上海高二数学解析几何经典编辑例题.doc
,.上海高二数学解析几何经典例题 轨迹方程1、已知反比例函数的图像是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线(1)求双曲线的顶点坐标与焦点坐标;(2)设、为双曲线的两个顶点,点、是双曲线上不同的两个动点求直线与交点的轨迹的方程;(3)设直线过点,且与双曲线交于、两点,与轴交于点当,且时,求点的坐标面积2、在平面直角坐标系内,动点到定点的距离与到定直线的距离之比为(1)求动点的轨迹的方程;(2)若轨迹上的动点到定点()的距离的最小值为,求的值(3)设点、是轨迹上两个动点,直线、与轨迹的另一交点分别为、,且直线、的斜率之积等于,问四边形的面积是否为定值?请说明理由定点3、动点与点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为曲线(1) 求曲线的方程;(2) 设点2,动点在曲线上运动时,的最短距离为,求的值以及取到最小值时点的坐标;(3) 设为曲线的任意两点,满足(为原点),试问直线是否恒过一个定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由定值4、已知椭圆的右焦点为,且点在椭圆上(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线,切点分别为不在坐标轴上),若直线在轴,轴上的截距分别为证明:为定值;(3)若是椭圆上不同的两点,轴,圆过且椭圆上任意一点都不在圆内,则称圆为该椭圆的一个内切圆. 试问:椭圆是否存在过左焦点的内切圆?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由新定义5、曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹,设曲线的轨迹方程(1)求曲线的方程;(2)定义:若存在圆使得曲线上的每一点都落在圆外或圆上,则称圆为曲线的收敛圆判断曲线是否存在收敛圆?若存在,求出收敛圆方程;若不存在,请说明理由轨迹方程1、已知反比例函数的图像是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线(1)求双曲线的顶点坐标与焦点坐标;(2)设、为双曲线的两个顶点,点、是双曲线上不同的两个动点求直线与交点的轨迹的方程;(3)设直线过点,且与双曲线交于、两点,与轴交于点当,且时,求点的坐标解:(1)顶点:、, 焦点:、为焦点(2)解一:,:-2分两式相乘,得 将代入上式,得,即 即直线与交点的轨迹的方程为()-1分解二:联立直线方程,解得 ,即,化简,得 所以,直线与交点的轨迹的方程为()(3)直线斜率不存在或为0时显然不满足条件; 设直线:,则将代入,得, , , ,即, 解得, 解二:将代入,得, , ,又,即, 面积2、在平面直角坐标系内,动点到定点的距离与到定直线的距离之比为(1)求动点的轨迹的方程;(2)若轨迹上的动点到定点()的距离的最小值为,求的值(3)设点、是轨迹上两个动点,直线、与轨迹的另一交点分别为、,且直线、的斜率之积等于,问四边形的面积是否为定值?请说明理由(1)设,由题意,化简得, 所以,动点的轨迹的方程为 (2)设,则, 当,即时,当时,取最小值,解得,此时,故舍去 当,即时,当时,取最小值,解得,或(舍) 综上,(3)解法一:设,则由,得,(1分),因为点、在椭圆上,所以,所以,化简得 当时,则四边形为矩形,则,由,得,解得, 当时,直线的方向向量为,直线的方程为,原点到直线的距离为所以,的面积, 根据椭圆的对称性,四边形的面积, 所以,所以所以,四边形的面积为定值 解法二:设,则,由,得, 因为点、在椭圆上,所以,所以,化简得 直线的方程为,点到直线的距离,的面积, 根据椭圆的对称性,四边形的面积, 所以, ,所以解法三:设,则,由,得, 因为点、在椭圆上,所以,所以,化简得 的面积,根据椭圆的对称性,四边形的面积, 所以,所以,所以 定点3、动点与点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为曲线(1) 求曲线的方程;(2) 设点2,动点在曲线上运动时,的最短距离为,求的值以及取到最小值时点的坐标;(3) 设为曲线的任意两点,满足(为原点),试问直线是否恒过一个定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由22(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分(1) 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是抛物线 所以曲线C的方程为x2=4y;(2) 设点T(x0, y0), x02=4y0 (y00),|AT|=,a20,则当y0=a2时,|AT|取得最小值为2, 2=a1, a26a+5=0,a=5或a=1 (舍去), 所以y0=a2=3,x0=2,所以T坐标为(2, 3); (3) 显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在,记为k,解之得P1(,),同理P2(4k, 4k2),直线P1P2的斜率为,直线P1P2方程为:整理得:k(y4)+(k21)x=0,所以直线P1P2恒过点(0, 4)16分定值4、已知椭圆的右焦点为,且点在椭圆上(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线,切点分别为不在坐标轴上),若直线在轴,轴上的截距分别为证明:为定值;(3)若是椭圆上不同的两点,轴,圆过且椭圆上任意一点都不在圆内,则称圆为该椭圆的一个内切圆. 