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,.人教版高中数学必修五培优辅导拔高讲义第一章 解三角形1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，则有2、正弦定理的变形公式： ，；，； ；（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）DbsinAAbaC如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹与AD有无交点：1.当无交点则B无解、 2. 当有一个交点则B有一解、 3.当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况： 1.当absinA，则B无解2.当bsinAb时，B有一解注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推论：，CABD(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设、是的角、的对边，则：若，则；若，则；若，则7.正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，并测得ACB=75O, BCD=45O, ADC=30O, ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。 8.三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.第二章 数列1、数列：按照一定顺序排列的一列数 2、数列的项：数列中的每一个数3、有穷数列：项数有限的数列 4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an）6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+10,d0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。二、数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于其中 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于其中 是等差数列，是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）: 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 第三章 不等式1、；2、不等式的性质： ；，； 3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸5.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：+XX1X2X3Xn-2Xn-1Xn+解法：将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“b解的讨论； 一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论. 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 对于a0(或0)； 0(或0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法：基本形式：型如：|x|a (a0) 的不等式 的解集为：型如：|x|a (a0) 的不等式 的解集为：变型：解得。其中-cax+bc等价于不等式组 在解-cax+b0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：设ax2+bx+c=0的两根为，f(x)=ax2+bx+c,那么：若两根都大于0，即，则有对称轴x=oxy若两根都小于0，即，则有oyx若两根有一根小于0一根大于0，即，则有X=nxmoy若两根在两实数m,n之间，即，X=yomtnx则有 若两个根在三个实数之间，即，则有常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合8、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点若，则点在直线的上方若，则点在直线的下方9、在平面直角坐标系中，已知直线（一）由B确定：若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域（二）由A的符号来确定： 先把x的系数A化为正后，看不等号方向：若是“”号，则所表示的区域为直线l: 的右边部分。若是“”号，则所表示的区域为直线l: 的左边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤： 画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线定测：由上面（一）（二）来确定 求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。10、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式线性目标函数：目标函数为，的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解 可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数12、均值不等式定理： 若，则，即13、常用的基本不等式：； 14、极值定理：设、都为正数，则有：若（和为定值），则当时，积取得最大值若（积为定值），则当时，和取得最小值第1讲 正弦定理和余弦定理 知 识 梳理 1. 内角和定理：在中，； 2.面积公式: 3正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 公式为：4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.公式为： 变形为： ； ； 重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用2.难点：根据已知条件,确定边角转换.3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.(1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论问题1: 在中，A、B的对边分别是、，且,，那么满足条件 （ ） A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 问题2: 已知圆内接四边形的边长分别为，求四边形的 热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素例1. 已知：、是的内角，分别是其对边长，向量,，.（）求角A的大小；（）若，求的长.题型2判断三角形形状例2 在中，试判断三角形的形状.考点2: 三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.例1. 设的内角,的对边分别为, , ，且，。求：（）的值；（）的值.考点3 与三角形的面积相关的题题型1:已知条件求面积例1: 在中， （）求的值；（）设，求的面积题型2:已知面积求线段长或角例2.在中，, 求的值；设的面积，求的长第2讲 解三角形应用举例 知 识 梳理 1.已知两角和一边（如），由求，由正弦定理求2.已知两边和夹角（如），应用余弦定理求边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用，求另一角3.