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1、58 P.124 习题1试讨论以下函数在指定区间内是否存在一点,使0)(f:100101sin)(xxxxxf,解1因为f在1,0连续,在)1,0(可导,且)1()0(ff,所以由 Rolle 定理,)1,0(,使得0)(f。2证明: 1方程033cxx这里 c 为常数在区间 1, 0内不可能有两个不同的实根;证明设cxxxf3)(3, 由于方程033)(2xxf在)1,0(内没有根, 所以由 P.120,例 1方程033cxx在区间 1,0内不可能有两个不同的实根。2方程0qpxxnn 为正整数当n 为偶数时至多有两个实根;当n 为奇数时至多有三个实根。证明设qpxxxfn)(,于是0)(1
2、pnxxfn。当 n 为偶数时, n-1 为奇数,故方程0)(1pnxxfn至多有一个实根因为幂函数pnxn 1严格递增,从而方程0qpxxn至多有两个实根;当n 为 奇 数 时 , n-1 为 偶 数 , 故 由 上 述 证 明 的 关 于 偶 数 的 结 论 有 : 方 程0)(1pnxxfn至多有两个实根, 从而方程0qpxxn当 n 为奇数时至多有三个实根。3证明: 假设函数f和g均在区间I上可导, 且)()(xgxf,Ix,则在区间I上f和g只相差一常数,即cxgxf)()(c 为某一常数证明令)()()(xgxfxF, 则F在区间I上可导,且0)()()(xgxfxF,由推论 1,
3、存在常数c,使得cxF)(,即cxgxf)()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页59 4 证明 1假设函数f在,ba上可导, 且mxf)(,则)()()(abmafbf2假设函数f在,ba上可导,且Mxf|)(|,则)(|)()(|abMafbf3对任意实数21, xx,都有|sinsin|1221xxxx证明因为f在,ba上可导,所以f在,ba上满足 Lagrange 中值定理的条件,于是),(ba,使得)()()(abfafbf1因为mxf)(,所以)()()()(abmabfafbf,从而有)()()(ab
4、mafbf2因为Mxf|)(|,所以)(|)(|)()(|abMabfafbf3不妨设21xx,正弦函数xxfsin)(在,21xx上连续,在),(21xx可导,于是),(ba,使得|cos|sinsin|122121xxxxxx5应用拉格朗日中值定理证明以下不等式:1aababbabln,其中ba0证明设xxfln)(,则f在,ba上连续且可导, 所以f在,ba上满足 Lagrange中值定理的条件,于是),(ba,使得)(1)(lnlnlnababfabab,因为ba0,所以aababbab,从而aababbabln2hhhharctan122,其中0h证明设xxfarctan)(,则f在
5、,0h上满足Lagrange 中值定理的条件,于是),0(h,使得21)0)(0arctanarctanarctanhhfhh。因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页60 h0,所以hhhh2211,从而hhhharctan122。6确定以下函数的单调区间:123)(xxxf2xxxfln2)(2322)(xxxf4xxxf1)(2解1xxf23)(,令0)(xf,得23x当23x时,0)(xf,f递增;当23x时,0)(xf,f递减。2f的定义域为0 x。xxxxxf1414)(2,令0)(xf,得21x当210
6、 x时,0)(xf,f递减;当21x时,0)(xf,f递增。3f的定义域为20 x。221)(xxxxf,令0)(xf,得1x当10 x时,0)(xf,f递增;当21x时,0)(xf,f递减。4f的定义域为0 x。0111)(222xxxxf,故f在其定义域),0()0,(递增。7应用函数的单调性证明以下不等式:13tan3xxx,)3,0(x证明设3tan)(3xxxxf,则f在0 x连续,且0)0(f。因为0tan1sec)(2222xxxxxf,)3,0(x,故f在)3,0(严格单调递精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共
7、 20 页61 增,又因f在0 x连续,于是0)0()(fxf,从而3tan3xxx,)3,0(x。2xxxsin2,)2,0(x证明先证xxsin2, 为此证明:xxsin2。设2sin)(xxxf,则f在2x连续,且0)2(f。因为0cos)tan(sincos)(22xxxxxxxxxf,)2,0(x。所以f在)2,0(严格单调递减,于是0)2()(fxf,从而2sinxx,)2,0(x。其次证明:xxsin。设xxxfsin)(,则f在0 x连续,且0)0(f。因为0cos1)(xxf,)2,0(x。所以f在)2,0(严格单调递增,又因f在0 x连续,于是0)0()(fxf,从而xxs