试问:椭圆是否存在过左焦点的内切圆?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)由题意得,所以又点在椭圆上,所以解得所以椭圆的标准方程为 (2)由(1)知,设点则直线的方程为 直线的方程为 把点的坐标代入得 所以直线的方程为令得令得所以又点在椭圆上,所以即为定值 (3)由椭圆的对称性,不妨设由题意知,点在轴上,设点则圆的方程为由椭圆的内切圆的定义知,椭圆上的点到点的距离的最小值是设点是椭圆上任意一点,则当时,最小,所以 假设椭圆存在过左焦点的内切圆,则 又点在椭圆上,所以 -由得或当时,不合题意,舍去,且经验证,符合题意.综上,椭圆存在过左焦点的内切圆,圆心的坐标是新定义5、曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹,设曲线的轨迹方程(1)求曲线的方程;(2)定义:若存在圆使得曲线上的每一点都落在圆外或圆上,则称圆为曲线的收敛圆判断曲线是否存在收敛圆?若存在,求出收敛圆方程;若不存在,请说明理由解:(1)设动点为,则由条件可知轨迹方程是; 3分(2)设为曲线上任意一点,可以证明则点关于直线、点及直线对称的点仍在曲线上 6分根据曲线的对称性和圆的对称性,若存在收敛圆,则该收敛圆的方程是 7分讨论:时最多一个有一个交点满足条件 8分(1)代入(2)得 10分曲线存在收敛圆 11分收敛圆的方程是 13分
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上海高二数学解析几何经典例题
轨迹方程
1、已知反比例函数的图像是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线的顶点坐标与焦点坐标;
(2)设、为双曲线的两个顶点,点、是双曲线上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹的方程;
(3)设直线过点,且与双曲线交于、两点,与轴交于点.当,且时,求点的坐标.
面积
2、在平面直角坐标系内,动点到定点的距离与到定直线的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若轨迹上的动点到定点()的距离的最小值为,求的值.
(3)设点、是轨迹上两个动点,直线、与轨迹的另一交点分别为、,且直线、的斜率之积等于,问四边形的面积是否为定值?请说明理由.
定点
3、动点与点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为曲线.
(1) 求曲线的方程;
(2) 设点2,动点在曲线上运动时,的最短距离为,求的值以及取到最小值时点的坐标;
(3) 设为曲线的任意两点,满足(为原点),试问直线是否恒过一个定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由.
定值
4、已知椭圆的右焦点为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线,切点分别为不在坐标轴上),若直线在轴,轴上的截距分别为证明:为定值;
(3)若是椭圆上不同的两点,轴,圆过且椭圆上任意一点都不在圆内,则称圆为该椭圆的一个内切圆. 试问:椭圆是否存在过左焦点的内切圆?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.
新定义
5、曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹,设曲线的轨迹方程.
(1)求曲线的方程;
(2)定义:若存在圆使得曲线上的每一点都落在圆外或圆上,则称圆为曲线的收敛圆.判断曲线是否存在收敛圆?若存在,求出收敛圆方程;若不存在,请说明理由.
轨迹方程
1、已知反比例函数的图像是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线的顶点坐标与焦点坐标;
(2)设、为双曲线的两个顶点,点、是双曲线上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹的方程;
(3)设直线过点,且与双曲线交于、两点,与轴交于点.当,且时,求点的坐标.
解:(1)顶点:、, 焦点:、为焦点
(2)解一::,:--------------2分
两式相乘,得. 将代入上式,得,即.
即直线与交点的轨迹的方程为().--------------------1分
解二:联立直线方程,解得
,即,化简,得.
所以,直线与交点的轨迹的方程为().
