解析几何第四版吕林根课后习题集规范标准答案第三章.doc

.\ 第三章 平面与空间直线 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点和点且平行于矢量的平面（2）通过点和且垂直于坐标面的平面； （3）已知四点，，。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与平面垂直的平面。 解： （1） ，又矢量平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为： （2）由于平面垂直于面，所以它平行于轴，即与所求的平面平行，又，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：，即。 （3）（ⅰ）设平面通过直线AB，且平行于直线CD： ， 从而的参数方程为： 一般方程为：。 （ⅱ）设平面通过直线AB，且垂直于所在的平面 ， 均与平行，所以的参数式方程为： 一般方程为：. 2.化一般方程为截距式与参数式： . 解： 与三个坐标轴的交点为：， 所以，它的截距式方程为：. 又与所给平面方程平行的矢量为：， 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量平行与平面的充要条件为：. 证明： 不妨设， 则平面的参数式方程为： 故其方位矢量为：， 从而平行于平面的充要条件为： ，共面 . 4. 已知连接两点的线段平行于平面，求点的坐标. 解： 而平行于 由题3知： 从而. 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点和且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点且在轴和轴上截距分别为和的平面; ⑶与平面垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点,求通过且垂直于的平面; ⑸原点在所求平面上的正射影为; ⑹求过点和且垂直于平面的平面. 解:平行于轴的平面方程为.即. 同理可知平行于轴,轴的平面的方程分别为. ⑵设该平面的截距式方程为,把点代入得 故一般方程为. ⑶若所求平面经过轴，则为平面内一个点, 和为所求平面的方位矢量, ∴点法式方程为 ∴一般方程为. 同理经过轴,轴的平面的一般方程分别为. ⑷垂直于平面, ∴该平面的法向量,平面通过点, 因此平面的点位式方程为. 化简得. (5) ∴ 则该平面的法式方程为: 既 （6）平面的法向量为，，点从 写出平面的点位式方程为，则 ， 则一般方程即： 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。 解： 将已知的一般方程乘上得法式方程 将已知的一般方程乘上得法式方程 将已知的一般方程乘上得法式方程 即或 将已知的一般方程乘上或得法式方程为或 7．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。 解：化为法式方程为原点指向平面的单位法矢量为它的方向余弦为原点到平面的距离为 化为法式方程为-原点指向平面的单位法矢量为它的方向余弦为原点到平面的距离 第20页 8．已知三角形顶点求平行于所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。 解：设点则写出平面的点位式方程 设一般方程 则 相距为2个单位。则当时当时 所求平面为和 9．求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴与上的截距之比为的平面。 解：设设平面的截距方程为 即 又原点到此平面的距离 所求方程为 10．平面分别与三个坐标轴交于点求的面积。 解 , ,,. ;. ∴= 11．设从坐标原点到平面的距离为。求证 证明：由题知： 从而有 3.2 平面与点的相关位置 1.计算下列点和平面间的离差和距离： （1）， ； （2）， . 解： 将的方程法式化，得： ， 故离差为：， 到的距离 （2）类似（1），可求得 ， 到的距离 2.求下列各点的坐标： （1）在轴上且到平面的距离等于4个单位的点； （2）在轴上且到点与到平面距离相等的点； （3）在x轴上且到平面和距离相等的点。 解：（1）设要求的点为则由题意 或7. 即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。 （2）设所求的点为则由题意知： 由此，或-82/13。 故，要求的点为及。 （3）设所求的点为，由题意知： 由此解得：或11/43。 所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。 3.已知四面体的四个顶点为，计算从顶点向底面ABC所引的高。 解：地面ABC的方程为： 所以，高。 4.求中心在且与平面相切的球面方程。 解：球面的半径为C到平面：的距离，它为： ， 所以，要求的球面的方程为： . 即：. 5．求通过轴其与点相距8个单位的平面方程。 解：设通过轴的平面为它与点相距8个单位，从而 因此 从而得或于是有或 所求平面为或 6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹. ⑴; ⑵. 解: ⑴ 令 化简整理可得:与. ⑵对应项系数相同,可求,从而直接写出所求的方程:. 