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本科生毕业论文
题目：高等数学中极限思想在中学数学中的渗透
学生姓名：段锡朋
学 号：20121050225
专 业：数理基础科学
指导教师：葛瑜
2016年4月27日
目录
摘要 2
绪论 4
2.2 极限在抛物线上的应用 6
第三章 极限在数列中的应用 8
3.1 极限在等比数列中的应用 8
3.2 洛必达法则在等比数列中的应用 9
第四章 极限在不等式中的应用 10
4.1 极限比较不等式的大小 11
4.2证明不等式 12
第五章 极限在立体几何中的应用 13
5.1极限确定角度的大小 13
结论 16
致谢 17
参考文献 18
摘要
大学数学主要以极限为基础，中学数学主要锻炼人的形象思维，随着中学数学课程的改革，在中学数学中渗透入大学数学的基础内容已成为常态，因此，了解和应用一些简单的大学数学中极限方法对于中学生来说是非常有必要的。极限思想是大学数学中比较重要的一种思想，它从数量上描述了变量在运动过程中的变化趋势。极限思想不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在中等数学中的应用也十分广泛，特别是在几何，函数，数列求解，三角函数，不等式等方面也有着密切的联系。因此，极限的方法在解决中学数学的部分问题时有着不可忽视的作用。对于有些较难的数学问题，通过对问题的极端状态的讨论和研究，运用极限思想求解，可以避开一些复杂的运算，优化了解题的过程，降低了问题的难度，达到事半功倍的效果。
关键字：大学数学，中等数学，极限，几何，数列，函数，不等式。
Abstract
College mathematics is based on the limit while the main purpose of mathematics teaching in middle school is to cultivate students’ ability of imaginal thinking. With the reform of math course in middle school, it has become normal state to infiltrate basic components of college mathematics into math teaching in middle school. Thus, it is necessary for middle school students to learn the limit method. The limit cognition which describes the variation tendency of variables in movement, is an important thinking in college math study. It has been widely applied not only in advanced mathematics but only in mathematical teaching in middle school, especially in geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation. That is to say, limit method is assignable in solving some problems of middle school mathematics. It is effective. Through the discussion and study of the extreme condition, the application of the limit cognition in solving intricate mathematical problems can simplify and optimize the concrete operations, ease the difficulty level and get twofold results with half the effort.
key: College mathematics，limit，geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation
绪论
极限思想是近代数学发展中的一种比较重要的思想。所谓的极限思想就是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种重要的数学思想。极限思想的核心就是极限，极限简单点来说就是永远接近的意思。极限思想解决问题的一般步骤分为：确定问题的未知量，再构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着中学课程的改革，中高考中逐渐加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。所以这就对学生的要求越来越高，需要对大学数学中的极限初步掌握。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。
本课题就从大学数学中极限思想在解决中学数学中的几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。
研究意义
极限思想作为一种重要思想，在大学数学中乃至整个数学发展史中都占有重要的地位。极限思想在大学数学和中学数学中都有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简。
本课题解决的主要问题
本文主要对大学数中的学极限思想在中学数学中函数、数列、立体几何、不等式中的应用进行分析，然后具体比较大学数学中的极限思想的解法和中学数学中的不同，进而体现出极限思想的优点。
极限的定义
极限是高等数学中比较重要的一个模块，内容涉及到了函数，数列，导数，定积分等多个领域，学习和掌握难度较大。而由于极限在中学中的渗透，且应用相对于高等数学来说，难度较小。所以，对于中学生来说，掌握一些简单的极限以及极限的应用是十分必要的。极限在中学中的渗透主要体现于函数极限和数列极限。下面就介绍函数极限的定义和数列极限的定义及其极限之间的简单运算。
函数极限的定义：设y=f(x)是一个函数，A是一个常数，x0 是一个点，f(x)在x0的一个去心邻域内有定义。如果当x越来越接近x0时，函数值越来越接近常数A，则称A为趋于x0的函数的极限。记为
limx→x0fx=A或fx→Ax→x0
