2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书:第6章 第4节 数列求和 .doc
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1、第四节数列求和最新考纲1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法1公式法(1)等差数列的前n项和公式:Snna1d;(2)等比数列的前n项和公式:Sn2几种数列求和的常用方法(1)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减(2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和裂项时常用的三种变形:;.(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减
2、法求解(4)倒序相加法:如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解(5)并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型,可采用两项合并求解例如,Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)已知等差数列an的公差为d,则有.()(2)当n2时,.()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4) 利用倒序相加法可求得sin21sin22sin
3、23sin288sin28944.5.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1数列an的前n项和为Sn,若an,则S5等于()A.1B.C.D.Ban,S5a1a2a51.2若数列an的通项公式为an2n2n1,则数列an的前n项和为()A2nn21B2n1n21C2n1n22D2nn2CSna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n2(2n1)n2nn2n1n22.3Sn等于()A.B.C.D.B由Sn,得Sn,得,Sn,Sn.4数列an的前n项和为Sn,已知Sn1234(1)n1n,则S17_.9S17123456151
4、6171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.考点1分组转化法求和分组转化法求和的常见类型(1)若an bncn,且bn,cn为等差或等比数列,则可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和提醒:注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论已知数列an的前n项和Sn,nN.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn2an(1)nan,求数列bn的前2n项和解(1)当n2时,anSnSn1n.当n1时,a1S11满足ann,故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann,故bn2n(1)nn.记数列b
5、n的前2n项和为T2n,则T2n(212222n)(12342n)记A212222n,B12342n,则A22n12,B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.母题探究在本例(2)中,若条件不变求数列bn的前n项和Tn.解由本例(1)知bn2n(1)nn.当n为偶数时,Tn(21222n)1234(n1)n2n12;当n为奇数时,Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.所以Tn常用并项求和法解答形如(1)nan的数列求和问题,注意当n奇偶性不定时,要对n分奇数和偶数两种情况分别求解对n为奇数、偶数讨论数列求和时,一般先求n为偶数时
6、前n项和Tn.n为奇数可用TnTn1bn(n2)或TnTn1bn1最好已知等差数列an的前n项和为Sn,且a11,S3S4S5.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn(1)n1an,求数列bn的前2n项和T2n.解(1)设等差数列an的公差为d,由S3S4S5可得a1a2a3a5,即3a2a5,3(1d)14d,解得d2.an1(n1)22n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(2n1)T2n1357(2n3)(2n1)(2)n2n.考点2裂项相消法求和形如an(k为非零常数)型an.提醒:求和抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项已知数列an是公差为2的等差
7、数列,数列bn满足b16,b1an1.(1)求an,bn的通项公式;(2)求数列的前n项和解(1)数列an是公差为2的等差数列,数列bn满足b16,b1an1.所以当n1时,a2b16,故an62(n2)2n2,由于b1an1,当n2时,b1an,得:an1an2,所以bn2n.所以bn.(2)当n1时,S1.当n2时,则Sn,当n1时满足上式,故Sn.本例第(1)问在求bn的通项公式时灵活运用了数列前n项和与项的关系,注意通项公式是否包含n1的情况;第(2)问在求解中运用了裂项法,即若an是等差数列,则.教师备选例题(2019唐山五校联考)已知数列an满足:(32n1),nN.(1)求数列a
8、n的通项公式;(2)设bnlog3,求.解(321)3,当n2时,因为(32n1)(32n21)32n1,当n1时,32n1也成立,所以an.(2)bnlog3(2n1),因为,所以.(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn,a33,S410,则 _.设等差数列an的首项为a1,公差为d,依题意有解得所以Sn,2,因此 2.形如(k为非零常数)型an()已知函数f(x)xa的图像过点(4,2),令an,nN,记数列an的前n项和为Sn,则S2 019()A.1B.1C.1D.1C由f(4)2得4a2,解得a,则f(x).an,S2 019a1a2a3a2 019()()()()1.运用分
9、母有理化对分式正确变形并发现其前后项之间的抵消关系是求解本题的关键求和S()A5B4C10D9AS5,故选A.形如bn(q为等比数列an的公比)型bn.(2019郑州模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且a28,Snn1.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.解(1)a28,Snn1,a1S122,当n2时,anSnSn1n1,即an13an2,又a283a12,an13an2,nN,an113(an1),数列an1是等比数列,且首项为a113,公比为3,an133n13n,an3n1.(2).数列的前n项和Tn.本例第(1)问在求解通项公式时运用了构造法,形如an1an的数
10、列递推关系求通项公式都可以采用此法;第(2)问运用了裂项相消法求和已知 an是等比数列,且a2,a5,若bn,则数列bn的前n项和为()A.B.C.D.Aa5a2q3,q3,q,a11,ann1,bnb1b2b3bn.故选A.形如an型an.正项数列an的前n项和Sn满足:S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn,数列bn的前n项和为Tn,证明:对于任意的nN,都有Tn.解(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0,得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列,所以Sn0,Snn2n.于是a1S12,当n2时,anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上
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