广东地区12大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编7-立体几何.doc

-! 广东省12大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编7：立体几何 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 一、选择题 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a + b的最大值为 （　　） A． B． C．4 D． ．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）一空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为12π+,则正视图与侧视图中x的值为 . . . . ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 （　　） A． B． C． D． ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(1)示,则该几何体的体积为 （　　） A．7 B． C． D． ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）下列命题中假命题是 （　　） A．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C．若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行. ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版））如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为 （　　） A． B． C． D． ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD版））一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分,则截面的面积为 （　　） A． B． C． D． 4 6 图2 ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）图2是一个组合体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积等于(几何体的接触面积可忽略不计)___________ ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））某简单组合体的三视图如图2,其中正视图与侧视图相同(尺寸如图,单位:cm),则该组合体的体积是________(结果保留) ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD版））一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___ ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版））已知集合={直线},={平面},. 若,给出下列四个命题: ① ② ③ ④ 其中所有正确命题的序号是__________. 三、解答题 ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）如图,在直角梯形中,已知,,,.将沿对角线折起(图),记折起后点的位置为且使平面平面. (1)求三棱锥的体积; (2)求平面与平面所成二面角的平面角的大小. ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））如图,在长方体ABCD一A1B1C1D1中,AA1=2, AD = 3, E为CD中点,三棱 锥A1-AB1E的体积是6. (1) 设P是棱BB1的中点,证明:CP//平面AEB1; (2) 求AB的长; (3)求二面角B—AB1-E的余弦值. ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））如图6,已知四边形是矩形,,三角形是正三角形,且平面平面. (1)若是的中点,证明:; (2)求二面角的余弦值. ．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）如图甲,在平面四边形ABCD中,已知,,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点. (1)求证:DC平面ABC; (2)求BF与平面ABC所成角的正弦值; (3)求二面角B-EF-A的余弦值. ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）如图,在梯形中,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上. (1)求证:平面; (2)当为何值时,平面?证明你的结论; (3)求二面角的余弦值. ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD版））如图,在边长为4的菱形ABCD中,,点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,点D不重合,, ,沿EF将折起到的位置,使得平面 平面 (1)求证:平面 (2)设AOBD=H,当O为CH中点时,若点Q满足,求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值. ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在图(4)所示的长方形ABCD中, AD=2AB=2,E、F分别为AD、BC的中点, M 、N两点分别在AF和CE上运动,且AM=EN=把长方形ABCD沿EF折成大小为的二面角A-EF-C,如图(5)所示,其中 (1)当时,求三棱柱BCF-ADE的体积; (2)求证:不论怎么变化,直线MN总与平面BCF平行; (3)当且时,求异面直线MN与AC所成角余弦值. ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）如图甲,设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上. (1)证明:平面; (2)求平面与平面所成二面角的余弦值. 图甲 图乙 第18题图 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版））(本小题满分分)如图, 中,侧棱与底面垂直, ,,点分别为和的中点. (1)证明: ; (2)求二面角的正弦值. ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD版））等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图 3).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图4). (1)求证:平面; (2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由. B C E D 图4 图3 A B C D E ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图所示,已知为圆的直径,点为线段上一点,且,点为圆上一点,且.点在圆所在平面上的正投影为点,. (1)求证:;(2)求二面角的余弦值. P A B D C O 第18题图 广东省12大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编7：立体几何参考答案 一、选择题 C C A 依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为.,故选D. B 【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的.圆椎底面半径为,椎体底面边长为,高为.故选. C B 二、填空题 解析:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为 【解析】由题意知:可以是直线,也可以是平面, 当表示平面时,①②③都不对,故选④正确. 