2022年椭圆典型题型归纳总结 .pdf
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1、学习资料收集于网络,仅供参考学习资料椭圆典型题型归纳题型一 . 定义及其应用例 1:已知一个动圆与圆22:(4)100Cxy相内切,且过点(4,0)A,求这个动圆圆心M的轨迹方程;练习:1. 方程2222(3)(3)6xyxy对应的图形是()A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2. 方程2222(3)(3)10 xyxy对应的图形是()A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3. 方程2222(3)(3)10 xyxy成立的充要条件是()A. 2212516xy B.221259xy C. 2211625xy D. 221925xy4. 如果方程2222()()1xymxymm表示椭圆
2、,则m的取值范围是5. 过椭圆22941xy的一个焦点1F的直线与椭圆相交于,A B两点,则,A B两点与椭圆的另一个焦点2F构成的2ABF的周长等于;6. 设圆22(1)25xy的圆心为C,(1,0)A是圆内一定点,Q为圆周上任意一点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为;题型二 . 椭圆的方程(一)由方程研究曲线例 1. 方程2211625xy的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹(二) 分情况求椭圆的方程例 2. 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3 倍,并且过点(3,0)P,求椭圆的方程;(三)用待定系数法求方程例 3. 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为
3、对称轴,且经过两点1( 6,1)P、2(3,2)P,求椭圆的方程;例 4. 求经过点(2,3)且与椭圆229436xy有共同焦点的椭圆方程;(四)定义法求轨迹方程;例 5. 在ABC中,,A B C所对的三边分别为, ,a b c,且( 1 ,0),( 1 ,0)BC,求满足bac且, ,b a c成等差数列时顶点A的轨迹;练习:1、动圆 P与圆221:(4)81Cxy内切与圆222:(4)1Cxy外切,求动圆圆心的P的轨迹方程。2、 已知动圆 C过点 A( 2,0), 且与圆222: (2)64Cxy相内切,则动圆圆心的轨迹方程为;(五)相关点法求轨迹方程;例 6. 已知x轴上一定点(1,0
4、)A,Q为椭圆2214xy上任一点,求AQ的中点M的轨迹方程;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料(六)直接法求轨迹方程;例 7. 设动直线l垂直于x轴,且与椭圆2224xy交于,A B两点, 点P是直线l上满足1PAPB的点,求点P的轨迹方程;(七)列方程组求方程例 8. 中心在原点, 一焦点为(0,50)F的椭圆被直线32yx截得的弦的中点的横坐标为12,求此椭圆的方程;题型
5、三 . 焦点三角形问题椭圆中的焦点三角形:通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决;椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy和焦点1(,0)cF,2( ,0)cF为顶点的12PF F中,12F PF,则当P为短轴端点时最大,且122PFPFa;22212122cos4cPFPFPF PF;1 2121sin2PF FSPF PF=2tan2b。 (b短轴长)例:知椭圆2211625xy上一点P的纵坐标为53,椭圆的上下两个焦点分别为2F、1F,求1PF、2PF及12cosF PF;练习:1、椭圆22192xy的焦点为1F、2F,点P在椭圆上,若14PF,则2PF;12F
6、 PF的大小为;2、P是椭圆221259xy上的一点,1F和2F为左右焦点,若1260F PF。(1)求12F PF的面积;(2)求点P的坐标。题型四 . 椭圆的几何性质例 1. 已知P是椭圆22221xyab上的点,的纵坐标为53,1F、2F分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则12PFPF的最大值与最小值之差为例 2. 椭圆22221xyab(0)ab的四个顶点为,A B C D,若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率为;例 3. 若椭圆22114xyk的离心率为12,则k;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
