数列极限与数学归纳法.doc

-*第三章 数列、极限与数学归纳法课标与考试基本解题方法点拨1.基本量法：在等差（等比）数列中，经常涉及到的有5个量，其中最重要也是最基本的量是首项和公差（或公比），这两个量是等差（等比）数列定义的出发点，而且有了这两个量，数列中的其它量也可以随之确定，称之为基本量法.适用情境：求解一般的等差，等比数列问题，可利用相关公式，求出该数列中的基本量，从而解决要求的其它量，只是需要因题制宜，有些时候只需设而不求.常见题型与解法：知三求二法：在围绕着数列五个量的基本公式中，一般的公式中都含有四个量，那么知道其中的三个量，利用公式，通过求代数式的值或解方程（组）总可以求出其他两个量.课本中的等差等比通项与求和公式在运用时，特别要注意等比求和时，与的两种情况.除此还有一些推广的性质，在等差数列中有，若，则，成公差为的等差数列；在等比数列中，若，则，成公比为的等比数列.2.递推法：已知数列的任意一项，通过给定的规律求出紧接着后面的一项称为递推，利用递推式求数列的通项或前项之和的方法叫做递推法.适用情境：一个数列的递推式是这个数列定义的一种表现形式，由于初始条件和递推规律反映了数列的全部情况，所以可由这种递推关系转化成数列的通项关系（这里一般指不是等差等比数列的递推关系）常见题型与解法：（1）与的互化，根据数列的前项和可求得通项 （2）形如，可设常数，将其转化为，其中的值可待定系数确定.（3）形如可利用递推关系连续写出个关系式，然后将左右分别相加，可求出的通项公式.（4）形如可利用递推关系连续写出个关系式，然后将左右分别相乘，可求出的通项公式.（5）类比推理法，当是等差数列是等比数列；是正项等比数列是等差数列.3.特殊数列求和法：当遇到一些特殊数列，可用一些较为特定的方法将之求和.适用情境：除了等差、等比数列，某些数列具备一定的特征，我们可以利用这些特征将之转化后利用等差，等比的求和方法求出该数列的和.常见题型与解法：（1）公式法：直接转化为基本数列（等差或等比数列）求和. （2）倒序相加法：对于一个有限项数列，若具备“凡是与首末两项等距离的任意两项之和总等于同一常数”的特点，则可将此数列的前项进行倒序表述，并与前者对应相加，通过对称性以达到求和.（3）裂项求和法：将数列中的每一项拆成两项，在求和时，除首项和末项之外，中间的项相互抵消，从而达到求和目的的方法称为裂项法.（4）错位相减法：如果数列是等差数列，数列是等比数列，公比为，那么的前项和的求法，可分别求出和的表达式，特别注意与的同次指数项对齐（错位对齐），等式两边均对应项相减，化简并将左边系数化为1，即得.（5）分组求和法：把数列依某种特征分成若干个易求和的组，或把通项拆成若干项，再对每项产生的数列分别求和.4.函数法：用函数的性质解决有关数列的问题. 适用情境：由于数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，因此可以通过研究函数的图象和性质（如函数的单调性，最值等）来解决数列问题.常见题型与解法：（1）单调性法：考察数列的单调性，即可判断相邻两项差：的符号或直接利用数列所对应函数的单调性，考察的最大、小项等.（2）极值点，零点法：设为数列的最大项，则，但此公式仅为为最大项的必要条件，且不为最大项时适用，设为等差数列前项和的最大值5.归纳、猜想、证明：进行数学探究过程中经常使用的一种方法.适用情境：从特殊或部分事实归纳出一般性的结论作为猜想，然后用严密的推理方式进行证明，在证明中涉及与自然数有关的数学命题多用数学归纳法.常见题型与解法：归纳是基础，猜想是关键，数归法的步骤是：（1）证明当取时结论成立；（2）假设当时结论正确，证明当时，结论也正确，综上当时结论成立。6.化归重要极限：利用几个重要的极限进行运算.适用情境：在n无限增大的变化过程中，若数列中的项无限趋近于一个常数，则此类问题.就可以用数列极限的思想来解决.常见题型与解法：1）四个基本的重要数列极限：（1）；（4）. 2）多项式分式型的极限计算，先将分子与分母都除以转化为自然数倒数数列与常数数列极限的计算；型的极限计算，先将算式转化为型，再设法求解.原题与点评试题12006理（4）计算： .命题立意 本题考查数列极限的计算思路分析 将分子展开后，即可观察到分子为最高次为3次，其系数为的多项n，及利用数列极限中多项式形式，由其最高次项系数之比，即得.试题解析 .试题点评 本题文理科生得分率分别为0.93，0.82；区分度分别为0.52，0.39，本题考查目标属双基要求，很多数学生掌握较好，可能题目中存在数列极限的运算中混搭了组合数公式，令少数考生无所适从.