9 判别点M（2 -1 1）和N （1 2 -3）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？ （1）与 （2）与 解：（1）将M（2 -1 1），N（1 2 -3）代入，得： 则M，N在的异侧 再代入，得： MN在的同侧 MN在相邻二面角内 （2）将M（2 -1 1）N（1 2 -3）代入，得： 则MN在的异侧。 再代入，得： 则MN在的异侧 MN 在对顶的二面角内 10 试求由平面：与：所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点（1， 2， -3） 解：设p（x y z）为二面角的角平分面上的点，点p到的距离相等 化简得 把点p代入到上， 在（1）上取点（ 0 0）代入，。 在（2）上取点（0 0 -6）代入， （2）为所求，解平面的方程为： 3.3 两平面的相关位置 1.判别下列各对直线的相关位置： （1）与； （2）与； （3）与。 解：（1） ， （1）中的两平面平行（不重合）； （2） ， （2）中两平面相交； （3） ， （3）中两平面平行（不重合）。 2.分别在下列条件下确定的值： （1）使和表示同一平面； （2）使与表示二平行平面； （3）使与表示二互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则： 即： 从而：，，。 （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则： 所以：，。 （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则： 所以： 。 3.求下列两平行平面间的距离： （1），； （2），。 解：（1）将所给的方程化为： 所以两平面间的距离为：2-1=1。 （2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。 4.求下列各组平面所成的角： （1），； （2），。 解：（1）设：，： 或。 （2）设：，： 或。 5. 求下列平面的方程: (1) 通过点和且与坐标面成角的平面; (2) 过轴且与平面成角的平面. 解 ⑴ 设所求平面的方程为 又xoy面的方程为z=0,所以 解得,∴所求平面的方程为, 即 ⑵设所求平面的方程为;则 或 所求平面的方程为或. 3.4空间直线的方程 1.求下列各直线的方程： （1）通过点和点的直线； （2）通过点且平行于两相交平面： 的直线； （3）通过点且与三轴分别成的直线； （4）通过点且与两直线和垂直的直线； （5）通过点且与平面垂直的直线。 解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的直线方程为： 即：，亦即。 （2）欲求直线的方向矢量为： 所以，直线方程为：。 （3）欲求的直线的方向矢量为：， 故直线方程为：。 （４）欲求直线的方向矢量为：， 所以，直线方程为： 。 （５）欲求的直线的方向矢量为：， 所以直线方程为： 。 ２.求以下各点的坐标： （１）在直线上与原点相距２５个单位的点； （２）关于直线与点对称的点。 解：（１）设所求的点为，则： 又 即：， 解得：或 所以要求的点的坐标为：。 （２）已知直线的方向矢量为：，或为， 过垂直与已知直线的平面为：， 即， 该平面与已知直线的交点为，所以若令为P的对称点，则： ，， 　　， 即。 ３.求下列各平面的方程： （１）通过点，且又通过直线的平面； （２）通过直线且与直线 平行的平面； （３）通过直线且与平面垂直的平面； （４）通过直线向三坐标面所引的三个射影平面。 解：（１）因为所求的平面过点和，且它平行于矢量，所以要求的平面方程为： 即。 （２）已知直线的方向矢量为， 平面方程为： 即 （３）要求平面的法矢量为， 平面的方程为：， 即。 （4）由已知方程 分别消去，，得到： ，， 此即为三个射影平面的方程。 4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦： （1） （2） （3） 解：（1）直线的方向数为： 射影式方程为： ， 即， 标准方程为：， 方向余弦为：，， 。 （2）已知直线的方向数为：， 射影式方程为：， 即 标准方程为：， 方向余弦为：，， 。 （3）已知直线的方向数为：， 射影式方程为： ， 标准式方程为：， 方向余弦为：，，。 5. 一线与三坐标轴间的角分别为.证明 证 ∵, ∴,即 3.5直线与平面的相关位置 1.判别下列直线与平面的相关位置： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与。 解：（1）， 而，， 所以，直线与平面平行。 （2） 所以，直线与平面相交，且因为， 直线与平面垂直。 （3）直线的方向矢量为：， ， 而点在直线上，又， 所以，直线在平面上。 （4）直线的方向矢量为， 直线与平面相交。 2.试验证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角。 解： 直线与平面相交。 又直线的坐标式参数方程为： 设交点处对应的参数为， ， 从而交点为（1，0，-1）。 又设直线与平面的交角为，则： ， 。 3.确定的值，使： （1）直线与平面平行； （2）直线与平面垂直。 解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须： 即。 （2）欲使所给直线与平面垂直，则须： 所以：。 4.