2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档:第三章 第四节 三角函数的图象与性质 .docx
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1、第四节三角函数的图象与性质2019考纲考题考情考纲要求考题举例考向标签1.能画出ysinx,ycosx,ytanx的图象,了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性2018全国卷T10(三角函数的单调性)2018北京高考T11(三角函数的最值)2017全国卷T14(三角函数的最大值)2017全国卷T6(三角函数的周期性、对称性、单调性)命题角度:1三角函数的定义域2三角函数的值域与最值3三角函数的性质核心素养:直观想象、逻辑推理1“五点法”作图原理在确定正弦函数ysinx在0,2上的图象形状时,起
2、关键作用的五个点是(0,0)、(,0)、(2,0)。2三角函数的图象和性质函数性质ysinxycosxytanx定义域x|xk,kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴:xk(kZ);对称中心:(k,0)(kZ)对称轴:xk(kZ);对称中心:(kZ)对称中心:(kZ)周期22续表函数性质ysinxycosxytanx单调性单调增区间(kZ);单调减区间(kZ)单调增区间2k,2k(kZ);单调减区间2k,2k(kZ)单调增区间(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数1函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为T,函数ytan(x)的最小正周期为T。2求函数yAsin(x)的单调区间时,应注意
3、的符号,只有当0时,才能把(x)看作一个整体,代入ysint的相应单调区间求解。3函数ysinx与ycosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线,如ycosx的对称轴为xk(kZ),而不是x2k(kZ)。4对于ytanx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(kZ)内为增函数。 一、走进教材1(必修4P46A组T2,3改编)若函数y2sin2x1的最小正周期为T,最大值为A,则()AT,A1BT2,A1CT,A2DT2,A2解析最小正周期T,最大值A211。故选A。答案A2(必修4P40练习T4)下列关于函数y4sinx,x,的单调性的叙述,正确的是()A在,0上是
4、增函数,在0,上是减函数B在上是增函数,在及上是减函数C在0,上是增函数,在,0上是减函数D在及上是增函数,在上是减函数解析函数y4sinx在和上单调递减,在上单调递增。故选B。答案B二、走近高考3(2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为()A4B2CD解析函数f(x)sin的最小正周期为T。答案C4(2018江苏高考)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称,则的值是_。解析由函数ysin(2x)的图象关于直线x对称,得sin1,因为,所以,则,。答案三、走出误区微提醒:忽视定义域的限制出错;不注意正切函数的定义域;不化为同名函数以及同一个单调区间导致比较大小出错。5函数f(x
5、)3sin在区间上的值域为()ABCD解析当x时,2x,sin,故3sin,即f(x)的值域为。故选B。答案B6函数ytan的单调递减区间为_。解析因为ytanx的单调递增区间为(kZ),所以由k2xk,(kZ),得xcos23cos97。答案sin68cos23cos97考点一 三角函数的定义域【例1】(1)函数y的定义域为_。(2)函数ylg(sinx)的定义域为_。解析(1)要使函数有意义,必须有即故函数的定义域为。(2)函数有意义,则即解得所以2kx2k(kZ),所以函数的定义域为。答案(1)(2)1三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例,应用正切函数ytanx的定义域求函数yAta
6、n(x)的定义域转化为求解简单的三角不等式。(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式。2简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解。(2)利用三角函数的图象求解。 【变式训练】(1)函数y的定义域为_。(2)函数f(x)tan的定义域是_。解析(1)要使函数有意义,必须使sinxcosx0。利用图象,在同一坐标系中画出0,2上ysinx和ycosx的图象,如图所示。在0,2内,满足sinxcosx的x为,再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以原函数的定义域为。解析:sinxcosxsin0,将x视为一个整体,由正弦函数ysinx的图象和性质可知2kx2k(kZ),解得2kx2k(kZ
7、)。所以定义域为。(2)依题意得所以0x2,且xk(kZ),所以函数f(x)的定义域是。答案(1)(2)考点二 三角函数的值域与最值 【例2】(1)已知函数f(x)cosxsin2x,则函数f(x)的最大值为_。(2)已知函数f(x)(sinxcosx)2cos2x,求f(x)在区间上的最大值和最小值。(1)解析(换元法)因为yf(x)cosxsin2x2cos2xsinx2(1sin2x)sinx2(sinxsin3x),令tsinx,则yg(t)2(tt3),1t1。令g(t)2(13t2)0,得t。当t时,g(t)0,g(t)在上是增函数;当t时,g(t)0,g(t)在上是增函数。由此,
8、得yg(t)在t时取得最大值,最大值为。故f(x)的最大值为。答案(2)解因为f(x)sin2xcos2x2sinxcosxcos2x1sin2xcos2xsin1,当x时,。由正弦函数ysinx在上的图象知,当2x,即x时,f(x)取最大值1;当2x,即x时,f(x)取最小值0。综上,f(x)在上的最大值为1,最小值为0。求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型1形如yasinxbcosxc的三角函数化为yAsin(x)c的形式,再求值域(最值)。2形如yasin2xbsinxc的三角函数,可先设sinxt,化为关于t的二次函数求值域(最值)。3形如yasin3xbsin2xcsinxd
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