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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载第三节离散鞅的基本不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 1-3-1如YYn , nN为可积适应序列,且对每个nN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E Yn 1 F n0 0 ,a.e.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 Y 为鞅差(或下鞅差)序列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结命题 1-3-1如 XX n , nN为鞅(或下鞅), YnX nX n1 , n1, Y0X
2、0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就YYn ,nN为鞅差(或下鞅差)序列。反之,YYn ,nN为鞅差(或下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结鞅差)序列,nX nY j,就 X X n , nN 为鞅(或下鞅)。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结j 0证明:设 X 为鞅序列,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E Yn 1 F nE X n 1X n | F nE X n1 | F nEX n| F n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
3、师归纳总结X nX n0又设 Y 为鞅差,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X n 1 F nE Yn 1X n | F nE Yn1 | F nE X n| F n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0X n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 XX n , nN为鞅。(习题 1-3-1,证明下鞅差的情形)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 1-3-2设随机序列 VVn ,nN,如V0F 0 ,且当 n0 时, Vn 1F n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编
4、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 V 为可料的。定义 1-3-3 (鞅变换)如 XX n , nN,VVn ,nN为随机变量序列,定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义新的序列 ZZ n , nN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Z nX 0V0nV j X jj 1X j 1,nN(1-3-1)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就记 ZVX 。定理 1-3-1如 X 为鞅(下鞅), V 为可料的(非负可料的) ,就 Z 是鞅(下鞅)。证明:
5、由式( 1-3-1)可知, Z n 是对 F n 可测的,因而是适应的,又由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Z n 1Z nVn 1X n 1X n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Vn 1F n ,所以,可编辑资
6、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E Z n 1Z n | F nE Vn1 X n 1X n | F n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E Vn 1X n 1| F nE Vn 1X n | F n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Vn 1 EX n 1| F nV n 1E X n| F n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Vn 1 X nVn 1
7、X n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E Zn1 |F nE Z n |F n Z n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 Z 是鞅(下鞅)。(习题 1-3-2,证明下鞅的情形) 。END可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1-3-1如 X 为鞅(下鞅),T 为停时,就 X TX T n , nN必是鞅(下鞅)。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明:取VnI nT , 就Vn1I Tn 1 , n1 。由于;T n1F n 1 ,所
8、以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结; I T n 11; Tn1F n 1 ,; I Tn 10F n 1 , I Tn 1F n 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1I Tn 1F n 1 , VnF n 1 ,故V n 是可料的,非负有下界的。如Tn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VXnX 0 I 0 TnX jX j 1j 1I j T X 0nX jX j 1X nj 1可编辑资料 - - -
9、 欢迎下载精品名师归纳总结如Tn ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VXnX 0 I 0 TTX jX j 1Tj 1I j T X 0TX jX j 1X Tj 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 VXnX n TXn ,故X T 为鞅。(习题 1-3-3 证明下鞅的情形)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1-3-2(有界停时定理)设XX n ,nENDN为下鞅(鞅), S ,T 为有界停可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时,
10、且 ST ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X T| F S X S X S a.e. 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明:设S,Tk ,就 VnI Sn T I n TI n S是非负可料的,所以 VI 是下鞅可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - -
11、 - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(鞅)。实际上,在推论 1-3-1 中我们已经证明白I n1 T F n 1 , 故 I nT , I n SF n 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 VnF n 1 。同时,我们令 X 00 ,故 VX 00 。此外,由于 Sk, Tk ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 VX kX TX S ,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可
12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X TX SE VX kE E VXk | F k 1(3-2)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E VXk 1E VX 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任取 AF S ,记T A 和S A 为 T 和 S 在 A 上的限制,另取TT Ak1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SSAk1 就 T , S 是有界停时(习题1-3-4),且 TS ,就X T I AX T ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下
13、载精品名师归纳总结X S I AX,将 T , S 替代不等式( 3-2)中的 T , S ,得到,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SE X T I AX S I AE X TX S0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X T I AE X S I A ,AF由条件期望的定义可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X T| F SE X S| F SX S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(习题 1-3-4 证明 X 鞅的情形)END可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论
14、 1-3-2设 X X n , nN 为下鞅(鞅), S ,T 为有界停时,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X T| F S X T S X T S a.e.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明:由于 S ,T 为有界停时,所以 ST 也是有界停时,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X T| F SE X T I T SX T I T S| F SX T I T SI T S E X TS | F s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
15、归纳总结由于 TSS ,由定理 1-3-2 知, E X TS | F sX S ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X T| F SX T I T SI T S E X TS | F sX T I T SI T S X S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TS时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X T I T SX S I T SX T ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当TS时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X T I T SX S I T SX S ,可编
16、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X T| F SX T I T SX S I T SX S T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1-3-3设 XX n , n
17、N为下鞅(鞅), TT ,就END可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E | X T n |2E X nE X 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E | X T| I T3supE | X n |n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明:E | X T n |2E X TnE X T n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 Tnn ,由定理 1-3-2 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X nE E X n| F T
18、nE X T n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 Tn0 ,定理 1-3-2 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X T nE E X Tn | F 0E X 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E | X T n |2 E X nE X 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E | X Tn | I TEX T n2 sup E X kE X 03sup EX k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k nk n再令
19、 n,由 Fatou 引理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E | X T| I T3 sup E | X n n| 。END可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1-3-3(极值不等式)设X X n , nN 为下鞅,就对0 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P sup X kX n dP()可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k nksup X nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
20、归纳总结Pinf X kX n dPEX 0()可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k n i nf X kk n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P sup | X k |2EX nEX 0()可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明:取Tinfk; X kn ,就Tn 为停时,由定理 1-3-2 知E X n| F T X T ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7
21、 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X nEE X n| F TE X T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sup X nXdPT sup X nXdPT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k nk nPsup X kX T dPk n sup X nk n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X n dPXT
22、 dPP sup X k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sup X nk nk n得P s u pX kX T dPk n sup Xnk n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取Tinfk; X kn ,就 T 也是停时,且 Tn ,同样有定理 1-3-2 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k nE X 0E X Tinf X nXdPT inf X nXdPT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k nk nPinfX kX n dPk n inf X Kk n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故Pi n fX kX n
23、 dPEX 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k n i n Xf Kk n(习题 1-3-5 证明()式)END可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1-3-4设 X X n , nN 为鞅,E X 2,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nPmax | X|1 EX 2k nk2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n证明:由于 X 是鞅, X 2 , nN 为下鞅,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P max | X|Pmax X 22 可编辑资料 - - - 欢迎下
24、载精品名师归纳总结k nk1k22max X 2X 2dPkn21 E X 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注 1-3-1机序列 X X n , nk nnN ,记Xsup X k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1-3-4设 X X n , nkN 为非负下鞅,nF t 是 0, 上的任意非降右连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数,F 00 ,就有EtdF t 0, Xn E X n F X n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
25、纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明:由于XX r 1 , X rrX r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X r , X rX r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Xr所以X r 1t d Ft X rXr 1X r0t d Ft,
26、X r, X rX r 1X r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X rX r 1dF t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X rEX r 1tdF t E X rF X r F X r1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rn时,E E X n| F r F X r F X r1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E E X n F X r F X r1 | F r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -
27、欢迎下载精品名师归纳总结E X n F X r F X r1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 X 0X 00 ,对上式从 1 到n 求和,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X rEtdF t 0E X n F X n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1-3-5设 X 为非负下鞅,就对任意的1p,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nEX p p p E X pnp1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明:令p1, 就0 ,取F tt,由定理 1-3-4 知可编辑
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