决定直线和平面的相互位置。 解：在直线上任取，有： 这表明在平面上，所以已给的直线处在已给的平面上。 5.设直线与三坐标平面的交角分别为证明 证明 设直线与X,Y,Z轴的交角分别为而直线与yoz,zox,xoy面的交角依次为那么,.而 ∴ 从而有 6.求下列球面的方程 (1)与平面x+2y+3=0相切于点且半径r=3的球面; (2) 与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于点的球面. 解: ⑴为过切点且垂直与已知平面的直线, 显见是这条直线的方向余弦. 取,则得; 取,则得. 故所求球面有两个:,与. ⑵为过点且垂直于两平面的直线,将其代入第二个平面方程,得,反代回参数方程,得.设球之中心为,半径为,则.故所求球面方程 为. 3.7空间直线的相关位置 1.直线方程的系数满足什么条件才能使： （1）直线与轴相交； （2）直线与轴平行； （3）直线与轴重合。 解：（1）所给直线与轴相交 使 且 且 ，不全为零。 （2）轴与平面平行 又轴与平面平行，所以 即，但直线不与轴重合， 不全为零。 （3）参照（2）有，且。 2.确定值使下列两直线相交： （1）与轴； （2）与。 解：（1）若所给直线相交，则有（类似题1）： 从而 。 （2）若所给二直线相交，则 从而：。 3.判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。 （1）与； （2）与； （3）与。 解：（1）将所给的直线方程化为标准式，为： （-2）：3：4=2：（-3）：（-4） 二直线平行。 又点与点（7，2，0）在二直线上， 矢量平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量为： ， 从而平面方程为：， 即 。 （2）因为， 二直线是异面的。 二直线的距离：。 （3）因为， 但是：1：2：（-1）≠4：7：（-5） 所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为， 平面的方程为：。 4.给定两异面直线：与，试求它们的公垂线方程。 解：因为， 公垂线方程为： 即， 亦即。 5.求下列各对直线间的角 (1) (2) 解 (1) ∴ (2) 直线 ∴ 6. 设和分别是坐标原点到点和的距离,证明当时,直线通过原点 . 证 ,,,而当,时,必有,∴,∴当时, 直线通过原点. 7.求通过点且与平面平行,又与直线相交的直线方程. 解 设过点的所求直线为 ∵ 它与已知平面平行,所以有 （1） 又∵ 直线与已知直线相交,那么必共面. ∴ 又有 即 7x+|8y-12z=0 (2) 由(1),(2)得 而 ∴ 所求直线的方程为 8. 求通过点且与两直线都相交的直线方程. 解 设所求直线的方向矢量为, 则所求直线可写为 ∵ 直线平行于矢量 ∴矢量为直线的方向矢量. 由于因此令y=o解方程组得 x=1,z=o ∴ 点(1,o,o) 为直线上的一点. ∴ 直线的标准方程为. ∵ ∴ 有 即 X+3Y+3Z=0. 即 X-13Y-3Z=0. 得 X:Y:Z=30:6:-16 又∵ 即 , 即 ∴ 所求直线方程为: 9. 求与直线平行且和下列两直线相交的直线. ⑴ ⑵ 解 ⑴ 在两直线上分别取两点 第一条直线的方向矢量为， 第二条直线的方向矢量为， 作两平面： 即 将其联立即为所求直线的方程 ⑵ （1） （2） (1)(2)联立: 这就是所要求的直线方程. 10. .求过点且与直线相交的直线方程. 解 设所求直线的方向矢量为 则所求直线可写为 ∴ 3X+2Y-2Z=0 (1) 即 50X-69Y+6Z=0 (2) 由(1),(2)得 ∴所求直线为: 3.6空间直线与点的相关位置 1.直线通过原点的条件是什么？ 解：已知直线通过原点 故条件为。 2.求点到直线的距离。 解：直线的标准方程为： 所以，p到直线的距离为： 。 3.8 平面束 1.求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面： （1）通过原点； （2）与轴平行； （3）与平面垂直。 解：（1）设所求的平面为： 欲使平面通过原点，则须：，即， 故所求的平面方程为： 即：。 （2）同（1）中所设，可求出。 故所求的平面方程为： 即：。 （3）如（1）所设，欲使所求平面与平面垂直，则须： 从而：， 所以所求平面方程为：。 2.求平面束，在两轴上截距相等的平面。 解：所给的方程截距式为： 据要求： 。 所以，所求的平面为：。 3.求通过直线且与平面成角的平面。 解：设所求的平面为： 则： 从而 ，或 所以所求平面为： 或。 4.求通过直线且与点的距离等于3的平面。 解：直线的一般方程为： 设所求的平面的方程为， 据要求，有： 有 或 即所求平面为： 或 即：或。 5. 求与平面平行且满足下列条件之一的平面. ⑴通过点; ⑵轴上截距为; ⑶与原点距离为. 解: ⑴设所求的平面为,将点的坐标代入方程得,则所求平面方程为. ⑵设所求的平面为. . 故所求平面为. ⑶设所求的平面为,将其法化为,将原点的坐标代入得,故所求平面为. 6.设一平面与平面x+3y+2z=0平行,且与三坐标平面围成的四面体体积为6,求这平面的方程。 解 设所求平面方程为:x+3y+2z+ 原点到该平面的距离为 ∴ 分别叫做平面在三坐标轴上的截距. 四面体体积 ∴ ∴ ∴ 这个平面的方程为 8.直线的系数满足什么条件才能使直线在坐标平面XOZ内? 解 坐标平面XOZ属于平面束 化简为 设平面XOZ面 有 ∴