三、解答题 解:(1)∵平面平面,, 平面,平面平面, ∴平面, 即是三棱锥的高, 又∵,,, ∴ , ∴, , ∴三棱锥的体积. (2)方法一: ∵平面,平面,∴ 又∵,,∴平面, ∵平面,∴ ∴ ∵,∴ ∴ ∴,即 由已知可知, ∵,∴平面 ∵平面,∴平面平面 所以平面与平面所成二面角的平面角的大小为. 方法二: 过E作直线,交BC于G,则, 如图建立空间直角坐标系,则, , 设平面的法向量为, 则,即化简得 令,得,所以是平面的一个法向量. 同理可得平面PCD的一个法向量为 设向量和所成角为,则 ∴平面与平面所成二面角的平面角的大小为. 证明:在图甲中∵且 (1) ∴ , 即 在图乙中,∵平面ABD平面BDC , 且平面ABD平面BDC=BD ∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥C D 又,∴DC⊥BC,且 ∴DC平面ABC (2)解法1:∵E、F分别为AC、AD的中点 ∴EF//CD,又由(1)知,DC平面ABC, ∴EF⊥平面ABC,垂足为点E ∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角 在图甲中,∵, ∴, 设则,, ∴在Rt△FEB中, 即BF与平面ABC所成角的正弦值为 解法2:如图,以B为坐标原点,BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示, 设,则, 可得,, ,, ∴, 设BF与平面ABC所成的角为 由(1)知DC平面ABC ∴ ∴ (3)由(2)知 FE⊥平面ABC, 又∵BE平面ABC,AE平面ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE, ∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角 在△AEB中, ∴ 即所求二面角B-EF-A的余弦为 证明:(Ⅰ)在梯形ABCD中,∵, ∴四边形ABCD是等腰梯形, 且 ∴,∴ 又∵平面平面ABCD,交线为AC,∴平面ACFE. (Ⅱ)当时,平面BDF. 现在证明如下: 在梯形ABCD中,设,连结FN,则 [来源:学科网] ∵而,∴∴MFAN, ∴四边形ANFM是平行四边形. ∴ 又∵平面BDF,平面BDF. ∴平面BDF. (Ⅲ)方法一;(几何法)取EF中点G,EB中点H,连结DG、GH、DH, ∵容易证得DE=DF,∴ ∵平面ACFE,∴ 又∵,∴ 又∵,∴ ∴是二面角B—EF—D的平面角. 在△BDE中∴∴, ∴又∴在△DGH中, 由余弦定理得即二面角B—EF—D的平面角余弦值为 方法二;(向量法)以C为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系: ,,,, 所以,, 分别设平面BEF与平面DEF的法向量为, 所以,令,则 又显然,令 所以,,设二面角的平面角为为锐角 所以 解:(1)依题意得平面,= 由得,, ∴ (2)证法一:过点M作交BF于, 过点N作交BF于,连结, ∵∴ 又∵ ∴ ∴四边形为平行四边形, 【法二:过点M作交EF于G,连结NG,则 , 同理可证得,又, ∴平面MNG//平面BCF ∵MN平面MNG, 】 (3)法一:取CF的中点为Q,连结MQ、NQ,则MQ//AC, ∴或其补角为异面直线MN与AC所成的角, ∵且∴, 即MN与AC所成角的余弦值为 【法二:∵且 分别以FE、FB、FC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系 则 , 所以与AC所成角的余弦值为 】 ⑴证明:在图甲中,易知,从而在图乙中有, 因为平面,平面,所以平面(条件2分) ⑵解法1、 如图,在图乙中作,垂足为,连接, 由于平面,则, 所以平面,则, 所以平面与平面所成二面角的平面角, 图甲中有,又,则三点共线, 设的中点为,则,易证,所以,,; (三角形全等1分) 又由,得, 于是,, 图甲 图乙 在中,,即所求二面角的余弦值为 图丙 解法2、 如图,在图乙中作,垂足为,连接,由于平面,则, 所以平面,则,图甲中有,又,则三点共线, 设的中点为,则,易证,所以,则; 又由,得, 于是,, 在中, 作交于点,则,以点为原点,分别以所在直线为轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则、、、,则(坐标系、坐标、向量各1分) 显然,是平面的一个法向量, 设是平面的一个法向量,则,即,不妨取,则, 设平面与平面所成二面角为,可以看出,为锐角,所以,,所以,平面与平面所成二面角的余弦值为 (本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解 : (1)证法一: 连接 由题意知,点分别为和的中点, [来源:学科网ZXXK] 又平面,平面, 平面 证法二:取中点,连,而 分别为与的中点, , ,, , 同理可证 又 平面//平面 平面,平面 证法三(向量法): 以点为坐标原点,分别以直线 为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是 ,, 向量是平面的一个法向量 , 又 平面 (2)解法一: 以点为坐标原点,分别以直线 为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 于是,, 由(1)知是平面的一个法向量, 设平面的法向量为,,, , 设向量和向量的夹角为,则 二面角的的正弦值为 解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显然,,都在同一平面上 易证,, 平面,平面, ,又 平面. 取中点,连, 分别是的中点 , 平面, 且为垂足,即平面,过点作于, 过作交于,连, 则即是所求二面角的补角 在中, , ,, 在中,, 又 在中,, 所求二面角的正弦值为 (本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本小题满分14分) A B C D E 证明:(1)因为等边△的边长为3,且, 所以,. 在△中,, 由余弦定理得. 因为, 所以. 折叠后有 因为二面角是直二面角,所以平面平面 又平面平面,平面,, 所以平面 (2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为. B C E D H P 如图,作于点,连结、 由(1)有平面,而平面, 所以 又, 所以平面 所以是直线与平面所成的角 设,则, 在△中,,所以 在△中,, 由, 得 解得,满足,符合题意 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 解法2:由(1)的证明,可知,平面. B C E D H x y z P 以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 设, 则,, 所以,, 所以 因为平面, 所以平面的一个法向量为 因为直线与平面所成的角为, 所以 , 解得 即,满足,符合题意 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 解析:P A B D C O (Ⅰ)法1:连接,由知,点为的中点, 又∵为圆的直径,∴, 由知,, ∴为等边三角形,从而 ∵点在圆所在平面上的正投影为点, ∴平面,又平面, ∴, 由得,平面, 又平面,∴ (注:证明平面时,也可以由平面平面得到,酌情给分.) 法2:∵为圆的直径,∴, 在中设,由,得,,,,[来源:学.科.网] ∴,则,∴,即 ∵点在圆所在平面上的正投影为点, ∴平面,又平面, ∴, 由得,平面, 又平面,∴ 法3:∵为圆的直径,∴, 在中由得,, 设,由得,,, 由余弦定理得,, ∴,即. ∵点在圆所在平面上的正投影为点, ∴平面,又平面, ∴, 由得,平面, 又平面,∴ P A B D C O E (Ⅱ)法1:(综合法)过点作,垂足为,连接 由(1)知平面,又平面,∴,又, ∴平面,又平面, ∴, ∴为二面角的平面角 由(Ⅰ)可知,, (注:在第(Ⅰ)问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分.) ∴,则, ∴在中,, ∴,即二面角的余弦值为 法2:(坐标法)以为原点,、和的方向分别为轴、轴和轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系 (注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明,酌情给分.) 设,由,得,,, ∴,,,, ∴,,, 由平面,知平面的一个法向量为 P A B D C O y z x 设平面的一个法向量为,则 ,即,令,则,, ∴, 设二面角的平面角的大小为, 则, ∴二面角的余弦值为