kriging(克里金方法-克里金插值)汇总.ppt
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1、主要是为解决矿床储量计算和误差估计问题而主要是为解决矿床储量计算和误差估计问题而发展起来的发展起来的 由法国巴黎国立高等矿业学院由法国巴黎国立高等矿业学院G马特隆教授于马特隆教授于1962年所创立。年所创立。 H. S. Sichel (1947)D.G. Krige (1951)Kriging法法(克里金法,克立格(克里金法,克立格法)法):“根据样品空间位置不同、样根据样品空间位置不同、样品间相关程度的不同,对每个样品品间相关程度的不同,对每个样品品位赋予不同的权,进行滑动加权品位赋予不同的权,进行滑动加权平均,以估计中心块段平均品位平均,以估计中心块段平均品位”G. Materon(19
2、62)提出了提出了“地质统计学地质统计学”概念概念 (法文法文Geostatistique)发表了专著发表了专著应用地质统计学论应用地质统计学论。阐明了一整套区域化变量的理论,阐明了一整套区域化变量的理论,为地质统计学奠定了理论基础。为地质统计学奠定了理论基础。区域化变量理论区域化变量理论克里金估计克里金估计随机模拟随机模拟应用统计学方法研究金矿品位应用统计学方法研究金矿品位1977年我国开始引入年我国开始引入 克里金插值方法克里金插值方法niiixzxz10*井眼地震(普通克里金)(应用(应用随机函数随机函数理论)理论) 不仅考虑待估点位置与不仅考虑待估点位置与 已知数据位置的相互关已知数据
3、位置的相互关 系,而且还考虑变量的系,而且还考虑变量的 空间相关性。空间相关性。 为一个实值变量,可根据概率分布取不同的值。为一个实值变量,可根据概率分布取不同的值。每次取值(观测)结果每次取值(观测)结果z为一个确定的数值,称为为一个确定的数值,称为随机变量随机变量Z的的一个实现。一个实现。P1. 随机变量随机变量连续变量:连续变量:累积分布函数(cdf) cumulative distribution function)(Pr);(zuZobzuF条件累积分布函数(ccdf)后验 conditional cumulative distribution function)( |)(Pr)(
4、|;(nzuZobnzuF离散变量(类型变量):离散变量(类型变量):)( |)(Pr)( |;(nkuZobnkuFZ (u)PP不同的取值方式:估计(estimation) 模拟(simulation)连续型地质变量连续型地质变量构造深度构造深度砂体厚度砂体厚度有效厚度有效厚度孔隙度孔隙度渗透率渗透率含油饱和度含油饱和度离散型地质变量离散型地质变量(范畴变量)(范畴变量)砂体砂体相相 流动单元流动单元隔夹层隔夹层断层断层类型变量类型变量设设离散型随机变量离散型随机变量的所有可能取值为的所有可能取值为 x1,x2,其相应的概率为,其相应的概率为P (=xk)= pk, k=1,2,. 随机变
5、量的特征值:随机变量的特征值:(1)数学期望数学期望 是随机变量是随机变量的整体代表性特征数。的整体代表性特征数。 则当级数 绝对收敛时,称此级数的和为的数学期望,记为E(),或E。 E() = 1kkpxk1kkpxk设连续型随机变量的可能取值区间为(-,+), p(x)为其概率密度函数,若无穷积分 绝对收敛,则称它为的数学期望,记为E()。 dxxxp)(E() = dxxxp)( 数学期望是随机变量的最基本的数字特征, 相当于随机变量以其取值概率为权的加权平均数。 从矩的角度说,数学期望是的一阶原点矩。对于一组样本:对于一组样本:NzmNii)(1 为随机变量的离散性特征数。若数学期望E
6、-E()2存在,则称它为的方差,记为D(),或Var(),或2。 = 222 )(E -)( )(E-E)(ED 从矩的角度说,方差是的二阶中心矩。 (2)方差方差 其简算公式为 D()=E(2) E()2D()= E-E()2方差的平方根为标准差,记为 研究范围内的一组随机变量。研究范围内的一组随机变量。),(研究范围uuZ)(uZ简记为)( |)(,)(Pr)( |,;,(1111nzuZzuZobnzzuuFKKKK 随机场:随机场:当随机函数依赖于多个当随机函数依赖于多个自变量时,称为随机场。自变量时,称为随机场。如具有三个自变量如具有三个自变量(空间空间点的三个直角坐标点的三个直角坐
