第22章《相似形》教学设计.doc
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1、合肥市第七十二中学 张多来第22章 相似形单元目标1、了解比例的基本性质,了解线段的比,成比例线段。2、了解黄金分割比及黄金数。3、了解图形的相似,掌握相似图形的性质以及相似多边形的性质。4、了解两个三角形相似的概念,掌握两个三角形相似的条件。5、了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小。6、会利用相似解决生活中的实际问题。单元导读本章重点难点:重点:相似三角形的性质及判定。难点:相似三角形的性质及应用。22.1 比例线段(3课时)学习目标要求1、了解相似图形、相似多边形、相似比及比例线段等概念。2、了解比例线段的性质。3、了解黄金分割比及黄金数。教材内容点拨知识点1相似多边形:从几何
2、直观上来说,两个图形如果形状一致,而大小不同,则称这两个图形相似,具体到多边形,称之为相似多边形。从严谨定义上来说,如果两个多边形各边成比例,各角相等,则称这两个多边形为相似多边形。知识点2比例线段:1、线段的比:如果用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别为m,n,则mn就是线段a,b的比,记作abmn或,其中a叫做比例前项,b叫做比例后项。2、比例线段:四条线段,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同,则称这四条线段成比例线段,简称比例线段。例如线段a、b、c、d,如果,则称线段a、b、c、d成比例线段,这里要注意,a、b、c、d必须按顺序写出,不能写成或。3、比例外项、比例内项、第
3、四比例项、比例中项:若,则称a、d为比例外项,b、c、为比例内项,d为第四比例项,如果bc,则称b为a、c的比例中项。知识点3比例性质:1、基本性质:如果,则根据等式的基本性质,两边同时乘以bd得。2、合比性质:如果,则根据等式的基本性质,两边同时加上1或1得。3、等比性质:如果(),则,运用这个性质时,一定要注意的条件。知识点4黄金分割:把线段AB分成两条线段AP、PB(APPB),如果AP是线段PB和AB的比例中项,则线段AP把线段AB黄金分割,点P叫做线段AB的黄金分割点。典型例题点拨例1、已知,且是、的比例中项,则 ,若是、的比例中项,则 。点拨:解此题要注意两点,1、比例条件的常规使
4、用方法。2、比例中项的意义。解答:,可令,则,又是、的比例中项,;若是、的比例中项,则,即,。例2、已知,求:的值。点拨:注意到分子分母中的各项系数是一致的,可联想到比例的等比性质。解答:,由等比性质可得。例3、已知,求。点拨:本题考查比例的基本性质,易错点是由化成比例式时错成,解题关键是运用比例的基本性质,本题还可以运用合比性质求解。解答:由比例的基本性质得,。例4、如图,ABC中,CD平分ACB交AB于D,DEBC交AC于E点,若ADDB23,AC15,求DE的长。点拨:题中条件“CD平分ACB交AB于D”是至关重要的,联想到“平行线、角平分线、等腰三角形”这三个关键词之间的关系,可得出D
5、EC是一个等腰三角形,将所求DE长转换为求EC长。解答:CD平分ACB交AB于D,DEBC交AC于E点,DEEC,又ADDB23,AEEC23,令AE2x,则EC3x,由AC15可得,解得,DEEC。例4、在比例尺为1:8000的安庆市城区地图上,集贤南路的长度约为25 cm,它的实际长度约为( )。A320cm B320m C2000cm D2000m点拨:注意领会比例尺的含义,此处的尺不是尺子的意思,而是尺度的含义。解答:比例尺为1:8000,长度约为25 cm,即图中1cm表示实际中的8000cm,实际长度应为cm,即2000m,答案选D。考点考题点拨1、中考导航(1)线段的比;(2)比
6、例线段及比例性质;(3)黄金分割。2、经典考题追踪例1、(06遂宁)如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA、PB当PA2=PBAB,即PA0.618AB时,则称点P是线段AB的黄金分割点,现已知线段AB=10,点P是线段AB的黄金分割点,如图所示,那么线段PB的长约为( )。A、6.18 B、0.382 C、0.618 D、3.82点拨:根据黄金分割比约为0.618可知AP约为0.618106.18,从而可知PB约为106.183.12。解答:D例2、(06河南)要拼出和图1 中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形(如图2)需要图1中的菱形的个数为_。点拨:由图1知一个小菱形的一条对角线
7、的长度为8cm,所以小菱形和大菱形的相似比为111,所以共需小菱形1111121个。解答:121个。易错点点拨易错点1、概念理解不清:易错点导析:相似多边形必须各边对应成比例,且各角相等,而不是只要各角相等或各边对应成比例即可。例:下列说法正确的是( )A 两个矩形相似 B 两个梯形相似 C 两个正方形相似 D 两个平行四边形相似错解:A错解点拨:相似多边形必须各边对应成比例,且各角相等。正解:C易错点2、考虑问题不全面:易错点导析:有很多开放题结果不唯一,可以有很多种种不同的结果,考虑问题应该全面,而不能只考虑其中一种情况。例:已知线段3,4,6与是成比例线段,则。错解:错解点拨:本题是一道
