2022年小升初数学总复习行程专题 .pdf
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1、小升初总复习行程专题【平均速度 】平均速度 =总路程总时间,只有分段时间相等时才等于速度的平均。【例 1】【分析与解】设上山路为x 千米,下山路为2x 千米,则上下山的平均速度是:(x+2x)( x22.5+2x 36)=30(千米 /时) ,正好是平地的速度,所以行AD总路程的平均速度就是30 千米 / 时,与平地路程的长短无关。因此共需要72 302.4 (时) 。【例 2】【分析与解】解法、全程的平均速度是每分钟(80+70)/2=75 米,走完全程的时间是6000/75=80 分钟,走前一半路程速度一定是80 米,时间是3000/80=37.5 分钟,后一半路程时间是80-37.5=4
2、2.5 分钟解法 2:设走一半路程时间是x 分钟,则80*x+70*x=6*1000,解方程得:x=40 分钟 ,因为 80*40=3200 米,大于一半路程3000 米,所以走前一半路程速度都是80 米,时间是3000/80=37.5 分钟,后一半路程时间是40+( 40-37.5)=42.5 分钟。答:他走后一半路程用了42.5 分钟。【例 3】【分析与解】由于要求速度的比例关系,所以可将原定速度设13,那么前半路程速度为11,然后假设总路程的一半的长度为143,那么原定总时间为14321322而前半段时间为1431113 ,所以后半段时间为22139,后半段速度为14391439所以所求
3、比例为143:1311: 99【评析】因为求的是“比” ,所以可充分运用“特殊值法”。【例 4】【分析与解】设总路程中上坡的路程为“1”个单位那么下坡的路程也为“1”个单位,上坡所花的时间为13,下坡所花的时间为16,上坡下坡所花的总时间为111362,所以在坡路上的平均速度为1242,学生们在平路和坡地上的平均速度都等于4 千米小时, 所以他们整个春游中的平均速度为4千米小时,6 个小时中一共行走了64=24(千米小时). 【 2 倍关系解线段多次相遇问题】两段同时出发的线段多次相遇问题: 全程数,各自的时间,各自所行路程的2 倍关系解题。 1 1 1 2 3 2相遇次数全程个数再走全程数
4、3 5 2 4 7 2 n 2n-1 2环形跑道: 每相遇一次,总路程多了一圈,不存在以上关系。所以如果速度和不变,则每相遇一次所用时间相同 。【例 1】【分析与解】画图易知,利用路程的2 倍关系 ,第二次相遇的地点距离B 点: (30 210) 2=25 公里;所以(1)A,B 两地距离301025 =65 公里;(2)甲,乙的速度比为30: 35 = 6:7 【例 2】【分析与解】2 倍关系 ,确定第二次相遇点在第一次相遇点的左还是右,最后得到答案为 4:5 ,可解得答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页案为 8
5、0 千米。【例 3】【分析与解】按2 倍关系,确定第二次相遇点在第一次相遇点的左还是右,最后得到答案为4:5 【例 4】【提示】假设 A、B 两地相距单位“1” ,确定第一次相遇时,甲、乙两人的行程甲、乙两人第四次相遇时行程共为2 417 ,第五次相遇时行程共为2519 . 【解】假设 A、B 两地相距单位“1”,甲乙两人第四次相遇时行程共为241 7,第五次相遇时行程共 为2 5 l 9第四次相遇时甲走了3211(241)2371010,第五次相遇时甲走了3277(251)2371010, 可见两次相遇地点相距71310105, 所以 A、 B 全程两地为15035=250(米)【相遇次数】
6、在求一段时间内的相遇次数常用时间折线图求解。例如:假设A、B 两地相距6千米,甲从A 地出发在A、B 两地间往返运动,速度为6 千米小时,乙从B 地出发在A、B 两地间往返运动,速度为4 千米小时我们可以依次求出甲、乙每次到达A 地或 B 地的时间折线示意图能将整个行程过程比较清晰地呈现出来(1)相遇次数:迎面相遇与追及相遇。(2)相遇点距两端的距离远近。 (3)周期。 (4)迎面相遇时所行全程数:1、3、5、, 全程数 =2 倍迎面相遇次数1。【例 1】【分析与解】作图法,分别算出两人到达两端的时间,最后可得共相遇5(12 3)=20 次。【例 2】【分析与解】 根据题意 ,两车所行速度比为
