的图像关于直线8x对称。解:22( )4sin2sin 222sin2(1 2sin)f xxxxx2sin 22cos222 sin(2)4xxx(1)所以( )f x的最小正周期T,因为xR,所以,当2242xk,即38xk时,( )f x最大值为2 2;(2)证明:欲证明函数( )f
7、 x的图像关于直线8x对称,只要证明对任意xR,有()()88fxfx成立,因为()22 sin2()2 2 sin(2 )2 2 cos28842fxxxx,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页()2 2 sin2()2 2 sin(2 )22 cos28842fxxxx,所以()()88fxfx成立,从而函数( )f x的图像关于直线8x对称。例 4 已知函数 y=21cos2x+23sinx cosx+1 (xR), (1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;(2)该函数的图像可由y=sinx(x R)的
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