小学奥数-几何五大模型(等高模型).doc

.\ 三角形等高模型与鸟头模型 模型一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式： 三角形面积底高 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图； 反之，如果，则可知直线平行于． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．  【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一： ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD的面积高高 三角形ABC的面积高高 三角形ADC的面积高高 所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的倍； 三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。 【例 3】 如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。 【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半，即(平方厘米)。 【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米。 【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为平方厘米。 【巩固】如下图，长方形和长方形拼成了长方形，长方形的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 。 【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为。 【例 4】 如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积。 【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。 连接、。 ∵， ∴． 同理，，， ∴(平方厘米)． 【巩固】图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是 。 【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的个边就都被分成了相等的三段。把和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形。这个三角形的底边分别是在正方形的个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了个三角形，右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等。 因此这个阴影三角形的面积分别是、和的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是，阴影部分的面积就是。 【例 5】 长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图： 可得：、、，而 即； 而，。 所以阴影部分的面积是： 解法二：特殊点法。找的特殊点，把点与点重合， 那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有： 。 【例 6】 长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【解析】 （法1）特殊点法。由于为边上任意一点，找的特殊点，把点与点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是与的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形面积的和，所以阴影部分面积为长方形面积的，为。 （法2）寻找可利用的条件，连接、，如右上图。 可得：、、，而， 即； 而，。 所以阴影部分的面积是：。 【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积。 【解析】 （法1）特殊点法。由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米。 （法2）连接、。 由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米。 【例 7】 如右图，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 【解析】 因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高， 于是：三角形ABC的面积 三角形EBC的面积 所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍． 【例 8】 如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？ 【解析】 AEC、AFC、ABF． 【巩固】如图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？ 【解析】 3个，AEC、BED、DEC． 【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ 【解析】 ABD与ACD，ABC与DBC，ABO与DCO． 【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形的面积为1，其中，，三角形 的面积是多少？ 【解析】 连接，∵，∴， 又∵，∴． 【例 10】 (2008年四中考题)如右图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是 平方厘米． 【解析】 连接．根据题意可知，的面积为面积的，的面积为面积的，所以的面积为面积的．而的面积为5平方厘米，所以的面积为(平方厘米)． 【巩固】图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是 长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 ，等高，所以面积的比为底的比，有, 所以=(平方厘米)．同理有(平方厘米)， (平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米． 【巩固】如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，厘米，求三角形的面积． 【解析】 ∵是的中点，是的中点，∴，， 又∵是长方形，∴ (平方厘米)． 【巩固】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积． 【解析】 三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半， 三角形ADE又是三角形ADC面积的一半． 三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积． 【巩固】如图，在三角形ABC中，厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？ 【解析】 ∵是的中点 ∴ 同理 ∴(平方厘米)． 【例 11】 如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位． 【解析】 如右图分割后可得，（平方单位）． 【巩固】(97迎春杯决赛)如图，长方形的面积是，是边的中点，在边上，且.那么，阴影部分的面积是多少？ 【解析】 连接，因为是中点所以的面积为又因为，所以的面积为，又因为面积为，所以阴影部分的面积为：. 【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积． 【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则，， 所以，阴影部分面积为． 【例 13】 如图，三角形中，，，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？ 