7、3020=32, 所以两车各行完一个单程所需要时间比为 2 3, 可作两车运动的折线图如下: BA24681012141618202018161412108642由图可知 , 每五次相遇时, 共行了十个单程程, 正好是一个周期,( 这个周期应看作包括五相遇点, 第六次应算作下一个周期.) 所以每行两个单程相遇一次,所以根据甲乙速度和与时间, 求出甲乙共行了多少个单程: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页从早上 5:00 到晚上 6:00, 共行了 13 时,(30+20) 134=162 ( 个) 2(千米),16
8、2 2=81(次)【例 3】【分析与解】甲、乙的运行图如下,图中实线为甲,虚线为乙。图上每一格代表5 分钟。由上图知,第2 次相遇时距B 地最近。第2 次相遇时两人共行两个来回,用11004( 60+160) =20 分。距 B 地 6020-1100=100 米。【评析】行程问题的时间折线图在两人两地多次往返问题中常常用到. 【例 4】【分析与解】当两人的行程和分别为100 米, 300 米, 500 米,时,恰好是他们第1 次,第 2 次,第 3次,相遇, 10 分钟两人共跑了(32) 60 103000(米) ,即 300 10030 个全程我们知道两人同时从两地相向而行,他们总是在奇数
9、个全程时相遇(不包括追上)1 , 3 , 5 , 7 ,29共 15 次【评析】这道题只是求相遇次数(不含追上),所以可以这样处理,如果含追上只能用时间拆线图。【例 5】【分析与解】运用“折线示意图”来解从“8:30”引出的线段与其他线段一共有5 个端点,所以8:30从 A 站发出的车一共遇到5 辆从 B 站发出的车,同样的9:00 从 A 站发出的车一共遇到6 辆从 B 站发出的车, 11:00 从 A 站发出的车一共遇到3 辆从 B 站发出的车【评析】运用“折线示意图”能很好地说明整个行程过程【多人追及与相遇问题】画关键时刻示意图,分析两两是追及还是相遇问题,步步求解。【例 1】【分析】:
10、画图如下:结合上图,如果我们设甲、乙在点C相遇时,丙在D点,则因为过15 分钟后甲、丙在点E相遇,所以 C、D之间的距离就等于(4060)15=1500(米)。又因为乙和丙是同时从点B出发的,在相同的时间内,乙走到C点,丙才走到D点,即在相同的时间内乙比丙多走了1500 米,而乙与丙的速度差为50-40 10(米 / 分),这样就可求出乙从B到 C的时间为150010 150(分钟),也就是甲、乙二人分别从A、B出发到 C点相遇的时间是150 分钟,因此,可求出 A、B的距离。【解】:甲和丙15 分钟的相遇路程:(4060)15=1500(米)。精选学习资料 - - - - - - - - -
11、 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页乙和丙的速度差: 50-40=10(米 / 分钟)。甲和乙的相遇时间:150010=150(分钟)。A、B两地间的距离:(50 60)150 16500(米) 16.5 千米。答: A、B两地间的距离是16.5 千米 . 【评析】对于多人行程,一般的解题思路仍然是从两人之间“抓等量”,不过因为是多人,请注意某两人之间的等量与另外两人之间的等量的同一关系。具体来说,本题的要点在于:甲乙两人的相遇时间=乙丙两人的追及时间, 乙丙两人的路程差(这是追及关系的标志)=甲丙两人的路程和. 总体来说,要看出本题的两次相遇和一次追及关系。【例
12、 2】【分析与解】甲与丙行驶7 分钟的距离差为(1000800 ) 71400(米),也就是说当甲追上骑摩托车人的时候,丙离骑摩托车人还有1400 米,丙用了1477(分)追上了这1400 米,所以丙车和骑摩托车人的速度差为1400( 147) 200(米分),骑摩托车人的速度为800200600(米分),三辆车与骑摩托车人的初始距离为(1000600)7 = 2800(米) , 乙车追上这2800 米一共用了8 分钟,所以乙车的速度为28008600950(米分) . 【例 3】【分析与解】火车速度为30100060 500(米分)要求军人与农民何时相遇,必须先知道军人和农民的速度由题目条件