7、标)的随的随机场机场2. 随机函数随机函数条件累积分布函数(ccdf)P 二个随机变量二个随机变量,的协方差为二维随机变量的协方差为二维随机变量(,)的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩11,记为,记为Cov(,),或,或,。 协方差协方差(Variance):Cov(,) = , = E-E()-E()其简算公式为其简算公式为 Cov(,) = E ()-E() E() 随机函数的特征值随机函数的特征值 P 任何统计推断(cdf,数学期望等)均要求重复取样。 但在储层预测中,一个位置只能有一个样品。 同一位置重复取样,得到cdf,不现实考虑邻近点,推断待估点 空间一点处的观测值可解释为一个随机变
8、量在该点 处的一个随机实现。 空间各点处随机变量的集合构成一个随机函数。区域化变量: 能用其空间分布来表征一个自然现象的变量。(将空间位置作为随机函数的自变量)(可以应用随机函数理论解决插值和模拟问题)考虑邻近点,推断待估点 -空间统计推断要求平稳假设),;,(),;,(1111KKKKzzhuhuFzzuuF 严格平稳严格平稳);();(zhuFzuF对于单变量而言:可从研究区内所有数据的累积直方图推断而得 (将邻近点当成重复取样点)太强的假设,不符合实际P 当区域化变量Z(u)满足下列二个条件时,则称其为二阶平稳或弱平稳: EZ(u) = EZ(u+h) = m(常数) xh 随机函数在空
9、间上的变化没有明显趋势,随机函数在空间上的变化没有明显趋势,围绕围绕m值上下波动。值上下波动。 在整个研究区内有在整个研究区内有Z(u)的数学期望存在,的数学期望存在, 且等于常数,即:且等于常数,即:二阶平稳二阶平稳 在整个研究区内,在整个研究区内,Z(u)的协方差函数存在且平稳的协方差函数存在且平稳 (即只依赖于滞后即只依赖于滞后h,而与,而与u无关无关), 即即 CovZ(u),Z(u+h) = EZ(u)Z(u+h)-EZ(u)EZ(u+h) = EZ(u)Z(u+h)- = C(h) 特殊地,当h=0时,上式变为VarZ(u)=C(0), 即方差存在且为常数。 协方差不依赖于空间绝对
10、位置,而依赖于相对位置协方差不依赖于空间绝对位置,而依赖于相对位置 , 即具有空间的平稳不变性。即具有空间的平稳不变性。uu+h 在整个研究区内有在整个研究区内有 EZ(u)-Z(u+h) = 0 本征假设本征假设 当区域化变量Z(u)的增量Z(u)-Z(u+h)满足下列二条件时,称其为满足本征假设或内蕴假设。可出现EZ(u)不存在, 但EZ(u)-Z(u+h)存在并为零的情况存在并为零的情况 intrinsic hypotheseEZ(u)可以变化,但EZ(u)-Z(u+h)=0(比二阶平稳更弱的平稳假设) 增量增量Z(u)-Z(u+h)的方差函数的方差函数 (变差函数,Variogram)
11、 存在且平稳存在且平稳 (即不依赖于即不依赖于u),即:,即: VarZ(u)-Z(u+h) = EZ(u)-Z(u+h)2-EZ(u)-Z(u+h)2 = EZ(u)-Z(u+h)2 = 2(u,h) = 2(h), 相当于要求:相当于要求:Z(u)的变差函数存在且平稳。的变差函数存在且平稳。例:物理学上的著名的布朗运动是一种呈现出无限离散性的物理现象,其随机函数的理论模型就是维纳-勒维(Wiener-Levy)过程(或随机游走过程)。布朗运动: 可出现协方差函数不存在,但变差函数存在的情况。 既不能确定验前方差,也不能确定协方差函数。 但是其增量却具有有限的方差: VarZ(x)-Z(x+
12、h) = 2 = A|h| (其中,A是个常数), 变差函数= |h|,且随着|h|线性地增大。2A)(h 若区域化变量若区域化变量Z(x)在整个区域内不满足二阶平在整个区域内不满足二阶平稳稳(或本征假设或本征假设) ,但在有限大小的邻域内是二阶平,但在有限大小的邻域内是二阶平稳稳(或本征或本征)的,则称的,则称Z(x)是准二阶平稳的是准二阶平稳的(或准本征或准本征的的)。准二阶平稳假设及准本征假设准二阶平稳假设及准本征假设 设 为区域上的一系列观测点, 为相应的观测值。区域化变量在 处的值 可采用一个线性组合来估计: nxx,1 nxzxz,10 x0*xzZ*(x0) niiixzxz10
