2019高三数学(北师大版理科)一轮训练题:高考大题专项突破五5.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 .docx
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1、5.2圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2017北京,理18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点0,12作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.导学号215008182.(2017山西实验中学3月模拟,理20)已知O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为P,右顶点为Q,以F1F2为直径的圆O过点P,直线PQ与圆O相交得到的弦长为233.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C
2、相交于M,N两点,l与x轴,y轴分别相交于A,B两点,满足:记MN的中点为E,且A,B两点到直线OE的距离相等;记OMN,OAB的面积分别为S1,S2,若S1=S2,当S1取得最大值时,求的值.3.已知点A(0,-2),椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程.导学号215008194.(2017宁夏中卫二模,理20)已知动圆M过定点E(2,0),且在y轴上截得的弦PQ的长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)设A
3、,B是轨迹C上的两点,且OAOB=-4,F(1,0),记S=SOFA+SOAB,求S的最小值.5.(2017山东临沂一模)已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F,点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点,且|BF|=53.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与椭圆C交于P,Q两点,直线l2与直线x=4交于点T,求|TF|PQ|的取值范围.导学号215008206.(2017辽宁大连一模,理20)已知点P是长轴长为22的椭圆Q:x2a2+y2b2=1(ab0)上异于顶点的一个动点,O为坐标原点,A为椭圆的右顶点,点M为线
4、段PA的中点,且直线PA与OM的斜率之积恒为-12.(1)求椭圆Q的方程;(2)设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C,D两点,线段CD的垂直平分线与x轴交于点G,点G横坐标的取值范围是-14,0,求|CD|的最小值.参考答案5.2圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(1)解 由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=12.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为14,0,准线方程为x=-14.(2)证明 由题意,设直线l的方程为y=kx+12(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由y=kx+12,y2=x,得4k2x2+(4k-4)x+1
5、=0.则x1+x2=1-kk2,x1x2=14k2.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1),直线ON的方程为y=y2x2x,点B的坐标为x1,y2x1x2.因为y1+y2x1x2-2x1=y1x2+y2x1-2x1x2x2=kx1+12x2+kx2+12x1-2x1x2x2=(2k-2)x1x2+12(x2+x1)x2=(2k-2)14k2+1-k2k2x2=0,所以y1+y2x1x2=2x1.故A为线段BM的中点.2.解 (1)因为以F1F2为直径的圆O过点P,所以b=c.则圆O的方程为x2+y2=b2,直线PQ的方程为y=-bax+b=-22x+
6、b,则2b2-|b|1+122=233,所以b=1,所以a=1+1=2.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由题意,设直线的方程为y=kx+m(km0),M(x1,y1),N(x2,y2),则A-mk,0,B(0,m).由方程组y=kx+m,x22+y2=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)=16k2-8m2+80,所以m22k2+1.由根与系数的关系得x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2.因为A,B两点到直线OE的距离相等,所以线段MN的中点与线段AB的中点重合,所以x1+x2=-4km1+2k2=0-mk,解得k=22.于是,S1=12|
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