解析几何第四版吕林根课后习题集规范标准答案第二章.doc
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1、.第二章 轨迹与方程2.1平面曲线的方程1.一动点到的距离恒等于它到点的距离一半,求此动点的轨迹方程,并指出此轨迹是什么图形? 解:动点在轨迹上的充要条件是。设的坐标有 化简得 故此动点的轨迹方程为 此轨迹为椭圆 2.有一长度为0)的线段,它的两端点分别在轴正半轴与轴的正半轴上移动,是求此线段中点的轨迹。,为两端点,为此线段的中点。 解:如图所示 设.则.在中有 .把点的坐标代入此式得: .此线段中点的轨迹为. 3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值,求此动点的轨迹. 解:设两定点的距离为,并取两定点的连线为轴, 两定点所连线段的中垂线为轴.现有:.设在中 . 在中. 由两式得:. 4.设是
2、等轴双曲线上任意三点,求证的重心必在同一等轴双曲线上. 证明:设等轴双曲线的参数方程为 ,.重心 5.任何一圆交等轴双曲线于四点,及.那么一定有. 证明:设圆的方程.圆与等轴双曲线交点,则代入得整理得: 可知是它的四个根,则有韦达定理. 8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.; ; .解:令,代入方程得参数方程为.令代入方程得当时,当时,故参数方程为.2.2 曲面的方程1、 一动点移动时,与及平面等距离,求该动点的轨迹方程。解:设在给定的坐标系下,动点,所求的轨迹为,则亦即由于上述变形为同解变形,从而所求的轨迹方程为2、在空间,选取适当的坐标系,求下列点的轨迹方程:(1)到两定点距离之
3、比为常数的点的轨迹;(2)到两定点的距离之和为常数的点的轨迹;(3)到两定点的距离之差为常数的点的轨迹;(4)到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解:(1)取二定点的连线为轴,二定点连接线段的中点作为坐标原点,且令两距离之比的常数为,二定点的距离为,则二定点的坐标为,设动点,所求的轨迹为,则亦即经同解变形得:上式即为所要求的动点的轨迹方程。(2)建立坐标系如(1),但设两定点的距离为,距离之和常数为。设动点,要求的轨迹为,则亦即两边平方且整理后,得: (1)从而(1)为即:由于上述过程为同解变形,所以(3)即为所求的轨迹方程。(3)建立如(2)的坐标系,设动点,所求的轨迹为,则类似于
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