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1、选修2-3 事件的独立性一、选择题1种植两株不同的花卉,假设它们的成活率分别为p和q,那么恰有一株成活的概率为()Apq2pqBpqpqCpq Dpq答案A解析恰有一株成活的概率为p(1q)(1p)qpq2pq,应选A.2打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,假设两人同时射击,那么他们同时中靶的概率是()A.B.C.D.答案A解析P甲,P乙,所以PP甲P乙.3从某地区的儿童中挑选体操学员,儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是()(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)A. B. C. D.答案D解析设“儿童体型
2、合格为事件A,“身体关节构造合格为事件B,那么P(A),P(B).又A,B相互独立,那么,也相互独立,那么P( )P()P(),故至少有一项合格的概率为P1P( ),应选D.4(湖北理,4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,那么事件A,B中至少有一件发生的概率是()A. B. C. D.答案C解析由题意P(A),P(B),事件A、B中至少有一个发生的概率P1.5甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是()Ap1p2Bp1(1p2)p2(1p1)C1p1p2
3、D1(1p1)(1p2)答案B解析设甲解决问题为事件A,乙解决问题为事件B,那么恰有一人解决为事件BA ,由题设P(A)p1,P(B)p2,P(BA )P(B)P(A )P()P(B)P(A)P()(1p1)p2p1(1p2)6从甲袋内摸出1个白球的概率为,从乙袋内摸出1个白球的概率是,从两个袋内各摸1个球,那么概率为的事件是()A2个球都是白球B2个球都不是白球C2个球不都是白球D2个球中恰好有1个白球答案C解析从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立,故两个球都是白球的概率为P1,两个球不都是白球的概率为P1P1.7(广州模拟)在一段时间内,甲去某地的概率是,乙去此地的概率是,假定
4、两人的行动相互之间没有影响,那么在这段时间内,至少有1人去此地的概率是()A. B. C. D.答案C解析解法一:考查相互独立事件的概率公式设“甲去某地为事件A,“乙去某地为事件B,那么至少1人去此地的概率为PP(A)P()P()P(B)P(A)P(B).应选C.解法二:考查对立事件P1P()P()1.8假设事件A、B发生的概率都大于零,那么()A如果A、B是互斥事件,那么A与也是互斥事件B如果A、B不是相互独立事件,那么它们一定是互斥事件C如果A、B是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件D如果AB是必然事件,那么它们一定是对立事件答案C解析当事件A、B如图(1)所示时,A与B互斥,但A与不
5、互斥,故A错;当事件A、B如图(2)时,AB是必然事件,但不是对立事件,故D错;如果A与B相互独立,那么A的发生与否对B没有影响,故不是互斥事件;A与B不相互独立时也未必是互斥事件二、填空题9设A、B互不相容,且P(A)0,P(B|A)_,假设A、B相互独立,且P(A)0,那么P(B|A)_.答案0P(B)解析A、B互不相容,A发生那么B一定不发生,从而P(B|A)0;又A、B相互独立时,P(B|A)P(B)10P(A)0.3,P(B)0.5,当事件A、B相互独立时,P(AB)_,P(A|B)_.解析A、B相互独立,P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.30.50.30.50.65.P
6、(A|B)P(A)0.3.11一道数学竞赛试题,甲生解出它的概率为,乙生解出它的概率为,丙生解出它的概率为. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为_答案解析甲生解出,而乙、丙不能解出为事件A1,那么P(A1),乙生解出,而甲、丙不能解出为事件A2,那么P(A2),丙生解出,而甲、乙不能解出为事件A3,那么P(A3).甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1A2A3).12(重庆文,14)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为、,且各道工序互不影响,那么加工出来的零件的次品率为_答案解析此题考查独立事件,对立事件有关概率的根本知识以及计算方法设加
7、工出来的零件为次品为事件A,那么为加工出来的零件为正品P(A)1P()1(1)(1)(1).三、解答题13有三种产品,合格率分别是0.90,0.95和0.95,各抽取一件进行检验(1)求恰有一件不合格的概率;(2)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)解析设从三种产品中各抽取一件,抽到合格品的事件为A、B、C.(1)P(A)0.90,P(B)P(C)0.95,P()0.10,P()P()0.05.因为事件A、B、C相互独立,恰有一件不合格的概率为:P(AB)P(AC)P(BC)P(A)P(B)P()P(A)P()P(C)P()P(B)P(C)20.900.950.050.100.950.
8、950.176.(2)方法1:至少有两件不合格的概率为P(A)P(B)P(C)P(220.012.方法2:三件产品都合格的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C20.812.由(1)知,恰有一件不合格的概率为0.176,所以至少有两件不合格的概率为1P(ABC)0.1761(0.8120.176)0.012.14甲、乙两人参加一次英语口语考试,在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率解析(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、
9、B,那么P(A),P(B). (2)方法1:因为事件A、B相互独立,所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P()P()P().所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P1P()1.答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.方法2:因为事件A、B相互独立,所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为PP(A)P(B)P(AB)P(A)P()P()P(B)P(A)P(B).答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.15甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为.甲、丙两台机床加工的零
10、件都是一等品的概率为.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率解析(1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件由题设条件有即由、得P(B)1P(C),代入得27P(C)251P(C)220.解得P(C)或 (舍去)将P(C)分别代入、可得P(A)、P(B),即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是、.(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件,那么P(D)1P()11P(A)1P(B)1P(C)1.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,
11、至少有一个一等品的概率为.16某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案方案一:在三门课程中,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a、b、c,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响(1)分别求应聘者用方案一和方案二时,考试通过的概率;(2)试比拟应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小(说明理由)解析记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A、B、C,那么P(A)a、P(B)b、P(C)c.(1)应聘者用方案一考试通过的概率P1P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)ab(1c)bc(1a)ac(1b)abcabbcca2abc,应聘者用方案二考试通过的概率为P2P(AB)P(BC)P(AC)(abbcca);(2)因为a、b、c0,1,所以P1P2(abbcca)2abcab(1c)bc(1a)ac(1b)0,故P1P2.即采用第一种方案,该应聘者通过的概率大
限制150内