8、in,)2,0(x。3)1 (2)1ln(222xxxxxx,0 x证明先证:)1ln(22xxx,0 x。 令)1ln(2)(2xxxxf, 则f在0 x连续, 且0)0(f。因为01111)(2xxxxxf,0 x。所以f在0 x严格单调递减, 又因f在0 x连续,于是0)0()(fxf,从而)1ln(22xxx,0 x。其次证明:)1(2)1ln(2xxxx,0 x。令)1ln()1(2)(2xxxxxf,则f在0 x连续,且0)0(f。 因为0)1(11)1(221)(2222xxxxxxxf,0 x。所以f在0 x严格单调递增,又因f在0 x连续,于是0)0()(fxf,从而精选学习
9、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页62 )1(2)1ln(2xxxx,0 x。8以)(xS记由)(,(afa, )(,(bfb, )(,(xfx三点组成的三角形面积, 试对)(xS应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理. 证明因为1)(1)(1)(21)(xfxbfbafaxS, 假设)(xf在,ba连续 , 在),(ba可导 , 则易见)(xS也在,ba连续 , 在),(ba可导 , 且0)()(bSaS. 故由罗尔定理知, 存在),(ba, 使得0)(S. 而)()()(210)(11)(1)(21)(afbfabxfx
10、fbfbafaxS, 故)()()(abfafbf. 1试问函数32)(,)(xxgxxf在区间 -1, 1 上能否应用柯西中值定理得到相应的结论,为什么?解因为23)(,2)(xxgxxf,故当0 x时,0)0(,0)0(gf,不满足柯西中值定理的条件,所以在区间-1, 1 上不能用柯西中值定理。2设函数f在,ba上可导,证明:存在),(ba,使得)()()()(222fabafbf证明设)()()()()(222xfabafbfxxF,则)(xF在,ba上连续并可导 , 且)()()()(22bFafbbfaaF, 由Rolle定 理 , 存 在),(ba, 使 得0)()()()(2)(
11、22fabafbfF,从而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页63 )()()()(222fabafbf3设函数f在点a处具有连续的二阶导数。证明:)()(2)()(lim20afhafhafhafh证明因为f在点a处具有连续的二阶导数,所以f在点a的某邻域)(aU内具有一阶导数,于是由洛必达法则,分子分母分别对h求导,有)()()(21)()(lim)()(lim(21)()()()(lim212)()(lim)(2)()(lim000020afafafhafhafhafhafhhafafafhafhhafhafh
12、afhafhafhhhhh4设20。证明存在),(,使得cotcoscossinsin证明设xxfsin)(,xxgcos)(,则gf ,都在,连续,在),(可导,且gf ,都 不 等 于0,)()(gg。 由 柯 西 中 值 定 理 , 存 在),(, 使 得sincoscoscossinsin,即cotcoscossinsin5求以下不定式极限11coslimsin1lim00 xexexxxx2333sin3cos2lim3cossin21lim66xxxxxx3111sinlimsin111lim1cos)1ln(lim000 xxxxxxxxxxx42sin2limcos1limco
13、s1tanlimcos11seclimsintanlim02020200 xxxxxxxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页64 51sin1limtanseclimtansecseclim5sec6tanlim22222xxxxxxxxxxxx62121lim2lim11lim) 1(1lim111lim00000 xxeeexeeeexxeexxxxxxxxxxxxxxx7xxxsin0)(tanlim解0tanlim1tanseclim1)ln(tanlimsin1)ln(tanlim)ln
14、(tansinlim20220000 xxxxxxxxxxxxxxxx所以1)(tanlim0)ln(tansinlimsin00eexxxxxx8xxx111lim解因为111lim1lnlimln11lim111xxxxxxxx,所以1ln11lim1111limeexxxxxx9xxx120)1(lim解因为012lim)1ln(lim)1ln(1lim202020 xxxxxxxxx所以1)1 (lim0)1ln(1lim12020eexxxxxx100lim11lim1lnlimlnlimlnsinlim020000 xxxxxxxxxxxxxx11422022220220sinli