【解析】 ∵，∴，； 又∵，∴，(平方厘米)． 【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面积分别是89，28，26．那么三角形的面积是 ． 【解析】 根据题意可知，， 所以， 那么， 故． 【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积． 【解析】 如右图，作AB的平行线DE．三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等，三角形DEC的面积就是三角形BDC与三角形ABD的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC的高)是：(分米)，梯形面积是：(平方分米)． 【例 16】 图中AOB的面积为，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积． 【解析】 在中，因为，且，所以有． 因为和等底等高，所以有． 从而，在中，，所以梯形面积：． 【例 17】 如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形． 　　　　　　　　　　 【解析】 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A′处，A′BD与 面积相等，从而A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点． 具体做法：⑴ 连接BD； ⑵ 过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′． ⑶ 连接A′D，则A′CD与四边形ABCD等积． 【例 18】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的，黄色三角形面积是．问：长方形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的，而绿色三角形面积占长方形面积的，所以黄色三角形面积占长方形面积的． 已知黄色三角形面积是，所以长方形面积等于（）． 【例 19】 是长方形内一点，已知的面积是，的面积是，求的面积是多少？ 【解析】 由于是长方形，所以，而，所以，则，所以． 【例 20】 如右图，过平行四边形内的一点作边的平行线、，若的面积为8平方分米，求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？ 【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形的面积与平行四边形的面积差，相当于求平行四边形的面积与平行四边形的面积差． 如右上图，连接、． 由于，所以． 而，，所以(平方分米)． 【例 21】 如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积． 【解析】 连接交于点，并连接．如下图所示， 可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有： ， 因为，所以． 【巩固】如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积． 【解析】 连接交于点，并连接．如右上图所示， 可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有: ， 因为，所以． 【例 22】 在长方形内部有一点，形成等腰的面积为16，等腰的面积占长方形面积的，那么阴影的面积是多少？ 【解析】 先算出长方形面积，再用其一半减去的面积(长方形面积的)，再减去的面积，即可求出的面积． 根据模型可知，所以， 又与的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以的面积等于长方形面积的， 所以． 【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形中，、分别是其两腰、的中点，是上的任意一点，已知 的面积为，而的面积恰好是梯形面积的，则梯形的面积是 ． 【解析】 如果可以求出与的面积之和与梯形面积的比，那么就可以知道的面积占梯形面积的多少，从而可以求出梯形的面积． 如图，连接、．则，，于是． 要求与梯形的面积之比，可以把梯形绕点旋转，变成一个平行四边形．如下图所示： 从中容易看出的面积为梯形的面积的一半．(也可以根据，，得来) 那么，根据题意可知的面积占梯形面积的，所以梯形的面积是． 小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论．本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设与重合，则的面积占梯形面积的一半，那么与合起来占一半． 【例 24】 如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等． 【解析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接．(我们通过把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．) ∵在平行四边形中，边上的高， ∴． 同理，，∴平行四边形与面积相等． 【巩固】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形中，边上的高， ∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，． ∴正方形与长方形面积相等． 长方形的宽(厘米)． 【例 25】 如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2．长方形EFGH的面积为 ． 【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍． 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， ,所以长方形EFGH面积为33． 【例 26】 如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积． 　　 【解析】 连结AF、CE． ∴；； 又∵AC与EF平行，∴． ∴ (平方厘米)． 【巩固】如右图，在平行四边形中，直线交于，交延长线于，若，求 的面积． 【解析】 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等(或夹在一组平行线之间的三角形面积相等)和等量代换的思想．连接． ∵∥，∴ 同理∥，∴ 又，，∴ ，即． 【例 27】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米． 【解析】 ． 【例 28】 如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积． 【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化． 如右图所示，连接、、，则，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得，，所以阴影部分的面积就等于正方形的面积，即为平方厘米． 【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积． 【解析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于． 【巩固】(2008年西城实验考题)如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ． 【解析】 如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米． 【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 【解析】 方法一：三角形BEF的面积， 梯形EFDC的面积三角形BEF的面积， 而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积， 进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 方法二：连接CF，那么CF平行BD ， 所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 【巩固】(人大附中考题)已知正方形边长为10，正方形边长为6，求阴影部分的面积． 