13、可知,从军人被火车头追上到车尾离他而去,一共有15 秒,这十五秒可以看做车尾追及军人的时间,所以根据追及公式,火车速度减去军人速度等于110( 1560) 440(米分),所以军人的速度为50044060 (米分)同理我们还可以求出农民的速度110( 1260) 50050(米分) . 8 点 06 分火车与农民相遇,所以 8 点时火车头与农民的距离为(500 + 50)6 3300(米) , 军人与农民相遇需要3300( 6050) 30(分)此时的时间为8 点 30 分【环形跑道问题】【例 1】【分析与解】当甲、乙之间的距离等于300 米时,即甲追上乙一条边(300 米)需 300( 90
14、70) 15(分),此时甲走了9015 300 4.5(条)边,所以甲、乙不在同一条边上,甲看不到乙但是甲只要再走 0.5 条边就可以看到乙了,即甲从出发走5 条边后可看到乙,共需2300590163(分)即16 分40 秒【例 2】【分析与解】 假设甲与乙休息次数相同(即第 (1)种情况 )。设甲不算休息共行了t 秒。根据甲比乙多行80 米,可得方程135120806060tt,解得 t=320(秒)。甲走一条边需8013560=3559(秒),因为320 3559=9,所以甲正好走了9 条边,假设成立。甲休息了9-1=8(次),甲追上乙共需320+58=360(秒 )=6 分钟。甲走了9
15、条边,追上的位置在B 点。【补充】【提示】 “逗号” 的周长与外圆的周长相等(2r) 都是 40 厘米。所以可以假设两只蚂蚁在同一段跑道上,求出相遇点后再进行判断乙比甲多爬半圈,即20 厘米需 20(53)l0(秒) ,多爬 1.5 圈需 60(53) 30(秒) . 【分析与解】 “逗号”的周长与外圆的周长相等,都是40 厘米,所以可以假设两只蚂蚁在同一段跑道上,乙比甲多爬半圈,即20 厘米需 20( 53) 10(秒) ,多爬 1.5 圈需 60( 53) 30(秒)第一次乙比甲多爬20 厘米时,甲爬了30 厘米,位于圆内的弧线上,而乙位于外圆周上两只蚂蚁没有相遇乙比甲多爬 60厘米需 6
16、0( 53) 30(秒) 此时两只蚂蚁都在外圆周上,是第一次相遇,乙爬了530150(厘米) . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页【例 3】【分析与解】第一次在B1点相遇,甲、乙共跑了400 厘米 (见左下图 ) 。第二次在B2点相遇,甲、乙共跑了700 厘米 ( 见右上图 ) 。同理,第三次相遇,甲、乙又共跑了700 厘米。共用时间(400+700+700)(6+4)=180( 秒) ,甲跑了6180=1080(厘米 ) ,距 A点4003 1080=120( 厘米 ) 。【评析】多次相遇问题时,有一种常见思考
17、方法分段考虑。【例 4】【分析与解】分析各个时间段甲、乙两人的行程C 表示甲、乙第一次相遇的地点因为乙从B 地到 C 地和从 C 地又返回B 地时所花的时间相等,而整个过程中甲恰好转一圈回到A 地,所以甲、乙在C 地第一次相遇时,甲刚好走了半圈C 地距 B 地 1809090(米)而甲从 A 地到 C 地用了 180209(分) ,所以乙每分行驶90910(米)甲、乙第二次相遇,即分别同时从A、B 地出发相向而行相遇还需要90( 20 +10) 3(分钟) . 【例 5】【分析与解】如下图,长方形ABCD中 AB BC=5 4。 将 AB ,CD边各 5 等分, BC , DA边各 4 等分。
18、设每份长度为a。由于两只蚂蚁第一次在B点相遇,所以第一只蚂蚁走5a, 第二只蚂蚁走4a. 接下来,第一只蚂蚁由 B走到 E点时,第二只蚂蚁由B走到 F点,再接下来,当第一只蚂蚁由E走到 G点时,第二只蚂蚁由F也走到 G ,这时,两只蚂蚁第二次相遇在DA边上。EGDCBA【例 6】【分析与解1】先来详细讨论一下: (1)先考虑B 与 C这两只爬虫,什么时候能到达同一位置. 开始时 , 他们相差 30 厘米 , 每秒钟 B能追上 C的路程为5-3=2( 厘米 ); 30 (5-3)=15(秒). 因此 ,15 秒后 B与 C到达同一位置 . 以后再要到达同一位置,B 要追上 C一圈 , 也就是追上
19、90 厘米 ,需要 90(5-3)=45(秒).B 与 C到达同一位置 , 出发后的秒数是15,60,105,150,195,(2)再看看 A与 B什么时候到达同一位置. 第一次是出发后 30 (10-5)=6(秒), 以后再要到达同一位置是A追上 B一圈 , 需要 90(10-5)=18(秒). A与 B到达同一位置 , 出发后的秒数是6,24,42,60,78,96,对照两行列出的秒数, 就知道出发后60 秒 3只爬虫到达同一位置 . 【例 7】【分析与解】对于这一种类型,我们可以先求出A追上 B用时: 90( 10-5 )=18(秒) ;B追上 C用时: 90( 5-3 )=45(秒);