15、msinsinlimsin11limxxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页65 31242sin4lim1222cos2lim422sinlim02030 xxxxxxxxxx12xxxxxxexxtanln1lim10202tanlimxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcossin2cossinlim21tanseclimln)ln(tanlimtanln1lim2020202031122sin2lim62cos1limcos1lim22sin21lim020030 xxxxxxxxxx
16、xx所以31tanln1lim10202tanlimeexxxxxxxxP.141 习题1求以下函数带佩亚诺型的麦克劳林公式1xxf11)(解23)1 (21)(xxf,2522)1 (231)1()(xxf,2733)1 (2531) 1()(xxf,212)()1 (2) 12(31)1()(nnnnxnxf麦克劳林公式为:)(!2)12(31) 1(! 32531! 2231211)(3322nnnnxoxnnxxxxf2xxfarctan)(到含有5x的项解因为211)(xxf,1)0(f,所以1)()1(2xfx。在此式的两端,用莱布尼兹公式,分别对x求n阶导数,得0)() 1()(
17、2)()1()1()()1(2xfnnxxfnxfxnnn令0 x得递推公式:)0() 1()0()1()1(nnfnnf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页66 因为有1)0(f,于是2)0(f,24)0()5(f。又因为22)1(2)(xxxf,0)0(f,所以当n为偶数时,0)0()(nf从而)(51311)(! 524! 321arctan553553xoxxxoxxx3xxftan)(到含有5x的项解xxf2sec)(,1)0(fxxxxxf32cossin2tansec2)(,0)0(fxxxf42cos
18、sin212)(,2)0(fxxxxf52)4(cossin2sin8)(,0)0()4(fxxxxf642)5(cossin2sin1128)(,16)0()5(f)(15231)(!516! 32tan553553xoxxxxoxxxx2按例 4 的方法求以下极限133322030)1 ()(! 3)(21(lim)1(sinlimxxxxoxxxoxxxxxxexxx31)(3lim)(3(lim3330323320 xxoxxxxxoxxxxx2)1(1211(lim)11ln(lim2222xoxxxxxxxxx21)1(21lim22xoxxxx3xxxxxxxxxxxxxxxsi
19、ncossinlim)sincos1(1lim)cot1(1lim2000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页67 31)(3lim)(211()(!3lim3330322330 xxoxxxoxxxoxxxx3求以下函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式:154)(23xxxf,在1x处;解10)1(f;xxxf83)(2,11)1(f;86)(xxf,14)1 (f;6)(xf,6)1(f;3, 0)()(nxfn。所以32) 1()1(7) 1(1110)(xxxxf2xxf11)(,在0 x处解1)0(f;2
20、)1 (1)(xxf,1)0(f;1)()1(!)1()(nnnxnxf,!)1()0()(nfnn。所以1215432)1 () 1() 1(111nnnnnxxxxxxxxx,101求以下函数的极值1432)(xxxf解)23(246)(232xxxxxf,令0)(xf得稳定点23,0 x。列表讨论:x)0,(0 )23,0(23),23()(xf+ 0 + 0 )(xf无极值极大值为16272212)(xxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页68 解222)1 ()1(2)(xxxf,令0)(xf得稳定点
21、1x。列表讨论:x) 1,(-1 )1, 1(1 ), 1 ()(xf0 + 0 )(xf极小值为 -1 极大值为1 3xxxf2)(ln)(解222ln)ln2()(lnln2)(xxxxxxxf,令0)(xf得稳定点2, 1 ex。列表讨论:x) 1,0(1 ), 1 (2e2e),(2e)(xf0 + 0 )(xf极小值为0 极大值为24e4)1ln(21arctan)(2xxxf解22211111)(xxxxxxf, 令0)(xf得 稳 定 点1x。 由 于222)1(12)(xxxxf,021)1 (f,所以f在1x有极大值2ln214)1(f2设0001sin)(24xxxxxf1