数列极限的定义：设{xn}是一个数列，如果存在实数a，对于任意正数ε(不论ε多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式│xn-a|<ε成立，那么称常数a是数列{xn}的极限，记作
limn→∞xn=a或xn→a（n→∞）
极限的四则运算
数列极限的四则运算法则：若{an}和{bn}为收敛数列，则{an+bn}，{an-bn}，{anbn}也都是收敛数列，且有
limn→∞anbn=limn→∞anlimn→∞bn
limn→∞（anbn）=limn→∞anlimn→∞bn
第二章 极限思想在函数中的应用
2.2 极限在抛物线上的应用
例1. 抛物线y=2x2与过焦点F的直线m交于两点P、Q，F分线段PQ为两个线段，其长分别为p,q则1p+1q等于（ ）
A,4 B,14 C,8 D,2
图一
解：（1）中学数学解法：由题意可得抛物线的焦点F（0，18）
由直线的参数方程可得过点F的直线m的参数方程为
x=tcosθ y=18+tsinθ （1）
y=2x2 (2)
联立方程（1）和（2）并消去x和y得
2cos2θt2-tsinθ-18=0 （3）
韦达定理：一个一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，则x1+x2=-ba ,x1 x2=ca
根据韦达定理得方程的两个根t1t2的关系为
t1+t2=sinθ2cos2θ
t1t2=-116cos2θ
1p+1q=p+qpq=|t1+t2|t1t2=18
（2）极限的解法：因为F是抛物线的焦点，所以可以得出F的坐标为F（0,18）
因为直线m是经过点F任意运动的。
所以利用极限的思想，我们可以让P点运动到顶点O点，此时点Q就是运动到无穷远点
所以可以得到q∝∞，即1q∝0
于是1p+1q=118+0=8.即答案为C
解析：本题是探究抛物线的不动点问题，中学数学的解法是探求p，q之间的关系，中间还应用到了参数方程和韦达定理，其过程比较繁琐，计算比较复杂，不适合于解答选择题。而利用大学数学中极限的解法，只要能认识到动点的极限状态，借助于极限的思想就会使问题变得简单：将线段PQ绕点F运动到无穷远处，因为PF=OF=p=18，QF=q→∞，所以很快就可以得到1p+1q→∞。极限的这种解法充分的体现了思维的灵活性和敏捷性。
第三章 极限在数列中的应用
在大学数学中我们就学过了数列极限的四则运算法则，在中学阶段主要学习最基础的等差数列和等比数列。而在中学的解题过程中同意可以运用极限的思想来解决部分问题。
下面看一下极限在数列中的应用
3.1 极限在等比数列中的应用
例.已知数列{an}，其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数P
解：设数列{cn+1-pcn}的公比为q，则
q=cn+2-pcn+1cn+1-pcn
=2n+2+3n+2-p（2n+1+3n+1）2n+1+3n+1-p（2n+3n）
=2n+12-p+3n+1(3-p)2n2-p+3n(3-p)
=223n2-p+3(3-p)23n2-p+(3-p) （1）
对上式两边求极限
当p=3时， q=limn→∞2=2
当p≠3时， q=limn→∞0+3(3-p)0+(3-p)
此时 cn+2-pcn+1=3（cn+1-pcn）
即 2n+2+3n+2-p2n+1+3n+1
=3（2n+1+3n+1）-3p（2n+3n）
整理得 2n+2-p2n+1=32n+1-3p2n
即 4-2p=6-3p
所以p=2或p=3
解析：此题采用中学数学中的解法：根据等比数列的定义用后一项和前一项之比来表示公比q，经过运算后发现根据中学数学的常规计算很难得到公比q，而（1）式正好是大学数学中极限的简单运算，采用极限的运算很快得出公比q的值。这道题是中学数学解法与极限相辅相成的体现。并不能用两种方法单独解答，但是也很好的体现了极限思想在中学数学中的渗透。
3.2 洛必达法则在等比数列中的应用
例.limx→1xm-1xn-1=_______
解：中学数学解法：
已知一个公比为x的等比数列的前n项和为：
Sn=1+x+x2+…+xn
=1-xn+11-x
所以 xn+1-1=（1-x）（1+x+x2+…+xn）
所以 xn-1=（1-x）（1+x+x2+…+xn-1）
limx→1xm-1xn-1=limx→1（1-x）（1+x+x2+…+xm-1）（1-x）（1+x+x2+…+xn-1）
=limx→11+x+x2+…+xm-11+x+x2+…+xn-1
=mn
用极限的思想的解法：
洛必达法则是用于无穷比无穷或0/0型，分子分母同时求导，可以多次求导，在求导过程中不断寻找等价的无穷小，或削去无穷因子。
此题符合洛必达法则。
limx→1xm-1xn-1=limx→1（xm-1）（xn-1）=limx→1mxm-1nxn-1=mn
解析：观察题目的分子分母可知分子分母符合等比数列的前项和公式，再通过极限的计算得出结果。而采用大学数学的极限的方法，我们可以看出整个式子符合运用洛必达法则的条件，所以通过洛必达法则对分子和分母同时求导就可以得出结果。此题是一道填空题，我们通过解答可以看出极限思想的优越性。中学数学解法过程比较繁琐和耗时，而极限的解法简单省时，甚至可以达到秒杀的效果，应当掌握
第四章 极限在不等式中的应用
不等式是中学数学中一个重要的模块，在大学数学中不等式的应用十分广泛，例如极限的证明，夹逼法则的应用等等。而极限同样也在不等式中有着十分广泛的应用。
4.1 极限比较不等式的大小
例：已知 p>0，q>0，p≠q，比较13p+q，313（p3+q3），613（p6+q6）的大小。
解：中学数学的解法：采用赋值法，已知p>0，q>0，p≠q
假设p=3，q=6
则 13p+q=3
313（p3+q3）=33
613（p6+q6）=3395
所以可得 13p+q<313（p3+q3）<613（p6+q6）
极限的解法：当p→0时，
13p+q→13q，
313（p3+q3）→q33， 613（p6+q6）→q63
由13q
14
所以，数学归纳法不可行
之所以用数学归纳法思路行不通，其原因在于14是一个常数，从k 到(k+1)右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。
当联想limn→∞n4n+1=14，且当n=1时，n4(n+1)=18>19，
可以将题目转化为:
19+125+⋯+1（2n+1）219，不等式（2）成立，
②设n=k(k≥1)时，不等式（2）成立，即
19+125+⋯+1（2n+1）2π3
所以 π3<β<π2
即 -1
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