13、*min00*00*0 xZxZVarxZxZE无偏无偏最优最优无偏性和估计方差最小被作为 选取的标准 i-以普通克里金为例从本征假设出发, 可知 为常数,有 xZE 0*11000mmxZxZExZxZEniiniii可得到关系式: 11nii(1)无偏条件)无偏条件Z*(x0)(在搜寻邻域内为常数,不同邻域可以有差别)njxZxZEnijj, 1, 021200*(2)估计方差最小)估计方差最小min200*200*00*xZxZExZxZExZxZE2k应用拉格朗日乘数法求条件极值Z*(x0)niijniijinjxxCxxC1011, 1进一步推导,可得到n+1阶的线性方程组, 即克里
14、金方程组 当随机函数不满足二阶平稳,而满足内蕴(本征)假设时,可用变差函数来表示克里金方程组如下:niijniijinjxxxx1011, 1Z*(x0)最小的估计方差,即克里金方差可用以下公式求解: niiikxxCxxC1000200102xxxxniiikZ*(x0) 变差函数变差函数(或叫或叫变程方差函数变程方差函数,或,或变异函数变异函数)是是地质统计学所特有的基本工具。它既能描述区域化地质统计学所特有的基本工具。它既能描述区域化变量的空间结构性变化,又能描述其随机性变化。变量的空间结构性变化,又能描述其随机性变化。跃迁现象1. 变差函数的概念与参数变差函数的概念与参数 ),(hx
15、假设空间点假设空间点x只在一维的只在一维的x轴上变化,则将区域化轴上变化,则将区域化变量变量Z(x)在在x,x+h两点处的两点处的值之差值之差的方差之半定义的方差之半定义为为Z(x)在在x轴方向上的变差函数,记为轴方向上的变差函数,记为一维情况下的定义:一维情况下的定义:VarZ(x)-Z(x+h) EZ(x)-Z(x+h)2-EZ(x)-Z(x+h)2 ),(hx21=21半变差函数(或半变异函数) 在在二阶平稳假设,或作本征假设二阶平稳假设,或作本征假设,此时:,此时: 地质统计学中最常用的基本公式之一。EZ(x)-Z(x+h) = 0hVarZ(x)-Z(x+h) EZ(x)-Z(x+h
16、)2-EZ(x)-Z(x+h)2 ),(hx21=21EZ(x)-Z(x+h)2 ),(hx21=则:)()0()(hCCh(二阶平稳假设条件下变差函数与协方差的关系)变程变程(Range) :指区域化变量在空间上具有相关性的指区域化变量在空间上具有相关性的范围。在变程范围之内,数据具有相关性;而在变范围。在变程范围之内,数据具有相关性;而在变程之外,数据之间互不相关,即在变程以外的观测程之外,数据之间互不相关,即在变程以外的观测值不对估计结果产生影响。值不对估计结果产生影响。 具不同变程具不同变程的克里金插的克里金插值图象值图象块金值块金值(Nugget) :变差函数如果在原点间断,在地质统
17、计学中称:变差函数如果在原点间断,在地质统计学中称为为“块金效应块金效应”,表现为在很短的距离内有较大的空间变异性,表现为在很短的距离内有较大的空间变异性,无论无论h多小,两个随机变量都不相关多小,两个随机变量都不相关 。它可以由测量误差引起,。它可以由测量误差引起,也可以来自矿化现象的微观变异性。在数学上,块金值也可以来自矿化现象的微观变异性。在数学上,块金值c0相当于相当于变量纯随机性的部分。变量纯随机性的部分。 如果品位完全是典型的随机变量,则不论如果品位完全是典型的随机变量,则不论观测尺度大小,所得到的实验变差函数曲线总观测尺度大小,所得到的实验变差函数曲线总是接近于纯块金效应模型。是
18、接近于纯块金效应模型。 当采样网格过大时,将掩盖小尺度的结构,当采样网格过大时,将掩盖小尺度的结构,而将采样尺度内的变化均视为块金常数。这种而将采样尺度内的变化均视为块金常数。这种现象即为块金效应的尺度效应。现象即为块金效应的尺度效应。块金效应的尺度效应块金效应的尺度效应121113333基台值基台值(Sill):代表变量在空间上的总变异性大小。即为变代表变量在空间上的总变异性大小。即为变差函数在差函数在h大于变程时的值,为大于变程时的值,为块金值块金值c0和和拱高拱高cc之和。之和。 拱高拱高为在取得有效数据的尺度上,可观测得到的变异性幅为在取得有效数据的尺度上,可观测得到的变异性幅度大小。
19、当块金值等于度大小。当块金值等于0时,基台值即为拱高。时,基台值即为拱高。 = C(0) C(h)(h几何各向异性:几何各向异性:变差函数变差函数在空间各个方向上的在空间各个方向上的变程变程不同不同,但,但基台值不变基台值不变(即(即变化程度相等)。这种情变化程度相等)。这种情况能用一个简单的几何坐况能用一个简单的几何坐标变换将各向异性结构变标变换将各向异性结构变换为各向同性结构。换为各向同性结构。带状各向异性:带状各向异性:不同方向不同方向的变差函数具有的变差函数具有不同的基不同的基台值台值,其中,其中变程可以不同,变程可以不同,也可以相同也可以相同。这种情况不。这种情况不能通过坐标的线性变
