小学奥数-几何五大模型(相似模型).doc

!- 任意四边形、梯形与相似模型 模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①； ②。 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图，已知在平行四边形中，，，，那么的长度是多少？ 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为平行于，所以，所以． 【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为厘米，被分为等份。如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(平行)，那么小玻璃管口径是多大？ 【解析】 有一个金字塔模型，所以，，所以厘米。 【例 3】 如图，平行，若，那么________。 【解析】 根据金字塔模型，， 设份，则份，份，所以。 【例 4】 如图， 中，，，互相平行，， 则 。 【解析】 设份，根据面积比等于相似比的平方， 所以，，因此份，份， 进而有份，份，所以 【巩固】如图，平行，且，，，求的长。 【解析】 由金字塔模型得，所以 【巩固】如图， 中，，，，，互相平行，， 则 。 【解析】 设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份． 所以有 【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。 【例 5】 已知中，平行，若，且比大，求。 【解析】 根据金字塔模型，，设份，则份，份，比大份，恰好是，所以 【例 6】 如图：平行， ，，求的长度 【解析】 在沙漏模型中，因为，所以，在金字塔模型中有： ，因为，，所以 【巩固】如图，已知平行，，那么________。 【解析】 由沙漏模型得，再由金字塔模型得． 【例 7】 如图，中，，，与平行，的面积是1平方厘米。那么的面积是 平方厘米。 【解析】 因为，，与平行， 根据相似模型可知，，平方厘米， 则平方厘米， 又因为，所以(平方厘米)． 【例 8】 在图中的正方形中，，，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？ 【解析】 连接，易知∥，根据相似三角形性质，可知，且，所以的面积等于的面积；由可得，所以，即的面积是面积的3倍。 【例 9】 如图，线段与垂直，已知，，那么图中阴影部分面积是多少？ 【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看． 作辅助线，则图形关于对称，有，，且． 设的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形的面积为8份． 因为，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为． 解法二：连接、．由于，，所以∥，根据相似三角形性质，可知， 根据梯形蝴蝶定理，， 所以，即； 又，所以． 【例 10】 (年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，则四边形的面积________． 【解析】 因为为平行四边形，所以，所以为平行四边形． ，那么，所以． 又，所以，根据沙漏模型， ，所以． 【例 11】 已知三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影部分的面积． 【解析】 已知，且∥，利用相似三角形性质可知，所以，且． 又因为是的中点，所以是三角形的中位线，那么，，所以，可得，所以，那么． 【例 12】 已知正方形，过的直线分别交、的延长线于点、，且，，求正方形的边长． 【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有，，设正方形的边长为，所以有，即，解得，所以正方形的边长为． 方法二：或根据一个金字塔列方程即，解得 【例 13】 如图，三角形是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ 【解析】 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有，，设正方形的边长为毫米，，即，解得，即正方形的边长为毫米． 【巩固】如图，在中，有长方形，、在上，、分别在、上，是 边的高，交于，，厘米，厘米，求长方形的长和宽． 【解析】 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以，，所以有，设，则，所以有，解得，，因此长方形的长和宽分别是厘米，厘米． 【例 14】 图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？ 【解析】 根据题中条件，可以直接判断出与平行，从而三角形与三角形相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题． 做垂直于，交于． 因为∥，所以三角形与三角形相似，且相似比为， 所以，又因为，所以， 所以三角形的面积为． 【例 15】 如图，将一个边长为的正方形两边长分别延长和，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？ 【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：；， 则，， 【例 16】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ． 【解析】 设大、小正方形的边长分别为厘米、厘米()，则，所以．若，则，不合题意，所以只能为6或7．检验可知只有、满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，，而，得(厘米)，所以阴影部分的面积为：(平方厘米)． 【例 17】 如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？ 【解析】 连接,面积为的三角形占了矩形面积的，所以,所以,所以,由三角形相似可得阴影部分面积为． 【例 18】 已知长方形的面积为厘米，是的中点，、是边上的三等分点，求阴影的面积是多少厘米？ 【解析】 因为是的中点，、是边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成份的话，那么份、份，大家能在图形中找到沙漏和：有，所以，相当于把分成()份，同理也可以在图中在次找到沙漏：和也是沙漏，，由此可以推出：, 相当于把分成()份，那么我们就可以把分成份(和的最小公倍数)其中占份，占份，占份，连接则可知的面积为，在为底的三角形中占份，则面积为：(平方厘米). 