已知两边和其中一边的对角（如），应用正弦定理求，由求，再由正弦定理或余弦定理求边，要注意解可能有多种情况4.已知三边，应用余弦定理求，再由，求角5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东度， 北偏西度，南偏东度，偏西度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中是视线，是仰角，是俯角.7.关于三角形面积问题=ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；absinCbcsinAacsinB； 2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）； ,；,( r为ABC内切圆的半径) 重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；（1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题。问题1. 如图，为了计算北江岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两个测量点，现测得， ，求两景点与的距离（假设在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：）问题2. 用同样高度的两个测角仪和同时望见气球在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和,已知间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度. 热 点 考 点 题 型 探 析考点1:测量问题题型:运用正、余弦定理解决测量问题北甲乙例1.如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？例2.如图，某住宅小区的平面图呈扇形小区的两个出入口设置在点及点处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）【新题导练】CAB1 为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求，的长度大于1米，且比长0.5米 为了广告牌稳固，要求的长度越短越好，求最短为多少米？且当最短时，长度为多少米？ 热 点 考 点 题 型 探 析考点1:测量问题题型:运用正、余弦定理解决测量问题 例1 (2007山东) 如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？.【新题导练】北甲乙1甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？2在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示） 例2 （08上海高考）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）【新题导练】1.如图，货轮在海上以35公里/小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o求此时货轮与灯塔之间的距离A C B北北152o32 o122o2. （汕头市金山中学2015届高三数学期中考试）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米 为了广告牌稳固，CAB求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？ 抢 分 频 道 1. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（ ）A0.5小时B1小时 C1.5小时D2小时2在中，的平分线把三角形面积分成两部分，则（ ） A B C D 3如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度q，则cosq= .4如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么电灯悬挂的高度h= ，才能使桌子边缘处最亮.5.（15年韶关市二模） 某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中，需要在、两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距的、两地（假设、在同一平面上），测得，（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是、距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？ 6. 在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为60的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？7. 在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求ADAB的值 OABvt2(1k)t4kt158. 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？,.第3讲 等差数列 知 识 梳理 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差. 2.通项公式与前项和公式 通项公式，为首项，为公差.前项和公式或.3.等差中项 如果成等差数列，那么叫做与的等差中项. 即：是与的等差中项，成等差数列.4.等差数列的判定方法 定义法：（，是常数）是等差数列；中项法：()是等差数列. 通项公式法：（是常数）是等差数列；前项和公式法：（是常数，）是等差数列.5.等差数列的常用性质 数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.；(,是常数)；(,是常数，)若，则； 若等差数列的前项和，则是等差数列； 当项数为，则； 当项数为，则. 重 难 点 突 破 1.重点：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质.2.难点：利用等差数列的性质解决实际问题.3.重难点：正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题.求等差数列的公差、求项、求值、求和、求最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质.问题1：已知,且和都是等差数列，则 问题2：已知函数则 ； . 热 点 考 点 题 型 探 析考点1等差数列的通项与前n项和题型1已知等差数列的某些项，求某项【例1】已知为等差数列，则 题型2已知前项和及其某项，求项数.【例2】已知为等差数列的前项和，求；若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.【例3】已知为等差数列的前项和，.1 ； 求； 求.【新题导练】1.已知为等差数列，（互不相等），求 .2.已知为等差数列的前项和，则 .3.已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.4.已知为等差数列的前项和，求.考点2 证明数列是等差数列【例4】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.【新题导练】5.设为数列的前项和，求常数的值；求证：数列是等差数列.考点3 等差数列的性质【例5】已知为等差数列的前项和，则 ；2 知为等差数列的前项和，则 .【新题导练】6.