22、证明:0 x是极小值点;2说明f的极小值点0 x处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。证明1对任何0 x,有)0(01sin)(24fxxxf,故0 x是极小值点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页69 2当0 x时,有)1cos1sin2(1sin21cos1sin21sin4)(2223xxxxxxxxxxxf,作数列221nxn,421nyn,则0nx,0ny。即在0 x的任何右邻域)0(0U内,既有数列nx中的点, 也有数列ny中的点。 并且0)(nxf,0)(nyf,所以在)0(0U内f的符号是变
23、化的,从而f不满足极值的第一充分条件。又因为001sinlim)0(240 xxxfx,00)1cos1sin2(1sin2lim)0(20 xxxxxxfx,所以用极值的第二充分条件也不能确定f的极值。14求以下函数在给定区间上的最大最小值:2, 1, 155345xxxy解)3)(1(5)34(515205222234xxxxxxxxxy,令0y,得3, 1,0 x, 2, 13 。1)0(y,2) 1(y,10)1(y,7)2(y。于是f在1x处取得最大值2,在1x处取得最小值-10。2xxy2tantan2,)2, 0解)tan1(sec2sectan2sec2222xxxxxy,令0
24、y,得4x。因为0)0(y,1)4(y,且)tan2(tanlim)tantan2(lim222xxxxxx。于是f在4x处取得最大值1,无最小值。3), 0(,ln xxy解xxxxxxy22ln1ln21,令0y,得2ex。因为eey2)(2,且0)ln(lim0 xxx,)ln(limxxx。于是f在2ex处取得最小值e2,无最精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页70 大值。5 设)(xf在区间I上连续, 并且在I上仅有唯一的极值点0 x。证明:假设0 x是f的极大小值点,则0 x必是f在I上的最大小值点。解
25、设0 x是f的极大值点。用反证法假设0 x不是f在I上的最大值点。于是存在1x,使得)()(01xfxf。不妨设01xx,则f在闭区间,10 xx上连续, 从而f在,10 xx上有最小值点x。因为0 x是f的极大值点,所以0 xx,1xx,于是x是f的极小值点,这与f在I上仅有唯一的极值点0 x矛盾。P.155 习题按函数作图步骤,作以下函数图象12015623xxxy解)5)(1(3151232xxxxy,令0y,得稳定点5, 1x)2(6126xxy,令0y,得2x222)1(2xxy解定义域1x3)1 (xxy,4)1 (21xxy,令0y,得稳定点0 x,令0y得21x渐近线1x,21
26、yx)1,()0, 1(0 )21,0(21),21(y+ 0 + + + y+ + + + 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页71 y凸增凸减极小值 0 凸增拐点)181,21(凹增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页72 P.158 总练习题1证明:假设)(xf在有限开区间),(ba内可导,且)(lim)(limxfxfbxax,则至少存在一点),(ba,使0)(f证明令bxxfaxxfbxaxfxFbxax)(lim)(li
27、m)()(,则F在,ba内连续,在),(ba内可导,且)()(lim)(lim)(bFxfxfaFbxax。于是由Rolle 定理,至少存在一点),(ba,使0)(F,而在),(ba内有)()(xfxF,)()(xfxF,从而0)(f。填空题1xxx1sinlim;xxx1sinlim02xxx1)1(lim;xxx10)1(lim3设,212,212212nnnnnnxx则nnxlim4)1(lim2xxxx;)1(lim2xxxx5假设bxaxxx13lim21,则a,b211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20
28、页73 6xxxlim0,xxxlim07 1当0 x时,)1ln(x2当0 x时,1xe3当0 x时,1)1(x8假设函数连续在0)(xxf,则)()(lim000 xxfxxfx9设函数00)21()(1xaxxxfx在0 x连续,则a10假设函数0),ln(,0,)(xexxaxxf在),(连续,则a11设f在1x连续,且1)1(f,则)(1lnlim1xxxf12设)1, 0(|中的无理数xxE,则Esup;Einf13设2|2xxE,则Esup;Einf。14假设函数可导在axxf)(,则hhafhafh)2()(lim015假设函数可导在0)(axxf,则axafxfax)()(l
29、im16设axxfxfx2)3()(lim0,且)0(f存在,则)0(f17假设函数连续在1)(xxf,0)(lim1xfx,11)(lim1xxfx,则)1(f18设曲线2axy与曲线xyln相切,则a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 20 页74 19设函数)(xf在1x有连续导数,且2)1(f,则)(coslim0 xfdxdx20设函数)(xf在),(上可导,且,0)(xf,3)0(f,则)(xf选择题1设axnn|lim,则(A) 数列nx收敛;(B) axnnlim;(C) axnnlim;(D) 数列nx可