【例 19】 是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米． 【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质． 设、分别为、的中点，连接、、． 可得， 对角线被、、平均分成四段，又∥，所以，， 所以 (平方厘米)，(平方厘米)． 同理可得平方厘米，平方厘米． 所以 (平方厘米)， 于是，阴影部分的面积为(平方厘米)． 方法二：寻找图中的沙漏，，，因此为的三等分点，(平方厘米)，(平方厘米)，同理(平方厘米)，所以(平方厘米)． 【例 20】 如图，三角形的面积是8平方厘米，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，是的中点，则三角形的面积是 平方厘米． 【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线． 取的中点，连接，设交于． 则三角形被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边，可知三角形的面积等于(平方厘米)，所以(厘米)，那么(厘米)． 因为是三角形的中位线，所以(厘米)，所以三角形的面积为 (平方厘米)． 【例 21】 如图，长方形中，为的中点，与、分别交于、，垂直于，交于，已知，，求． 【解析】 由于∥，利用相似三角形性质可以得到， 又因为为中点，那么有， 所以，利用相似三角形性质可以得到， 而，所以． 【例 22】 右图中正方形的面积为1， 、分别为、的中点，．求阴影部分的面积． 【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质． 阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作垂直于，垂直于． 根据相似三角形性质，，又因为，所以，即，所以． 【例 23】 梯形的面积为12，，为的中点，的延长线与交于，四边形 的面积是 ． 【解析】 延长、相交于． 由于为的中点，根据相似三角形性质，，，再根据相似三角形性质，，，而， 所以，． 又，，所以． 【例 24】 如图，三角形的面积为60平方厘米，、、分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为与的面积之差，又可以转化为与的面积之差． (法1)如图，连接． 由于、、分别为各边的中点，那么为平行四边形，且面积为三角形面积的一半，即30平方厘米；那么的面积为平行四边形面积的一半，为15平方厘米． 根据几何五大模型中的相似模型，由于为三角形的中位线，长度为的一半，则，所以； ，所以． 那么的面积占面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米)． (法2)如图，连接． 根据燕尾定理，，， 所以平方厘米， 而平方厘米，所以平方厘米， 那么阴影部分面积为(平方厘米)． 【总结】求三角形的面积，一般有三种方法： ⑴利用面积公式：底高； ⑵利用整体减去部分； ⑶利用比例和模型． 【例 25】 如图,是直角梯形，，那么梯形的面积是多少? 【解析】 延长交于点，分别计算的面积，再求和． ∴； 又∵ ∴, ∴ 【例 26】 边长为厘米和厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？ 　　　　　　　 【解析】 给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为，小正方形为，分别交于两点， ， ∴，， ∵ ∴ 【例 27】 如右图，长方形中，，，求的长． 【解析】 因为∥，根据相似三角形性质知， 又因为∥，， 所以，即，所以． 【例 28】 (第届迎春杯试题)如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求 【解析】 方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以． 方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以． 【例 29】 如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积． 【解析】 解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而， 所以， 并得、是的三等分点，所以，所以 ， 所以，； 又因为，所以． 解法二：延长交于，如右图， 可得，， 从而可以确定的点的位置， ， ，(鸟头定理)， 可得 【例 30】 (清华附中入学试题)正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是 平方厘米． 【解析】 欲求四边形的面积须求出和的面积． 由题意可得到：，所以可得： 将、延长交于点，可得： ， 而，得， 而，所以 ． 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接，确定的位置(也就是)，同样也能解出． 【例 31】 如图，已知,点分别在上，且，则是多少？ 【解析】 的面积已知，若知道的面积占的几分之几就可以计算出的面积．连接． ∵ ∴ ∴与平行， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 【例 32】 如图，长方形中，、分别为、边上的点，，，求． 【解析】 如图，过作的平行线交于． 由于是的中点，所以是的中点． 由于，，所以，． 根据相似性，，， 于是，，， 所以． 【例 33】 如下图，、、、均为各边的三等分点，线段和把三角形分成四部分，如果四边形的面积是24平方厘米，求三角形的面积． 【解析】 设三角形以为底的高为， 由于，所以； 所以三角形以为底的高是； 又因为三角形以为底的高是， 所以三角形的面积与三角形的面积之比， 所以三角形的面积为(平方厘米)， 而三角形的面积占三角形的， 所以三角形的面积是(平方厘米)． 【例 34】 (年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？ 【解析】 (法)由，有，所以，又，所以 ，所以，所以占的， 所以． (法)如图，连结，则(，而，所以，()．而()，因为， 所以，则()，阴影部分面积等于 ()。