20、换转能通过坐标的线性变换转化为各向同性,因而结构化为各向同性,因而结构套合是比较复杂的。套合是比较复杂的。 地质变量相关性的各向异性地质变量相关性的各向异性121113333(2)2. 变差函数的理论模型变差函数的理论模型设Z(x)为满足本征假设的区域化变量,则常见的理论变差函数有以下几类:球状模型球状模型指数模型指数模型高斯模型高斯模型幂函数模型幂函数模型空洞效应模型空洞效应模型 接近原点处,变差函接近原点处,变差函 数呈线性形状,在变数呈线性形状,在变 程处达到基台值。程处达到基台值。 原点处变差函数的切原点处变差函数的切 线在变程的线在变程的2/3处与处与 基台值相交。基台值相交。 ah
21、cahahahchahSphch,2123003球状模型:球状模型: c为基台值,为基台值,a为变程,为变程,h为滞后距。为滞后距。指数模型:指数模型: ahcahExpch3exp1 变差函数渐近地逼近变差函数渐近地逼近 基台值。基台值。 在实际变程处,变差在实际变程处,变差 函数为函数为0.95c。 模型在原点处为直线。模型在原点处为直线。高斯模型:高斯模型: 223exp1ahch 变差函数渐近地逼近变差函数渐近地逼近 基台值。基台值。 在实际变程处,变差函在实际变程处,变差函 数为数为0.95c。 模型在原点处为抛物线。模型在原点处为抛物线。 幂函数模型:幂函数模型: hch. 幂函数
22、模型为一种无基幂函数模型为一种无基台值的变差函数模型。这台值的变差函数模型。这是一种特殊的模型。是一种特殊的模型。 当当 =1时,变差函数为一时,变差函数为一直线,即为线性模型,这直线,即为线性模型,这一模型即为著名的一模型即为著名的布朗运布朗运动(随机行走过程)动(随机行走过程)的变的变差函数模型;差函数模型; 当当 1时,变差函数为抛时,变差函数为抛物线形状,为物线形状,为分数布朗运分数布朗运动动(fBm)的变差函数模型。的变差函数模型。 布朗运动布朗运动分数布朗运动分数布朗运动分数布朗运动分数布朗运动 h2111h空洞效应模型空洞效应模型(Hole Effect): 2cosexp1.b
23、hahch 变差函数并非单调增加,变差函数并非单调增加, 而显示出一定周期性的而显示出一定周期性的 波动。波动。 模型可以有基台值,也模型可以有基台值,也 可以无基台值;可以有可以无基台值;可以有 块金值,也可以无块金块金值,也可以无块金 值。值。 空洞效应在地质上多沿空洞效应在地质上多沿 垂向上出现,如富矿层垂向上出现,如富矿层 与贫矿层互层、砂岩与与贫矿层互层、砂岩与 泥岩频繁薄互层等等。泥岩频繁薄互层等等。(b为富矿化带重复距离))(hh 通过区域化变量的空间观测值来通过区域化变量的空间观测值来构建相应的变构建相应的变差函数模型差函数模型, 以表征该变量的主要结构特征。以表征该变量的主要
24、结构特征。(求变求变差差) (1)数据准备数据准备 区域化变量的选取区域化变量的选取、 数据质量检查及校正数据质量检查及校正、 数据的变换数据的变换(如对渗透率进行对数变换)、(如对渗透率进行对数变换)、 数据的统计数据的统计(如分相对储层参数计算平均值、(如分相对储层参数计算平均值、 方差,作直方图、相关散点图等)、方差,作直方图、相关散点图等)、 丛聚数据的解串丛聚数据的解串等。等。3. 区域化变量的区域化变量的(2)(2)实验变差函数的计算实验变差函数的计算 实验变差函数是指应用观测值计算的变差函实验变差函数是指应用观测值计算的变差函数。对于不同的滞后距数。对于不同的滞后距h h,可算出
25、相应的实验变,可算出相应的实验变差函数差函数。 )(*h=N(h)1i2iih)Z(x-)Z(xN(h)21一维实验变差函数的计算公式(i=1,N(h) Z(xi)-Z(xi+h)2的算术平均值一半即为一个h的变差函数值对不同的滞后h,进行计算,得出各个h的变差函数值 )(*h=N(h)1i2iih)Z(x-)Z(xN(h)21h3h5hh设Z(x)为一维区域化变量,满足本征假设,又已知Z(1)=2,Z(2)=4,Z(3)=3,Z(4)=1,Z(5)=5,Z(6)=3,Z(7)=6,Z(8)=4, , ) 1 (*)2(*)3(*例:例:试求:试求:)(*h=N(h)1i2iih)Z(x-)Z
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