含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） 考点4 等差数列与其它知识的综合【例6】已知为数列的前项和，；数列满足：，其前项和为 求数列、的通项公式； 设为数列的前项和，求使不等式对都成立的最大正整数的值.【新题导练】8.已知为数列的前项和，.求数列的通项公式；数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由. 抢 分 频 道 基础巩固训练1.(2014广雅中学)设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则( )A B C D2.在等差数列中，则 .3.数列中，当数列的前项和取得最小值时， . 4.已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 . 5.设数列中，则通项 . 6.从正整数数列中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第项是 .7.(2013广雅中学)已知等差数列中，.求数列的通项公式；若数列满足，设，且，求的值.8.已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；求的值；求数列的前项和9.(2015执信中学)已知数列满足证明：数列是等比数列；求数列的通项公式；若数列满足证明是等差数列.、10.(2008北京）数列满足，是常数.当时，求及的值；数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；求的取值范围，使得存在正整数，当时总有.第4讲 等比数列 知 识 梳理 1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.2.通项公式与前项和公式 通项公式：，为首项，为公比 .前项和公式：当时， 当时，.3.等比中项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等差中项，成等差数列.4.等比数列的判定方法 定义法：（，是常数）是等比数列；中项法：()且是等比数列.5.等比数列的常用性质数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；3 等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为. 4 ，则；5 等比数列的前项和，则、是等比数列. 6 等比数列的判定方法：定义法：（，是常数）是等比数列；中项法：()且是等比数列. 重 难 点 突 破 1.重点：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质.2.难点：利用等比数列的性质解决实际问题.3.重难点：正确理解等比数列的概念，灵活运用等比数列的性质解题.求等比数列的公比、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.问题1：已知等比数列的前项和(是非零常数),则数列是( )A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列问题2：若实数数列是等比数列，则 . 热 点 考 点 题 型 探 析考点1等比数列的通项与前n项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知为等比数列，则 【例2】已知为等比数列前项和，公比，则项数 .已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.题型3 求等比数列前项和【例3】等比数列中从第5项到第10项的和.【例4】已知为等比数列前项和，求 【例5】已知为等比数列前项和，求. 【新题导练】1.已知为等比数列，求的值.2.如果将依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .3.已知为等比数列的前项和，则 ；4.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 .5.已知为等比数列前项和，前项中的数值最大的项为54，求.考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列和满足：，其中为实数，. 对任意实数，证明数列不是等比数列； 试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.【新题导练】6.已知数列的首项，证明：数列是等比数列； 考点3 等比数列的性质【例7】已知为等比数列前项和，则 .【新题导练】7.已知等比数列中，则 .考点4 等比数列与其它知识的综合【例8】设为数列的前项和，已知 证明：当时，是等比数列；求的通项公式【新题导练】8.设为数列的前项和，. 设，求数列的通项公式； 若，求的取值范围 抢 分 频 道 拔高巩固训练1.设是公比为正数的等比数列，若，则数列前7项的和为（ ） 2.设等比数列的公比， 前n项和为，则（ ） 3.已知等比数列满足，则（ ） 4.已知等比数列的前三项依次为，则（ ）A B C D5.已知是等比数列，则=（ ） 6.(2014广雅中学)在等比数列中，已知，则 . 7.(2015执信中学)等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和8.(2009金山中学)已知数列的前项和为，； 求，的值； 证明数列是等比数列，并求 9.(2014湖北)已知数列和满足：，其中为实数，. 对任意实数，证明数列不是等比数列； 证明：当，数列是等比数列； 设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.第4讲 数列的通项的求法 知 识 梳理 1数列通项的常用方法：利用观察法求数列的通项.利用公式法求数列的通项：；等差、等比数列公式.应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：；构造等差、等比数列求通项：2 ；. 重 难 点 突 破 1.重点：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法.2.难点：由数列递推关系式的特点，选择合适的方法. 热 点 考 点 题 型 探 析考点 求数列的通项公式题型1 利用公式法求通项【例1】已知为数列的前项和，求下列数列的通项公式： ； .题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项【例2】已知数列中，求数列的通项公式；已知为数列的前项和，求数列的通项公式.题型3 构造等比数列求通项【例3】已知数列中，求数列的通项公式.【例4】已知数列中，求数列的通项公式.【例5】已知数列中，求数列的通项公式.【新题导练】1.已知为数列的前项和， ，求数列的通项公式.2.已知数列中，求数列的通项公式.3.已知数列中，求数列的通项公式；已知数列中，求数列的通项公式.4.已知数列中，求数列的通项公式.5.（2012全国卷理）设数列的前项和为，已知，设， 求数列的通项公式6.(2014广东文节选) 已知数列中，求数列的通项公式. 抢 分 频 道 基础巩固训练1.若数列的前项和（，且），则此数列是( )等差数列 等比数列 等差数列或等比数列 既不是等差数列，也不是等比数列2.数列中，则数列的通项( ) 3.数列中，,且，则( ) 4.设是首项为1的正项数列，且，则数列的通项 . 5.数列中，则的通项 .6.数列中，则的通项 .7.数列中，求数列的通项公式.8.已知数列中，求数列的通项公式.第5讲 数列求和 知 识 梳 理 1.基本数列的前项和 等差数列的前项和： 等比数列的前项和：当时，；当时，； 基本数列的前项和：.2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法. 重 难 点 突 破 1.重点：掌握由数列通项公式求数列的前项之和的方法；2.难点：利用裂项相消法、错位相减法求数列的