30、能收敛,也可能发散。2设nnyax,且0)(limnnnxy,则nx与ny(A) 都收敛于a(B) 都收敛但不一定收敛于a(C) 可能收敛,也可能发散;(D)都发散。3设数列nx收敛,数列ny发散,则数列nnyx(A) 收敛;(B) 发散;(C) 是无穷大;(D)可能收敛也可能发散。4设nnxn)1(,则数列nx是(A) 无穷大;(B) 无穷小;(C) 无界量;(D) 有界量。5设2sinnnxn,则数列nx是(A) 收敛列;(B) 无穷大;(C) 发散的有界列;(D) 无界但不是无穷大。6当0 x时,xxxf1sin1)(是(A) 无穷小;(B) 无穷大;(C) 有界但不是无穷小;(D) 无
31、界但不是无穷大。7当ax时,)(xf为无穷大,)(xg为有界量,则)()(xgxf是(A) 无穷大;(B) 有界量;(C) 无界但不是无穷大;(D) 以上都不对。8设)(limxfax,)(limxfax,则(A) ;(B) ;(C) ;(D) 以上都不对。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 20 页75 9设函数f在),(aa上单调,则)0(af与)0(af(A) 都存在且相等;(B) 都存在但不一定相等;(C) 有一个不存在;(D) 都不存在10设bxfax)(lim2,则)(limxfax(A) 存在且等于b;(B)
32、 不存在;(C) 存在;(D) 可能存在,也可能不存在。11设bxfax|)(|lim,则| )(lim|xfax(A) 存在且等于b;(B) 存在且等于b;(C) 不存在;(D) 不一定存在,假设存在即为b。12设|sin)(xxxf,则0 x是f的(A) 连续点;(B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点;(D) 第二类间断点。13设f在0 x连续,且)(0 xUx,有0)(xf,则(A) 0)(0 xf; (B) 0)(0 xf; (C) 0)(0 xf; (D) 0)(0 xf14假设函数f在),(ba的任一闭区间上连续,则f(A) 在,ba上连续;(B) 在),(ba上连续;(C) 在)
33、,(ba上不连续;(D) 在),(ba上可能连续,也可能不连续。15假设函数f在),(ba上连续,则f(A) 在),(ba有界;(B) 在),(ba无界;(C) 在),(ba的任一闭区间上有界;(D) 在,ba有界。16假设0,函数f在,ba上连续,则f(A) 在,ba上一致连续;(B) 在),(ba上连续;(C) 在),(ba上一致连续;(D) 在),(ba上不一致连续。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 20 页76 17定义域为,ba,值域为3, 2 1,0的连续函数(A) 可能存在;(B) 不存在;(C) 存在且唯
34、一;(D) 存在。18定义域为,ba,值域为),(的连续函数(A) 可能存在;(B) 不存在;(C) 存在且唯一;(D) 存在。19定义域为,ba,值域为) 1, 1(的连续函数(A) 可能存在;(B) 不存在;(C) 存在且唯一;(D) 存在。20设nx是无界数列,则(A) nnxlim;(B) nnxlim;(C) nnxlim;(D) 存在nx的一个子列knxknkxlim21设f是奇函数,且0)(lim0 xxfx,则(A) 0 x是f的极小值点;(B) 0 x是f的极大值点;(C) )(xfy在0 x的切线平行于x轴; (D) )(xfy在0 x的切线不平行于x轴22设f在0 x存在
35、左、右导数,则f在0 x(A) 可导;(B) 连续;(C) 不可导;(D) 不连续。23设)(xfy在0 x可微,记0 xxx,则当0 x时,dyy(A) 是x的高阶无穷小;(B) 与x是同阶无穷小;(C) 与x是等价无穷小;(D) 与x不能比较。24设0)(0 xf,记0 xxx,则当0 x时,dy(A) 是x的高阶无穷小;(B) 与x是同阶无穷小;(C) 与x是等价无穷小;(D) 与x不能比较。25设)3)(2)(1()(xxxxxf,则方程0)(xf在)3,0(上(A) 没有根;(B) 最多有两个根;(C) 有且仅有三个根;(D) 有四个根。26设f在,ba上二阶可导,且0f,则axafxfxF)()()(在),(ba上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 20 页77 (A) 单调增;(B) 单调减;(C) 有极大值;(D) 有极小值。27设f在,ba上可导,,0bax是f的最大值点,则(A) 0)(0 xf;(B) 0)(0 xf;(C) 当),(0bax时,0)(0 xf;(D) 以上都不对。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页
限制150内