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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【专题七】 椭圆标准方程及其性质学问点大全 一 椭圆的定义及椭圆的标准方程:椭 圆 定 义 : 平 面 内 一 个 动 点 P 到 两 个 定 点 F 、F 2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 , 这个动点 P 的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的 焦点,两焦点的距离叫作椭圆的 焦距 . 留意: 如 PF 1 PF 2 F 1 F 2 ,就动点 P 的轨迹为线段 F 1F 2;如 PF 1 PF 2 F 1 F 2 ,就动点 P 的轨迹无图形 二 椭圆的简洁几何性: 标准方程是指中心在原点,坐标轴
2、为对称轴的标准位置的椭圆方程;标准方程x2y21ab0y2x21ab0 a2b2a2b2图形焦点F 1c , 0 ,F2c , 0 F 1,0c,F 2,0c 名师归纳总结 性质焦距F 1F 22 cF 1F22 ca第 1 页,共 4 页范畴xa,ybxb,y对称性 a , 0 ,关于 x 轴、 y 轴和原点对称a , b ,0,0b ,0顶点轴长长轴长A A ,A A 1 2= a,短轴长B B ,B B 1 2= b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 离心率ec0e1,e1 ba2c2a2b2a(离心率越大,椭圆越扁)【说明】:1.方程中的两个参数
3、 a 与 b,确定椭圆的外形和大小,是椭圆的定型条件,焦点F1,F2的位置,是椭圆的定位条件,它打算椭圆标准方程的类型,常数 a,b,c都大于零,其中a 最大且 a 2 =b 2 +c 2. 2 22. 方程 Ax By C 表示椭圆的充要条件是:ABC 0,且 A,B,C 同号, A B;AB 时,焦点在 y 轴上, AB 时,焦点在 x轴上;三焦点三角形的面积公式:SPF F 12b 2 tan 2如图:2 2 椭圆标准方程为 : x2 y2 1 a b 0 ,椭圆焦点三角形: 设 P 为椭圆上任意一点,a bF F 为焦点且F PF 2,就F PF 为焦点三角形,其面积为 S PF F
4、1 2 b 2 tan;22四通径 :如图:通径长 MN 2by aM 2 2椭圆标准方程 : x2 y2 1 a b 0 ,F x a b五 点与 椭圆的位置关系 :N 2 2 2 2(1)点 P x 0 , y 0 在椭圆外 x 02 y 02 1;(2)点 P x 0 , y 0 在椭圆上 x 02 y 021;a b a b2 2(3)点 P x 0 , y 0 在椭圆内 x 02 y 02 1a b 六 直线与椭圆的位置关系 :2 2 设直线 l 的方程为: Ax+By+C=0 ,椭圆 x2 y2 1(a b 0),联立组成方程a b组,消去 y或 x利用判别式 的符号来确定:名师归
5、纳总结 (1)相交:0直线与椭圆相交;(2)相切:0直线与椭圆相切;第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - (3)相离:0直线与椭圆相离; 七 弦长公式: 如 直 线AB: ykxb 与 椭 圆 标 准 方 程 :x22y21ab0 相 交 于 两 点a2b2A x y 1、B x 2,y 2,xy21整理得: Ax2+Bx+C=0;把 AB 所在直线方程 y=kx+b,代入椭圆方程a2b2 弦长公式:AB1k2x 1x 21k2x 1x 224x 1x 21k2a(含x 的方程)AB11y 1y 211y 1y224y 1y 2=11
6、a(含yk2k2k2的方程)名师归纳总结 (八)圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“ 韦达定理” 或“ 点差法”求解;第 3 页,共 4 页设Ax1,y1,Bx2,y2是椭圆x2y21ab0上不重合的两点,a2b2直线AB的斜率kAB, Mx0,y0是线段AB的中点坐标,x0x 12x2y0y1y22就x 12y 1211,a2b2x22y2212a2b2两式相减得x1x2a2x 1x2y1y2b2y1y20y1y2b2x1x2x1x2a2y1y2所以1 式可以解决与椭圆弦AB的斜率及中点有关的问题,此法称为点差法 设而不求椭圆标准方程:x2y21ab0,以M x 0,y 0为中点的弦所
7、在直线的斜率a2b2k k OMb2;a2椭圆标准方程: y2x21ab0,以M x 0,y 0为中点的弦所在直线的斜率a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k k OMa2b2斜率为 k 的弦的中点轨迹方程:设弦 PQ的端点为 Px1,y1 ,Qx2,y2 ,中点为 M(x0,y0),把 P,Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得xky0(椭a2b2圆内不含端点的线段) ;【考点指要】在历年的高考数学试题中,有关圆锥曲线的试题所占的比重约占试卷的 15%左右,且题型,数量,难度保持相对稳固:挑选题和填空题共 2 道题,解答题 1 道,挑选题和填空题主要考查圆锥曲线的标准方程,几何性质等; 解答题往往是以椭圆,双曲线或抛物线为载体的有肯定难度的综合题,问题涉及函数,方程,不等式,三角函数,平面对量等诸多方面的学问, 并包蕴着数学结合,等价转化,分类争论等数学思想方法,对考生的数学学科才能及思维才能的考查要求较高;主要考查: 圆锥曲线的概念和性质;直线与圆锥曲线的位置关系;求曲线的方程;与圆锥曲线有关的定值问题,最值问题,对称问题,范畴问题等;曲线的应用问题,探究问题以及圆锥曲线与其它数学内容的交汇问题也将是高考命题的热点;名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页
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