7、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料例 4. 若P为椭圆22221(0)xyabab上一点,1F、2F为其两个焦点, 且01215PF F,02175PF F,则椭圆的离心率为题型五 . 求范围例 1. 方程22221(1)xymm焦点在x轴的椭圆,求实数m的取值范围;题型六 . 求离心率例 1.椭圆22221xyab(0)ab的左焦点为1(,0)Fc,(,0)Aa,(0,)Bb是两个顶点,如果1F到直线AB的距离为7b,则椭圆的离心率e例 2. 若P为椭圆22221(0)xy
8、abab上一点,1F、2F为其两个焦点, 且12PF F,212PF F,则椭圆的离心率为例 3.1F、2F为椭圆的两个焦点,过2F的直线交椭圆于,P Q两点,1PFPQ,且1PFPQ,则椭圆的离心率为;练习1、 (2010 南京二模)以椭圆22221(0)xyabab的右焦点为圆心的圆经过原点O ,且与该椭圆的右准线交于A、B两点,已知OAB 是正三角形,则该椭圆的离心率是;2、已知AB C分别为椭圆22221(0)xyabab的右顶点、上顶点、和左焦点,若090ABC,则该椭圆的离心率为;3、 (2012年新课标)设12F F是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点,P为直线32
9、ax上一点,21F PF是底角为30的等腰三角形 ,则E的离心率为()A12B23CD4、椭圆22221xyab(ab0) 的左、右顶点分别是A,B, 左、右焦点分别是F1,F2. 若|AF1|,|F1F2|,|F1B| 成等比数列 , 则此椭圆的离心率为_ 题型七 . 直线与椭圆的关系(1)直线与椭圆的位置关系例 1.当m为何值时,直线: lyxm与椭圆22916144xy相切、相交、相离?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 15 页 - - - - - -
10、 - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料yxOABP例 2. 曲线22222xya(0a)与连结( 1,1)A,(2,3)B的线段没有公共点,求a的取值范围。例 3. 过点)0,3(P作直线l与椭圆223412xy相交于,A B两点,O为坐标原点,求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例 4. 求直线cossin2xy(0)和椭圆2236xy有公共点时,的取值范围(二)弦长问题例 1. 已知椭圆22212xy,A是x轴正方向上的一定点,若过点A,斜率为1 的直线被椭圆截得的弦长为3134,求点A的坐标。例 2. 椭圆221axby与直线1xy相交于,A B两点,C是AB的中点
11、,若22| AB,O为坐标原点,OC的斜率为22,求,a b的值。例 3. 椭圆1204522yx的焦点分别是1F和2F,过中心O作直线与椭圆交于,A B两点,若2ABF的面积是20,求直线方程。(三)弦所在直线方程例 1. 已知椭圆221164xy,过点(2,0)P能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P;例 2. 已知一直线与椭圆224936xy相交于,A B两点,弦AB的中点坐标为(1,1)M,求直线AB的方程;例 3.椭圆E中心在原点O, 焦点在x轴上,其离心率32e,过点( 1,0)C的直线l与椭圆E相交于,A B两点,且C 分有向线段AB的比为(1)用直线l的斜率(0)k k表示
12、OAB的面积;(2)当OAB的面积最大时,求椭圆E 的方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料(四)关于直线对称问题例 1. 已知椭圆22143xy, 试确定m的取值范围, 使得椭圆上有两个不同的点关于直线4yxm对称;例 2. 已知中心在原点,焦点在y轴上,长轴长等于6,离心率322e,试问是否存在直线l,使l与椭圆交于不同两点,A B,且线段AB恰被直线21x平分?若存在,求
13、出直线l倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由。题型八 . 最值问题例 1若( 2,3)P,2F为椭圆1162522yx的右焦点,点M 在椭圆上移动,求2MPMF的最大值和最小值。结论 1:设椭圆12222byax的左右焦点分别为12,FF,00(,)P xy为椭圆内一点,( ,)M x y为椭圆上任意一点,则2MPMF的最大值为12aPF,最小值为12aPF;例 2( 2,6)P,2F为椭圆1162522yx的右焦点,点M 在椭圆上移动,求2MPMF的最大值和最小值。结论 2 设椭圆12222byax的左右焦点分别为12,F F,00(,)P xy为椭圆外一点,( ,)M x y为椭圆上任意
