解析几何学习知识重点情况总结复习资料.doc

.\ 一、直线与方程基础： 1、直线的倾斜角： α α 2、直线的斜率： ； 注意：倾斜角为90的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式： ①点斜式：； ②斜截式：； ③一般式：； ④截距式：； ⑤两点式： 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件： ，， ； . 5、相关公式： ①两点距离公式：，， ； ②中点坐标公式：，， 则线段的中点； ③点到直线距离公式： ，， 则点到直线的距离； ④两平行直线间的距离公式：，， 则平行直线与之间的距离； ⑤到角公式：（补充）直线到直线的角为，，则 .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础： 1、圆的标准方程：； 确定圆的两个要素：圆心，半径； 2、圆的一般方程：，（）； 3、点与圆的位置关系： 点在圆内 ； 点在圆上 ； 点在圆外 ； 4、直线与圆的位置关系： 从几何角度看： 令圆心到直线的距离为， 相离； 相切； 相交； 若直线与圆相交于两点，， 则弦长； 从代数角度看： 联立与圆， 消去（或）得一元二次方程，， 相离； 相切； 相交； 相交时的弦长 . 5、圆与圆的位置关系： 相离，外切，相交，内切，内含 . 圆；圆， 根据这三个量之间的大小关系来确定：，，； 相离； 外切； 相交； 内切； 内含； 6、两圆①；圆②若相交，则相交弦所在的直线方程的求法： 交轨法： ①式②式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程 . 三、椭圆： 1、（第一）定义：； 2、椭圆标准方程及离心率： 焦点在轴上的椭圆标准方程为：； 长半轴；：短半轴；半焦距 . 椭圆中，，的关系：； 椭圆的离心率 . 3、弦长公式： 直线与椭圆交于两点，， 则相交时的弦长 . 弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。 4、中点弦结论（点差法）： 椭圆上的两点，， 弦的中点， 则 . 5、焦点三角形面积： 椭圆的两个焦点分别为、，点是椭圆上除左、右端点外的一点，令，则： . 该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。 6、直线与椭圆位置关系： 联立与椭圆， 消去（或）得一元二次方程，， 相离； 相切； 相交； 7、与点坐标相关的面积公式： ，，，点，，不在一条直线上， 则：. 该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。 四、双曲线：（类比椭圆来学习双曲线） 1、定义：； 2、双曲线标准方程及离心率、渐近线方程： 焦点在轴上的双曲线标准方程为：； 实半轴；：虚半轴；半焦距 . 双曲线中，，的关系：； 双曲线的离心率 ； 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为； 焦点到渐近线的距离 . 焦点在轴上的双曲线相关性质可以类比。 3、弦长公式： 直线与双曲线交于两点，， 则相交时的弦长 . 4、中点弦结论（点差法）： 双曲线上的两点，， 弦的中点， 则 . 5、焦点三角形面积： 双曲线的两个焦点分别为、，点是双曲线上除左、右端点外的一点，令，则： . 6、直线与双曲线位置关系： ①当直线与双曲线的其中一条渐近线重合时，显然直线与双曲线无交点； ②当直线与双曲线的其中一条渐近线平行时，有且仅有一个交点， 此时联立直线方程与双曲线方程，会得到一个一次方程（二次项系数为0）； ③当直线与双曲线的渐近线既不平行也不重合时， 此时联立直线方程与双曲线方程，消去（或）得一元二次方程，， 相离； 相切； 相交； 五、抛物线： 1、定义： （到定点的距离等于到定直线的距离的这样的点的轨迹即为抛物线）. 抛物线图1 2、标准方程：（开口朝右的抛物线，开口朝其它方向的抛物线方程及其它性质可以类比。） 焦点，准线，离心率. 3、常见性质： ① 普通的弦长公式： 直线与抛物线相交于两点，， 则相交时的弦长 . 抛物线图2 ②过焦点的特殊弦长公式及与： （i）若弦过焦点，则弦长 （为倾斜角）； （ii）， . ③过抛物线的顶点作两条互相垂直的射线、分别与抛物线交于两点，，弦与轴交于点，则，即：. 反之亦然，即：若，则. 4、抛物线中过焦点弦的其它性质（补充，作为了解,切记不能死记硬背。如死记硬背，如下知识点不如不用掌握。可以尝试证明。） 设是过抛物线焦点的弦，，， 如图（抛物线图2）， 则：①； ②； ③以为直径的圆与准线相切； ④； ⑤以或为直径的圆与轴相切 . 5、直线与抛物线的位置关系： ①若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则有一个交点； ②若直线与抛物线的对称轴不平行，也不垂直，则根据判别式的符号来确定交点个数； ③若直线与抛物线的对称轴垂直，画图数形结合很容易判断交点个数。 圆锥曲线大题常见题型（归纳总结）： 题型一、求点的轨迹问题： 常见方法： ①直接法：（设出所求点，根据题意列出等式，建立起与的关系。） 如椭圆的标准方程的求出，本身就是利用这种方法。 ②几何定义法：根据题意画出图形，通过已知条件及所学知识（如三角形中位线、圆与圆内切与外切，直线与圆相切的等价条件）得出所求点满足圆的几何定义或椭圆、双曲线、抛物线的定义，从而求出点的轨迹方程； ③伴随动点转化法： 该类题型的特征往往是： 其中一个动点如点的轨迹方程是已知的，另有一个定点或多个定点，所求动点与定点和动点有着一定关系。这时只需这么做：根据已知条件得出：，代入到点的轨迹方程中，从而建立起与的关系，求出点的轨迹方程 . ④ 交轨法： 如求两圆相交时的相交弦所在的直线方程，采用的就是这种方法。 相交弦的两个端点同时在两个圆上，将这两个圆的方程相减，进行整理即得到所求直线方程 . 交轨法常用于解决两动曲线交点的轨迹方程问题。通过消参来求点的轨迹方程。 ⑤ 参数方程法：求动点的轨迹方程，有时直接不能看出与的关系，但是设其中一个中间变量为，发现根据题目已知，能很好的建立起与和与的关系， 即：，然后通过消去参数建立起与的关系从而求出点的轨迹方程 . 题型二：直线与圆锥曲线的位置关系，相交弦长及最值问题 通常的方法就是联立+韦达，结合弦长公式，将弦长表示为斜率的函数，结合均值不等式来求最值。 在运用韦达定理时，如何表示，以及呢？ 因为交点也在直线上，故：，，代入表示成与和相关. 要注意：①直线的斜率不存在的情况需单独讨论；②验证判别式； 题型三： 圆锥曲线中的恒过定点、定值问题 直线或圆、椭圆恒过定点问题通常是先求出所求的曲线，一般都带有参数。如直线方程中带一个参数，就很容易找出定点。 但一般情况下，可能刚开始需设两个参数，然后求出曲线方程，灵活利用已知条件，最终的曲线方程是只含一个参数的情况。 定值问题的求解思路，往往是：分析出一个点是哪两条曲线的交点，就联立哪两条曲线方程，用所设参数表示出动点或动直线，动中自有定数。 无论怎样，“联立+韦达”的方法在解题时大量被应用到。