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1、学习文档仅供参考22.2 直接开平方法 (直接开方法) 教学内容运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程教学目标理解一元二次方程“降次”转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解aex+f 2+c=0 型的一元二次方程重难点关键 1重点:运用开平方法解形如x+m2=n n0的方程;领会降次转化的数学思想 2难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如 x+m 2=nn 0的方程教学过程一、复习引入学生活动:请同学们完
2、成以下各题问题 1填空1 x2-8x+_=x-_ 2;2 9x2+12x+_= 3x+_2;3 x2+px+_=x+_2问题 2如图,在ABC中, B=90,点 P 从点 B 开始,沿AB边向点 B以 1cm/s?的速度移动, 点 Q从点 B开始,沿 BC边向点 C以 2cm/s 的速度移动, 如果 AB=6cm , BC=12cm ,?P、Q都从 B点同时出发,几秒后PBQ的面积等于8cm2?BCAQP老师点评:问题 1:根据完全平方公式可得:116 4 ; 24 2 ; 3 2p22p问题 2:设 x 秒后 PBQ的面积等于8cm2则 PB=x,BQ=2x 依题意,得:12x2x=8 精选
3、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习文档仅供参考 x2=8 根据平方根的意义,得x=22即 x1=22,x2=-22可以验证, 22和-22都是方程12x2x=8 的两根,但是移动时间不能是负值所以 22秒后 PBQ的面积等于8cm2二、探索新知上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x= 22,如果 x 换元为 2t+1 ,即 2t+1 2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?学生分组讨论老师点评:答复是肯定的,把2t+1 变为上面的x,那么 2t+1= 22即 2t+1=22,2t+1=-22方程的
4、两根为t1=2-12,t2=-2-12例 1:解方程: x2+4x+4=1 分析:很清楚,x2+4x+4 是一个完全平方公式,那么原方程就转化为x+22=1解:由已知,得: x+22=1 直接开平方,得:x+2=1 即 x+2=1,x+2=-1 所以,方程的两根x1=-1 ,x2=-3 例 2市政府计划2 年内将人均住房面积由现在的10m2提高到 14.4m,求每年人均住房面积增长率分析:设每年人均住房面积增长率为x ?一年后人均住房面积就应该是10+?10 x=101+x ;二年后人均住房面积就应该是101+x+101+xx=101+x2解:设每年人均住房面积增长率为x,则: 10 1+x2
5、=14.4 1+x2=1.44 直接开平方,得1+x=1.2 即 1+x=1.2 , 1+x=-1.2 所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2 应舍去所以,每年人均住房面积增长率应为20% 学生小结老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习文档仅供参考共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程?我们把这种思想称为“降次转化思想”三、稳固练习教材 P36练习四、应用拓展例 3某公
6、司一月份营业额为1 万元,第一季度总营业额为3.31 万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x, ?那么二月份的营业额就应该是1+x ,三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是1+x2解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x那么 1+1+x+1+x2=3.31 把 1+x当成一个数,配方得:1+x+122=2.56 ,即 x+322=256 x+32=1.6 ,即 x+32=1.6 ,x+32=-1.6 方程的根为x1=10%,x2=-3.1 因为增长率为正数,所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10% 五、归纳小结本节课应掌握:由
7、应用直接开平方法解形如x2=pp0 ,那么 x=p转化为应用直接开平方法解形如 mx+n 2=pp0 ,那么 mx+n=p,到达降次转化之目的六、布置作业 1教材 P45复习稳固 1、2 2选用作业设计: 一、选择题 1假设 x2-4x+p= x+q2,那么 p、 q 的值分别是 Ap=4,q=2 Bp=4,q=-2 Cp=-4 ,q=2 Dp=-4 ,q=-2 2方程 3x2+9=0 的根为 A3 B -3 C 3 D无实数根 3用配方法解方程x2-23x+1=0 正确的解法是 A x-132=89,x=132 23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
8、- - - -第 3 页,共 5 页学习文档仅供参考 B x-132=-89,原方程无解 C x-232=59,x1=23+53,x2=253 D x-232=1,x1=53, x2=-13二、填空题 1假设 8x2-16=0 ,则 x 的值是 _ 2如果方程2x-3 2=72,那么,这个一元二次方程的两根是_ 3如果 a、b 为实数,满足34a+b2-12b+36=0 ,那么 ab 的值是 _三、综合提高题 1解关于 x 的方程 x+m 2=n 2某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙墙长25m ,?另三边用木栏围成,木栏长40m 1鸡场的面积能到达180m2吗?能到达200m吗?2鸡
9、场的面积能到达210m2吗? 3在一次手工制作中,某同学准备了一根长4 米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,?并说明你制作的理由吗?答案 : 一、 1B 2 D 3 B 二、 12 2 9 或-3 3 -8 三、 1当 n0 时, x+m= n, x1=n-m,x2=-n-m当 n0 时,无解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习文档仅供参考2 1都能到达设宽为x,则长为40-2x ,依题意,得:x 40-2x =180 整理, ?得: ?x2-20 x+90=0 ,x1=10+10,x2=10-10;同理 x40-2x =200,x1=x2=10,长为 40-20=20 2不能到达同理x40-2x =210,x2-20 x+105=0 ,b2-4ac=400-410=-100 ,无解,即不能到达3因要制矩形方框,面积尽可能大,所以,应是正方形,即每边长为1 米的正方形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
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