试题22005理（7）计算：=_.命题立意 本题考查数列极限.思路分析 本题为数列极限中的指数型，方法是同除以底数较大，指数较小的一项，以构成重要极限.试题解析 =3.试题点评 本题理科得分率0.84，区分度0.52，部分学生对数列极限的运算法则及如何转化成几个重要的数列极限形成，掌握不熟练，使得结论为.试题32004理（4）设等比数列an(nN)的公比q=,且(+)=,则= .命题立意本题考察无穷等比数列及其和的概念.思路分析本题因为，所以可以直接使用无穷递缩等比数列的公式，求出.试题解析 试题点评本题文理科生得分率分别为0.44，0.70；区分度分别为0.56，0.43，少数学生混淆等比数列前项和与无穷等比数列之和的概念，部分学生将极限符号后和式的每一项当作是连续的和.试题42004（22）设，, (n3,nN) 是二次曲线C上的点, 且=2, =2, , =2构成了一个公差为d(d0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=+.(1) 若C的方程为=1,n=3. 点P1(10,0) 及S3=255, 求点P3的坐标； (只需写出一个)(2)若C的方程为(b0). 点P1(,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值；(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,Pn存在的充要条件,并说明理由.命题立意 本题考查了等差数列的通项与求和，曲线与方程，解方程组，并着力考察了等差数列前项和单调性，分析问题和解决问题的能力.思路分析 本题难点在第2问，对于给定的自然数，当公差变化时，求的最小值，因此突破口就在将看成公差为自变量的函数，从而利用函数单调性及定义域解决最值问题.试题解析解：(1) =2=100,由S3=(+)=255,得=3=70. 由 ，得 点P3的坐标可以为(2, ). (2)解法一 原点O到二次曲线C:(b0)上各点的最小距离为b,最大距离为. =2=2, d0,且=2=2+(n1)db2, d0 Sn=n2+d在,0)上递增, 故Sn的最小值为n2+=. 解法二 对每个自然数k(2kn), 由x+y=2+(k1)d,解得y=.+=1 0 yb2,得d0， d0. 原点O到双曲线C上各点的距离h,+),且=2, 点P1, P2,Pn存在当且仅当22,即d0. 解法二 若抛物线C:y2=2x,点P1(0,0), 则对于给定的n, 点P1, P2,Pn存在的充要条件是d0.理由同上 解法三 若圆C:(x)+y2=2(0), P1(0,0), 则对于给定的n, 点P1, P2,Pn存在的充要条件是00，且2=(n1)d42即0400 (1.08)n1 0.85.用计算器可解得满足上述不等式的最小正整数n=6，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.试题点评 本题文理科生得分率分别为0.44，0.66；区分度为0.76，0.67，在本题中，少数学生不会根据题意建立数学模型，一年一年硬算，往往计算错误很多，有的学生计算结果后答案都相差1年，反映出对项数的理解不准确有的学生错误地套用数列的相关知识，如第1小题中低价房总面积用了等比求和来表示，有的又将历年来新建中低价房的累计面积用等差数列的通项来表示.在第2小题中，有的将当年建造的住房面积用等比数列的前n项和来表示，还有的同学对n的理解不准确.试题62006（21） 已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值命题立意 本题考查等比数列，能根据n的不同取值正确推理结论成立的逻辑推理能力，能正确地将等比数列转化成等差数列问题，具有分析问题，探究问题的思维能力.思路分析 第1小题主要是考查了的递推关系，第2小题则展示了等差与等比之间在条件成立的情况下可以互化，第3小题考查了分类讨论的数学思想及探究问题的能力试题解析 (1) 证明 当n=1时,=2,则=； 2n2k1时, =(1) Sn+2, =(1) Sn1+2, =(a1) an, =a, 数列是等比数列. (2) 解：由(1) 得=2, =2=2=2, bn=(n=1,2,2k). （3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.