2022年普通高考数学科一轮复习学案第讲空间向量及其应用.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年一般高考数学科一轮复习精品学案第 36 讲 空间向量及其应用一课标要求:(1)空间向量及其运算 经受向量及其运算由平面对空间推广的过程; 明白空间向量的概念,明白空间向量的基本定理及其意义,把握空间向量的正交分解及其坐标表示; 把握空间向量的线性运算及其坐标表示; 把握空间向量的数量积及其坐标表示,(2)空间向量的应用 懂得直线的方向向量与平面的法向量;能运用向量的数量积判定向量的共线与垂直; 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); 能用向量方法解决线线、
2、线面、面面的夹角的运算问题,体会向量方法在讨论几何问题中的作用;二命题走向本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用; 本讲是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离;猜测 2022 年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,特别是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度;三要点精讲1空间向量的概念向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量;如位移、速度、力等;相等向量:长度
3、相等且方向相同的向量叫做相等向量;表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量;说明: 由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原先的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;平面对量仅限于讨论同一平面内的平移,而空间向量讨论的是空间的平移;2向量运算和运算率OBOAABaba .bc.BAOAOBabOPa R b加法交换率:ab加法结合率:caba数乘安排率:abab.说明: 引导同学利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的如干向量之和;名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - -
4、- 向量加法的平行四边形法就在空间仍成立;3平行向量 共线向量 :假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量叫做共线向量或平行向量;a平行于b记作ab;留意:当我们说 行直线;当我们说a、 b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同始终线,也可能是平 a、b平行时,也具有同样的意义;共线向量定理:对空间任意两个向量a(a 0 )、 b,ab的充要条件是存在实数使 b a 注:上述定理包含两个方面:性质定理: 如 a b ( a 0),就有 b a,其中,使 b a( a 0),就有 a b (如 是唯独确定的实数;判肯定理: 如存在唯独实数 用此结论判定 a 、 b 所在直
5、线平行,仍需 a (或 b )上有一点不在 b (或 a )上);对于确定的 和 a , b a 表示空间与 a平行或共线,长度为 | a |,当 0 时 与 a 同向,当 0 时与 a 反向的全部向量;,P 为 l 上任一点, O 为空间任一点,下面依据上述定理来推导 如直线 l a ,A lOP 的表达式;推论:假如 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对任一点 O,点 P在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,满意等式OP OA t a 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量;在 l 上取ABa,就式可化为OP 1tOAtOB .当t1时,点 P 是线段 AB 的
6、中点,就OP1OAOB.22或叫做空间直线的向量参数表示式,是线段AB 的中点公式;留意: 表示式 、 既是表示式 , 的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式; 推论的用途:解决三点共线问题;结合三角形法就记忆方程;4向量与平面平行:假如表示向量 a的有向线段所在直线与平面 平行或 a 在 平面内,我们就说向量 a 平行于平面,记作 a ;留意:向量 a 与直线 a的联系与区分;共面对量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面对量;共面对量定理假如两个向量.a 、b 不共线, 就向量 p 与向量 a、 b 共面的充要条件是存在实数对x、y,使pxay b注:与共线向量定理一样,此定理包含性质和判
7、定两个方面;推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x、y,使MP x MA y MB , 或对空间任肯定点 O,有 OP OM x MA y MB . 在平面 MAB 内,点 P 对应的实数对(x, y)是唯独的;式叫做平面 MAB 的向量表示式;名师归纳总结 又MAOAOM.,MBOBOM.,代入,整理得第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OP 1xyOMxOAy OB.由于对于空间任意一点P,只要满意等式、之一(它们只是形式不同的同一等式),点 P 就在平面 MAB 内;对于平面 MAB 内的任意一
8、点 P,都满意等式、,所以等式、都是由不共线的两个向量 MA 、 MB (或不共线三点 M 、A 、B)确定的空间平面的向量参数方程,也是M、 A 、B、 P四点共面的充要条件;5空间向量基本定理:假如三个向量 a、 b 、c不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯独的有序实数组 x, y, z, 使 p x a y b z c .说明: 由上述定理知,假如三个向量a 、 b 、 c 不共面,那么全部空间向量所组成的集合就是p|px ay bz c,x、y、zR,这个集合可看作由向量a 、b 、 c 生成的,所以我们把 a , b , c 叫做空间的一个基底,a, b ,c都叫做基向量;空间任意
9、三个不共面对量都可以作为空间向量的一个基底;一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的概念;由于0 可视为与任意非零向量共线;与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都不是 0 ;x、推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,就对空间任一点 P,都存在唯独的有序实数组y、z,使 OP x OA y OB z OC .6数量积(1)夹角:已知两个非零向量a 、 b ,在空间任取一点O,作OAa,OBb,就角 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作a,baA aaA abO bB bO bB (2)(1)A 说明:规定0a,b ,因而a,b=
10、b ,a;O (3)B 假如a,b=2,就称 a 与 b 相互垂直,记作a b ;在表示两个向量的夹角时,要使有向线段的起点重合,留意名师归纳总结 图( 3)、(4)中的两个向量的夹角不同, OA,OB. O (4)A 第 3 页,共 9 页图( 3)中 AOB=OA,OB,B 图( 4)中 AOB=AO,OB从而有OA,OB=OA,OB=- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - (2)向量的模:表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模;(3)向量的数量积:abcosa,b叫做向量 a、b的数量积,记作ab;l 即ab=abcosa,b,B Be向量 AB在
11、e方向上的正射影: A Aae|AB|cosa,eAB(4)性质与运算率aecosa,e;ba rr ba b r r a bab=0 ar r = b ar ra br r a c|r a|2r ra a.r br cr a四典例解析题型 1:空间向量的概念及性质r r r r例 1有以下命题: 假如向量 a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a buuur uuu r uuur的关系是不共线; O A B C 为空间四点,且向量 OAOBOC 不构成空间的一个基底,那r r r r r r r r么点 O A B C 肯定共面;已知向量 a b c 是空间的一个基底,就向量
12、a b a b c,也是空间的一个基底;其中正确的命题是() A B C D r r r r解析:对于 “假如向量 a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a b 的关系肯定共线 ” ;所以错误;正确;点评:该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件,为此我们要把握好空间不共面与不共线的区分与联系;例 2以下命题正确选项()r r r r r r A 如 a 与 b 共线, b 与 c 共线,就 a 与 c 共线;r r r B 向量 a b c 共面就是它们所在的直线共面; C 零向量没有确定的方向;r r r r D 如 a / b,就存在唯独的实数 使得 a b;
13、解析: A 中向量 b 为零向量时要留意,样, D 中需保证 b 不为零向量;答案 C;B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一点评:零向量是一个特别的向量,时刻想着零向量这一特别情形对解决问题有很大用处;像零向量与任何向量共线等性质,要兼顾;名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型 2:空间向量的基本运算例 3如图:在平行六面体 ABCD A 1 B C 1uuur r uuurM 为 A 1C 1 与 B 1D 1 的交点;如 AB a, ADuuur rAA 1 c,就以下向量中与 BM 相等的向量是( A
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- 2022 普通 高考 数学科 一轮 复习 学案第讲 空间 向量 及其 应用
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