【解析】 如果注意到为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到与是平行的．所以可以连接、，如上图． 由于与平行，所以的面积与的面积相等．而的面积为，所以的面积也为20． 【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积． 【解析】 连接、，由于与平行，可知四边形构成一个梯形． 由于面积为6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知的面积为12平方厘米，的面积为6平方厘米，的面积为3平方厘米． 那么正方形的面积为平方厘米，所以其边长为6厘米． 又的面积为平方厘米，所以(厘米)，即正方形的边长为3厘米．那么，五边形的面积为：(平方厘米)． 【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，、分别是梯形的下底和腰上的点，，并且甲、乙、丙个三角形面积相等．已知梯形的面积是平方厘米．求图中阴影部分的面积． 【解析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底．所以到的距离与到的距离相等，即与平行，四边形是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形的面积的，所以阴影部分的面积乙的面积．设甲、乙、丙的面积分别为份，则阴影面积为份，梯形的面积为份，从而阴影部分的面积(平方厘米)． 【例 31】 如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？ 【解析】 方法一：连接对角线． ∵是长方形 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 方法二：连接，由图知，所以，又由，恰好是面积的一半，所以是的中点，因此，所以 【例 32】 如图，在平行四边形中，，．求阴影面积与空白面积的比． 【解析】 方法一：因为，，所以，． 因为，所以， 所以，． 同理可得，，． 因为，所以空白部分的面积， 所以阴影部分的面积是． ，所以阴影面积与空白面积的比是． 【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形中，是边的中点，是边上的一点，且，为与的交点．若的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．且是平方厘米，那么三角形的面积是 平方厘米． 【解析】 ，，所以(平方厘米)．所以(平方厘米)． 【例 34】 如图，在梯形中，，，且的面积比的面积小10平方厘米．梯形的面积是 平方厘米． 【解析】 根据题意可知，则，， 而平方厘米，所以 ，则平方厘米． 又，所以平方厘米． 所以(平方厘米)． 【巩固】(第五届《小数报》数学竞赛初赛)如图，是梯形的一条对角线，线段与平行， 与相交于点．已知三角形的面积比三角形的面积大平方米，并且．求梯形的面积． 【解析】 连接．根据差不变原理可知三角形的面积比三角形大4平方米，而三角形与三角形面积相等，因此也与三角形面积相等，从而三角形的面积比三角形的大4平方米． 但，所以三角形的面积是三角形的，从而三角形的面积是(平方米)，梯形的面积为：(平方米)． 【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是，，．那么图中阴影部分的面积是多少？ 【解析】 三角形的面积三角形的面积长方形面积阴影部分面积；又因为三角形的面积三角形的面积长方形面积，所以可得： 阴影部分面积． 【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？ 【解析】 如下图，为了方便说明，将某些点标上字母． 有为直角，而，所以也为直角.而.与同高，所以面积比为底的比，及===，设的面积为“8”，则的面积为“5”．是由折叠而成，所以有、面积相等，是由、、组成，所以=“8”+“5”+“5”=“18”对应为，所以“1”份对应为，那么△ADE的面积为=平方厘米．即阴影部分的面积为平方厘米． 【例 37】 如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【解析】 如下图，连接，、的面积相等，设为平方厘米;、的面积相等，设为平方厘米，那么的面积为平方厘米． 　　，．所以有．比较②、①式，②式左边比①式左边多，②式右边比①式右边大0.5，有，即,．而阴影部分面积为平方厘米． 【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他知道,且．则两块地和的面积比是_________． 【解析】 方法一：连接． 设的面积为1， 的面积，则根据题上说给出的条件，由得， 即的面积为、; 又有，、，而； 得，所以． 方法二：连接，设(份)，则,设则有，解得，所以 方法三：过点作∥交于点，由相似得,又因为，所以，所以两块田地ACF和CFB的面积比 【例 39】 (年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级试)如图，，，被分成个面积相等的小三角形，那么 ． 【解析】 由题意可知，，所以，；又，所以，同样分析可得，所以． 【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角的两边上分别有、、及、、六个点，并且、、、、的面积都等于1，则的面积等于 ． 【解析】 根据题意可知，，所以，． 【例 40】 、分别为直角梯形两边上的点，且、、彼此平行，若，，，．求阴影部分的面积． 【解析】 连接、． 由于、、彼此平行，所以四边形是梯形，且与该梯形的两个底平行，那么三角形与、三角形与的面积分别相等，所以三角形的面积与三角形的面积相等．而三角形的面积根据已知条件很容易求出来． 由于为直角梯形，且，，，，所以三角形的面积的面积为：．所以三角形的面积为25． 【例 41】 (2007年人大附中分班考试题)已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形) 【解析】 因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有，即，所以． 又，所以． 【例 42】 (2009年四中入学测试题)如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是 ． 【解析】 连接，． 根据题意可知，；； 所以，，，，， 于是：；； 可得．故三角形的面积是40． 【巩固】(第四届希望杯)如图，点、、在线段上，已知厘米，厘米，厘米，厘米，将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是平方厘米，上边部分面积是平方厘米，则三角形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 连接设的面积是,由于所以的面积是、的面积是由于上半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为下半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为是的2倍所以可以列方程为：()解得，的面积为平方厘米. 【例 43】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形的面积为5，那么阴影部分的面积是 ． 【解析】 如图所示，设上的两个点分别为、．连接． 根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为． 又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以阴影部分的面积为：． 【巩固】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形的面积是 ． 【解析】 如图所示，设上的两个点分别为、．连接． 根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为． 又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以四边形的面积为：． 