14、一点,则2MPMF的最大值为12aPF,最小值为2PF; 2.二次函数法F2F1M1M2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料例 3求定点( ,0)A a到椭圆12222byax上的点之间的最短距离。结论 3:椭圆12222byax上的点( , )M x y到定点 A(m,0) 或 B(0,n)距离的最值问题,可以用两点间距离公式表示 MA 或 MB ,通过动点在椭圆上消去y 或
15、 x,转化为二次函数求最值,注意自变量的取值范围。3. 三角函数法例 4求椭圆14222yx上的点( , )M x y到直线:24lxy的距离的最值;4.判别式法例 4 的解决还可以用判别式法结论 5: 椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m 方程,再利用平行线间的距离公式求出最值。题型九 .轨迹问题例 1到两定点(2,1),( 2, 2)的距离之和为定值5 的点的轨迹是例 2已知点(3,0)A,点P在圆221xy的上半圆周上 (即 y0),AOP 的平分线交PA于 Q,求点 Q的轨迹方程。例 3.已知圆22:(3)100Cxy
16、及点( 3,0)A,P是圆 C 上任一点,线段PA的垂直平分线l 与 PC 相交于 Q 点,求 Q 点的轨迹方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料椭圆典型题型归纳题型一 . 定义及其应用椭圆定义:平面内一动点到两定点1F,2F的距离和等于常数2a( 大于12F F=2c)点的集合叫椭圆;即12|2 MMFMFaP注:当ac时轨迹为椭圆;当a c时轨迹为线段12F F;当a c
17、时无轨迹。例 1:已知一个动圆与圆22: (4)100Cxy相内切, 且过点(4,0)A,求这个动圆圆心M的轨迹方程;练习:1. 方程2222(3)(3)6xyxy对应的图形是()A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2. 方程2222(3)(3)10 xyxy对应的图形是()A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3. 方程2222(3)(3)10 xyxy成立的充要条件是()A. 2212516xy B.221259xy C. 2211625xy D. 221925xy4. 如果方程2222()()1xymxymm表示椭圆,则m的取值范围是5. 过椭圆22941xy的一个焦点1F的直
18、线与椭圆相交于,A B两点,则,A B两点与椭圆的另一个焦点2F构成的2ABF的周长等于;6. 设圆22(1)25xy的圆心为C,(1,0)A是圆内一定点,Q为圆周上任意一点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为;题型二 . 椭圆的方程(一)由方程研究曲线例 1. 方程2211625xy的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹;(二)分情况求椭圆的方程例 2. 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3 倍,并且过点(3,0)P,求椭圆的方程;(三)用待定系数法求方程例 3. 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点1( 6,1)P、2(3,2)P,求椭圆的方
19、程;例 4. 求经过点(2,3)且与椭圆229436xy有共同焦点的椭圆方程;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料注:一般地,与椭圆22221xyab共焦点的椭圆可设其方程为222221()xykbakbk;(四)定义法求轨迹方程;例 5. 在ABC中,,A B C所对的三边分别为, ,a b c,且( 1 ,0),( 1 ,0)BC,求满足bac且, ,b a c成等差数列时顶
20、点A的轨迹;练习 1、动圆 P与圆221: (4)81Cxy内切与圆222: (4)1Cxy外切,求动圆圆心的P的轨迹方程。练习2、已知动圆C 过点A( 2,0),且与圆222:(2)64Cxy相内切,则动圆圆心的轨迹方程为;(五)相关点法求轨迹方程;例 6. 已知x轴上一定点(1,0)A,Q为椭圆2214xy上任一点,求AQ的中点M的轨迹方程;(六)直接法求轨迹方程;例 7. 设动直线l垂直于x轴,且与椭圆2224xy交于,A B两点, 点P是直线l上满足1PAPB的点,求点P的轨迹方程;(七)列方程组求方程例 8. 中心在原点, 一焦点为(0,50)F的椭圆被直线32yx截得的弦的中点的横
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