20、那么,当A追上 B且 B追上 C时,也就是A追上 C,则三人同时到某一点,这个时间既是18 的倍数,又是45 的倍数,则最小是18 ,45=90 (秒)【评析】由此,可以看出,多人行程也好,多次相遇也好,行程题的数量关系在用了相遇或者追及关系以外,还可能出现诸如最小公倍数之类的数论知识。【例 8】【分析与解】对于这一类型,其实整合了例6,例 7。即,我们算出第一次到某一点的时间是60 秒,以后精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页每一次到达同一位置的时间还需90 秒,那么,可以得到:60+90( 8-1 )=690(秒
21、) 。【发车间隔问题】常常用到等量代换,列方程解题。【例 1】【分析与解】设两车之间相距S发车间隔时间为t根据公式得101010105,t1212SVVSVVVVVVVVVVVVVVVVV人人人人车车车车人车人车车人车车车车车()分,() 15分,那么()() 151()()S5解得所以发车间隔=(分)【例 2】【分析与解】题目条件涉及到的数量关系有汽车间距(公交速度骑车速度)9 分钟,汽车间距(出租车速度公交速度)9 分钟所以,公交速度骑车速度出租车速度公交速度。将上面这条等式变形得到,公交速度(骑车速度出租车速度)23骑车速度。296公交间距(公交速度 -骑车速度)9分钟骑车速度分钟汽车发
22、车时间间隔=分钟公交速度3 汽车速度3骑车速度所以公交车站每隔6 分钟发一辆公交车【评析】等量代换,超车问题。【超车、错车、会车、过桥问题】【例 1】解法一:画出图示,知两车为一相遇问题 ( 推荐解法错车问题肯定是相遇问题) 货车总长(15.8301.23010)1000=0.52( 千米 ) ;则两车的速度和为 0.52183600=104(千米 / 小时 ) 货车的速度为 104-60=44(千米 / 小时)解法二: 货车总长(15.8301.23010)1000=0.52( 千米 ) ;客车行进的距离 60 183600=0.3( 千米 ) 货车行进的距离 0.52-0.3=0.22(千
23、米 ) 货车的速度: 0.22 183600=44( 千米 / 小时 ) 【例 2】解法一: 用火车问题 常用公式 求解 ( 推荐解法火车过桥问题常用“速度=路程差时间差”来求解 ) 如果后来的速度不增加,则用时为96(4/5)=96 (5/4)=120秒, 根据“ 速度 =路程差时间差”得火车通过隧道的速度为:(864-320) (120-52)=8(米/ 秒) ,所以过大桥时的速度为8(5/4)=10(米/ 秒) 火车车长 =528-320=96( 米) 说明 :请学生思考车长如何求解。并说明“速度=路程差时间差”的得来。解法二: 列方程求解 , 设火车长x 米,根据速度可列方程精选学习资
24、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页963660864)411 (52320 xxx(864+96) 96=10(米 / 秒)说明: 请学生说明 解法二与解法一的内在联系。【例 3】【分析与解】错车问题是典型的相遇问题。慢车速度为 250 5 (1+1.5)=20(米/ 秒) 快车速度为 201.5=30( 米/ 秒) 【评析】请注意是坐在慢车上的人所记时间对应路程为快车车长,请学生思考: 那么坐在快车上的人记了一个时间呢?【流水行船问题】【例 1】【分析与解】甲船上行需要10 小时,则甲船逆水速度为36010=36 千米 /
25、 时甲船下行需要5 小时,则甲船顺水速度为3605=72 千米 / 时水速为(72-36 ) 2=18(千米)又乙船上行需要15 小时,则乙船逆水速度36015=24 千米 / 时乙船船速 24+18=42千米 / 时乙船顺水速度 42+18=60千米 / 时乙船下行时间 360 6=6(小时 ) 【评析】 1. 在流水行程问题中,对于“静水速度、水流速度、逆水速度、顺水速度”四个量,只要知道其中两个量,就可以求出另外两个量。知道这个关系对我们求流水问题很有必要。 2.基本公式 :顺水速度 =船速 +水速逆水速度 =船速 - 水速高级公式: 船速 =(顺 +逆) 2,水速 =(顺 - 逆) 2
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