2019版高考数学(文)培优增分一轮全国经典版培优讲义:第6章 不等式 第4讲基本不等式 .docx
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1、第4讲基本不等式板块一知识梳理自主学习必备知识考点1重要不等式a2b22ab(a,bR)(当且仅当ab时等号成立)考点2基本不等式 1基本不等式成立的条件:a0,b0;2等号成立的条件:当且仅当ab时等号成立;3其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数考点3利用基本不等式求最大、最小值问题1如果x,y(0,),且xyP(定值),那么当xy时,xy有最小值2.(简记:“积定和最小”)2如果x,y(0,),且xyS(定值),那么当xy时,xy有最大值.(简记:“和定积最大”)必会结论常用的几个重要不等式(1)ab2(a0,b0);(2)ab2(a,bR);(3)2(a,bR);(
2、4)2(a,b同号)以上不等式等号成立的条件均为ab.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cosx,x的最小值等于4.()(3)x0,y0是2的充要条件()(4)若a0,则a3的最小值为2.()(5)a2b2c2abbcca(a,b,cR)()答案(1)(2)(3)(4)(5)2课本改编已知a,bR,且ab1,则ab的最大值为()A1 B. C. D.答案B解析a,bR,1ab2,ab,当且仅当ab时等号成立3课本改编已知a0,b0,ab2,则y的最小值是()A. B4 C. D5答案C解析y(ab),故选C.42018苏
3、州模拟若0x6,则f(x)的最大值为()A. B4 C. D.答案B解析0x6,8x0,f(x)4,当且仅当x8x,即x4时,等号成立故f(x)的最大值为4.5课本改编若f(x)x(x2)在xn处取得最小值,则n()A. B3 C. D4答案B解析由f(x)x(x2)24,当且仅当x20,即x3时,取得等号故选B.62018上海模拟若实数x,y满足xy1,则x22y2的最小值为_答案2解析x22y222,当且仅当xy时取“”,x22y2的最小值为2.板块二典例探究考向突破考向利用基本不等式求最值例12017山东高考若直线1(a0,b0)过点(1,2),则2ab的最小值为_答案8解析直线1(a0
4、,b0)过点(1,2),1,2ab(2ab)442 8,当且仅当,即a2,b4时,等号成立故2ab的最小值为8.本例条件不变,求ab的最小值解12,当,即a2,b4时,ab8,ab的最小值为8.若4a2b1,求2ab的最大值解4a2b22,21,2ab2,2ab的最大值为2.若log2alog2b1,求2ab的最小值解log2ab1,ab2,2ab24,当a1,b2时,2ab的最小值为4.触类旁通利用基本不等式求最值问题的解题策略(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”(2)在利用基本(均值)不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的
5、形式,然后再利用基本(均值)不等式【变式训练1】(1)已知0x1,则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B. C. D.答案C解析0x0,则函数yx的最小值为_答案0解析yx2220,当且仅当x,即x时等号成立所以函数的最小值为0.考向条件最值问题例22018大同检测若正数a,b满足abab3,求:(1)ab的取值范围;(2)ab的取值范围解(1)abab323,令t0,t22t30,(t3)(t1)0.t3即3,ab9,当且仅当ab3时取等号(2)abab3,ab32.令tab0,t24t120,(t6)(t2)0.t6即ab6,当且仅当ab3时取等号触类旁通求条件最值注意的问题(1)
6、要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系,并能灵活进行转化;(2)常用的技巧有:“1”的代换,配凑法,放缩法,换元法【变式训练2】(1)2018珠海模拟已知x0,y0,x3yxy9,则x3y的最小值为()A2 B4 C6 D8答案C解析解法一:由已知得xy9(x3y),即3xy273(x3y)2,当且仅当x3y,即x3,y1时取等号,令x3yt,则t0,且t212t1080,得t6.即x3y6.解法二:x3y9xy2,()2290,(3)()0,00,b0,若a0,b0,b0,再运用基本不等式求解3“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件,这一点至关重要,忽略它往往会导致解
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