(3)直线斜率不存在或为0时显然不满足条件;
设直线:,,,则
将代入,得, ,.
,,
,即, 解得, .
解二:将代入,得, ,
,,.
又,,即.
, .
面积
2、在平面直角坐标系内,动点到定点的距离与到定直线的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若轨迹上的动点到定点()的距离的最小值为,求的值.
(3)设点、是轨迹上两个动点,直线、与轨迹的另一交点分别为、,且直线、的斜率之积等于,问四边形的面积是否为定值?请说明理由.
(1)设,由题意,,化简得,
所以,动点的轨迹的方程为.
(2)设,则
,.
①当,即时,当时,取最小值,
解得,,此时,故舍去.
②当,即时,当时,取最小值,解得,或(舍).
综上,.
(3)解法一:设,,则由,得,(1分)
,因为点、在椭圆上,所以,,
所以,,化简得.
①当时,则四边形为矩形,,则,
由,得,解得,,.
②当时,直线的方向向量为,直线的方程为
,原点到直线的距离为
所以,△的面积, 根据椭圆的对称性,四边形的面积, 所以,
,所以.
所以,四边形的面积为定值.
解法二:设,,则,,由,得,
因为点、在椭圆上,所以,,
所以,,化简得.
直线的方程为,点到直线的距离,
△的面积, 根据椭圆的对称性,四边形的面积, 所以,
,所以.
解法三:设,,则,由,得,
因为点、在椭圆上,所以,,所以,,化简得. △的面积,根据椭圆的对称性,四边形的面积, 所以,所以,,所以.
定点
3、动点与点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为曲线.
(1) 求曲线的方程;
(2) 设点2,动点在曲线上运动时,的最短距离为,求的值以及取到最小值时点的坐标;
(3) 设为曲线的任意两点,满足(为原点),试问直线是否恒过一个定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
(1) 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是抛物线 所以曲线C的方程为x2=4y;
(2) 设点T(x0, y0), x02=4y0 (y0≥0),|AT|==,
a–2>0,则当y0=a–2时,|AT|取得最小值为2, 2=a–1, a2–6a+5=0,a=5或a=1 (舍去),
所以y0=a–2=3,x0=2,所以T坐标为(2, 3);
(3) 显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在,记为k,,
,解之得P1(,),同理P2(–4k, 4k2),
直线P1P2的斜率为,直线P1P2方程为:
整理得:k(y–4)+(k2–1)x=0,所以直线P1P2恒过点(0, 4)………………………………16分
定值
4、已知椭圆的右焦点为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线,切点分别为不在坐标轴上),若直线在轴,轴上的截距分别为证明:为定值;
(3)若是椭圆上不同的两点,轴,圆过且椭圆上任意一点都不在圆内,则称圆为该椭圆的一个内切圆. 试问:椭圆是否存在过左焦点的内切圆?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意得,所以又点在椭圆上,所以解得所以椭圆的标准方程为
(2)由(1)知,设点
则直线的方程为 ① 直线的方程为 ②
把点的坐标代入①②得 所以直线的方程为令得令得所以又点在椭圆上,所以即为定值.
(3)由椭圆的对称性,不妨设由题意知,点在轴上,设点则圆的方程为由椭圆的内切圆的定义知,椭圆上的点到点的距离的最小值是
设点是椭圆上任意一点,则
当时,最小,所以 ①
假设椭圆存在过左焦点的内切圆,则 ②
又点在椭圆上,所以 ③-
由①②③得或
当时,不合题意,舍去,且经验证,符合题意.
综上,椭圆存在过左焦点的内切圆,圆心的坐标是
新定义
5、曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹,设曲线的轨迹方程.
(1)求曲线的方程;
(2)定义:若存在圆使得曲线上的每一点都落在圆外或圆上,则称圆为曲线的收敛圆.判断曲线是否存在收敛圆?若存在,求出收敛圆方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)设动点为,则由条件可知轨迹方程是; 3分
(2)设为曲线上任意一点,可以证明
则点关于直线、点及直线对称的点仍在曲线上 6分
根据曲线的对称性和圆的对称性,若存在收敛圆,
则该收敛圆的方程是 7分
讨论:时最多一个有一个交点满足条件 8分
(1)代入(2)得 10分
曲线存在收敛圆 11分
收敛圆的方程是 13分
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