试题点评 本题理科生得分率为0.53，区分度为0.81，本题的第1小题常见错误为对的两种情况分类不到位第2，3小题含字母的多项式运算，部分学生出现将字母n与k混淆，当第3小题再出现含字母绝对值运算时，则显出做题没有章法，不知从哪里下手，字母较多又要分类讨论的多项式运算是学生的弱项试题72007理（21）如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列”例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列记各项的和为当为何值时，取得最大值？并求出的最大值； （3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和命题立意 本题考查等差数列及其求和，把等差数列放到了一个新的数学背景下，去和新知识整合，考察了学生的学习数学新知识的能力及分析问题与解决问题的能力思路分析 本题的难、重点在第2，3小题，第2小题要学生善于接受并理解给出的新的对称数列的本质，运用原有的等差数列通项及求和知识，并运用等差数列中的函数性质求得的最大项，第3小题要求考生能准确地理解题目给出的信息，并不重复不遗漏地对所有情况进行分类讨论试题解析（1）设的公差为，则，解得 ， 数列为 （2） ， ， 当时，取得最大值，的最大值为626 （3）所有可能的“对称数列”是： ； ； ； 对于，当时，； 当时， 对于，当时，； 当时， 对于，当时， ； 当时， 对于，当时，； 当时，试题点评 本题理科生得分率分别为（1）0.96 （2）0.46 （3）0.09 ，区分度为（1）0.31 （2）0.62 （3）0.49本题既有对学生双基的考查，更有对学生能力的要求，有阅读，收集新知识，概念的能力，又要能及时理解并正确加以处理，并且有多种情况能逐一正确地表达，题目对分析问题，解决问题的能力考查的意图非常明显迁移与实践一. 填空题1.在等差数列中,已知,求 ;在等比数列中,已知,求 . 2.数列满足,且对任意正整数都有,则数列的通项公式为 .3.求极限 ;,则 ， .4.数列前n项和为,且当时,满足,求数列的通项公式为 .5. 设等差数列的前n项和为,若,为数列的前n项和,则= . 6.已知数列为等差数列,且,求数列的通项公式 .7.设,令 ,求数列各项和= . 8.已知是方程的两个根，若，求 .二选择题9设成等差数列， 成等比数列，则的取值范围是 （ ） A B. C D.10已知数列前n项和，其中是非零常数，则存在数列，使得 （ ）A，其中是等差数列，是等比数列B，其中是等差数列，是等差数列C，其中是等差数列，是等比数列D，其中是等比数列，是等比数列11已知数列满足，若，则等于 （ ） A B.3 C.4 D.5三.解答题12设等比数列的公比为，前n项为，若，成等差数列，求公比的值.13在数列中，且，求数列的通项公式.14化工厂购进3245桶液体工业原料，为了方便保管和运，要求将它们堆放长纵截面为等腰梯形的一垛且相邻两层只相差一桶，在不考虑占地面积堆放高度具体条件时，堆放方案有哪几种？15是否存在实数，使以下的等式成立？16已知抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于点，过点作斜率为的直线交抛物线于点，过点作斜率为的直线交抛物线于点，.，如此无限作下去，依次得到点，.，.，则，.，是否向某一点逼近？17，已知公比为的无穷等比数列的各项和为9，无穷等比数列的各项和为.（1）求数列的首项和公比.（2）对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前10项和.（3）设为数列的第i项，求，并求正整数，使得存在且不等于零.参考答案：一14，； 2.； 3.1，； 4.； 5.；6.； 7.； 8.5 .二9C； 10.C； 11.B. 三12设首项为，（1） 当， 或，所以；（2） 当， 所以无解.综上，.13.当n=1 ；当， ， ， ， .14设堆放时，第n层的桶数为，则椐题意是公差为1的正项等差数列， （*）， ， 其中， 由（*）可知，n可却2，5，7，10，14.可设计出下列5种方案：（1）， ， ；（2）， ， ， ， ， ；（3）， ， ， . ；（4）， ， ，.；（5）， ， ，.；15 记设时上式成立，即，则当等式对也成立.综上，当题设对一切自然数均成立.16过点作斜率为的直线交抛物线于， ， ， 将n=1，3，5，.代入上式累加得 17（1） （2）由（1）， 的首项为，.（3）当, 当, 所以