【例 44】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为 ． 【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积． 由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为； 又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为． 另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为． 【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形的面积为24平方厘米．三角形与三角形 的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是 平方厘米． 【解析】 因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)． 【巩固】如图所示，矩形的面积为36平方厘米，四边形的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】 因为三角形面积为矩形的面积的一半，即18平方厘米，三角形面积为矩形的面积的，即9平方厘米，又四边形的面积为3平方厘米，所以三角形与三角形的面积之和是平方厘米． 又三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为(平方厘米)． 【巩固】(2008年清华附中考题)如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为 ． 【解析】 如图，连接． 根据蝴蝶定理，，所以； ，所以． 又，，所以阴影部分面积为：． 【例 45】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形的面积是平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 如图，过、、、分别作长方形的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为厘米，面积等于平方厘米．设、、、的面积之和为，四边形的面积等于，则，解得(平方厘米)． 【例 46】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为的正方形，则阴影部分四边形的面积是 ． 【解析】 如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米． 从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、 四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米． 【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米． 从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、 四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米． 【巩固】已知正方形的边长为10，，，则 ． 【解析】 如图，作于，于． 则四边形分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为，所以． 【例 47】 如图，三角形的面积是，、的长度分别为11、3．求长方形的面积． 【解析】 如图，过作∥，过作∥，、交于，连接． 则 另解：设三角形、、的面积之和为，则正方形的面积为． 从图中可以看出，三角形、、的面积之和的2倍，等于正方形的面积与长方形的面积之和，即，得，所以正方形的面积为． 【例 48】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形中，，．、分别是边上的两点，．那么，三角形面积的最小值是 ． 【解析】 由于长方形的面积是一定的，要使三角形面积最小，就必须使、、的面积之和最大． 由于、、都是直角三角形，可以分别过、作、的平行线，可构成三个矩形、和，如图所示． 容易知道这三个矩形的面积之和等于、、的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形的面积加上长方形的面积．所以为使、、的面积之和最大，只需使长方形的面积最大． 长方形的面积等于其长与宽的积，而其长，宽，由题知，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所以当与的差为0，即与相等时它们的积最大，此时长方形的面积也最大，所以此时三角形面积最小． 当与相等时，，此时三角形的面积为：．(也可根据得到三角形的面积) 【例 49】 (2007首届全国资优生思维能力测试)是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是 ． 【解析】 （法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为． （法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右上图所示： 则有: 同理可得：; 而,即； 同理：,,; 所以： 而； ； 所以阴影部分的面积是： 即为：． 【例 50】 如图所示，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求阴影部分与四边形的面积之比． 【解析】 (法1)设，，，． 连接知，，，； 所以； 同理．于是； 注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形；因此四块阴影的面积和就等于四边形的面积． (法2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果． 【巩固】(2008年”希望杯”二试六年级)如图，、、、分别是四边形各边的中点，与交于点，、、及分别表示四个小四边形的面积．试比较与的大小． 【解析】 如右图，连接、、、，则可判断出，每条边与点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于、这两个不同的组合，所以可知． 【例 51】 如图，四边形中，，，，已知四边形的面积等于4，则四边形的面积 ． 【解析】 运用三角形面积与底和高的关系解题． 连接、、、，因为，，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，． 因为， 所以． 又因为 ， 所以． 【拓展】如图，对于任意四边形，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形，求四边形的面积是四边形的几分之几？ 【解析】 分层次来考虑： ⑴如下左图，，， 所以． 又因为，， 所以； ． ⑵如右上图，已知，；所以； 所以，即是三等分点； 同理，可知、、都是三等分点； 所以再次应用⑴的结论，可知，． 【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形，在边、、的正中间分别取点、、，在边、、上分别取点、、，使，当和、和、和的相交点分别是、、时，使． 这时，三角形的面积是三角形的面积的几分之几？请写出思考过程． 【解析】 连接、、，显然，是正三角形将放大至如图⑵． 图⑴ 图⑵ 连，由对称性知，．因此，． 同理，． 所以，． 【例 53】 如图：已知在梯形中，上底是下底的，其中是边上任意一点，三角形、三角形、三角形的面积分别为、、．求三角形的面积． 【解析】 如图，设上底为，下底为，三角形与三角形的高相差为． 由于，所以．即． 又，所以． 【例 54】 如图，已知是梯形，∥，，，，求的面积． 【解析】 本题是09年六年级试题，初看之下，是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四边形内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为、这两个点的位置不明确．再看题目中的条件，，，这两个条件中的前一个可以根据差不变原理转化成与的面积差，则是与的面积差，两者都涉及到、以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过、