8、开放题,结果不唯一,可以有、,所以x应有3种不同的结果,而不仅仅只有一种。正解:、或。拓展与创新1、已知,则 。点拨:仿照等比性质的证明方法,令,则可得关于a,b,c的一个以k为字母系数的三元一次方程组,解这个方程组即可得a,b,c(用字母系数k表示),进而可得。解答:设,则,解得,1037。2、若,则为( )。A B CD点拨:由利用比例基本性质可得关于x,y的一个关系式,从而可得的值。解答:,解得,选A。3、已知:,则_,_。点拨:本题主要考查比例的等比性质,利用等比性质可直接求解。解答:,且,。4、雨后初晴,一学生在运动场上玩耍,从他前面2m远一块小积水处,他看到旗杆顶端的倒影,如果旗杆
9、底端到积水处的距离为40m,该生的眼部高度是1.5m,那么旗杆的高度是_m。点拨:如图所示,由关线的直线传播性,可得AEBDEC,从而有,即,解之即可得旗杆高度。解答:30m。学习方法点拨1、 对于相似图形及相似多边形的理解,可在生活中寻找实例,加强几何直观上的理解,也可利用多媒体信息技术,在电脑上做出相应的图形,帮助形成相似的概念。2、对于比例性质的学习,应加强利用比例性质解决问题的训练,以形成应用比例性质的能力。3、在生活中深入理解黄金分割点和黄金分割比的意义,领会黄金分割的美感。随堂演练1、下列说法:所有的等腰三角形都相似;所有的等边三角形都相似;所有等腰直角三角形都相似;所有的直角三角
10、形都相似。其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上)。2、量得两条线段,的长度分别为8,32,则= 。3、如图,点C是AB的中点,点D在BC上,AB=24,BD=5,ADCB (1)ACCB ;ACAB ; (2);。4、若x是8和4的比例中项,则x的值为( )AB CD以上答案均不对5、已知,则,。6、若,则;若,则= 。7、已知,则k等于( )A1B CD 8、已知A、B两地的实际距离AB5千米,画在地图上的距离2,则这张地图的比例尺是( )。 A、 25 B、 125000 C、 250001 D、 12500009、 已知点C是线段AB的黄金分割点,且ACCB,则下列等式中成立的
11、是( )AAB2=ACCBBCB2=ACAB CAC2=CBABDAC2=2BCAB10、把长为7cm的线段进行黄金分割,则分成的较短的线段长为( )AB CD11、已知 。12、将数48分成三部分,且三数之比为2:4:6,则最小数是( )A8B16 C24D413、两个相似三角形的相似比系数为,如果它们的周长之差4cm,那么这两个相似三角形的周长分别是 。14、三线段、中,的一半的长等于的四分之一长,也等于的六分之一长,那么这三条线段的和与的比等于( )A B C D 15、若,则 16、如果,那么 17、已知三个数1,2,请你再添上一个(只填一个)数,使它们能构成一个比例式,则这个数是_。
12、18、已知:如图,在中,且(1)求的长;(2)求证:。随堂演练答案1、2、143、(1)11,12;(2)125,724,1974、C。5、, 6、, 7、C 8、D 9、C 10、B 11、0 12、A 13、8cm和4cm 14、C 15、2或3 16、 17、或18、(1)设,则由得,即(2)证明:, ,即。22.2 相似三角形的判定(3课时)学习目标要求1、掌握相似三角形的概念。2、掌握两个三角形相似的条件。3、能用两个三角形相似的条件解决问题。教材内容点拨知识点1相似三角形:1、两个三角形,如果各边对应成比例,各角对应相等,则这两个三角形相似。2、各边对应成比例,各角对应相等是指三组
13、对应角分别相等,三组对应边分别成比例。3、ABC与ABC相似记作“ABCABC”,书写时同三角形全等一样,要注意对应字母放在对应位置,例如,ABC与DEF中,A点与E点对应,B点与D点对应,C点与F点对应,则应记作ABCEDF。4、相似三角形的定义揭示了相似三角形的本质特性,即如果两个三角形相似,则各边对应成比例,各角对应相等,相似三角形的定义即是性质,又是判定。5、全等三角形是相似比为1的相似三角形。知识点2相似三角形判定方法:相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可记为“AA”、“SAS”、“SSS”和“HL”,只是这里对边要求是对应成比例,对角的要求是对应角相等。1、“AA”:如果
14、一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等;那么这两个三角形相似。可简单的说成:两角对应相等的两个三角形相似。2、“SAS”:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简单的说成:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。3、“SSS”:如果一个三角形的三条边为另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可以简单的说成:三边对应成比例的两个三角形相似。4、“HL”:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三外形相似。典型例题点拨例1、已知:如图,ABC中,ADDB,
15、12,求证:ABCEAD。点拨:题中提供了两个条件,一个是关于边的,一个是关于角的,而关于边的条件可转换为角之间的关系,从而可得两个角之间的关系,联系到要求证的结论,可联想到用“AA”来证。解答:ADDB,3B,又12,4B2,BAC,4BAC,在ABC和EAD中, 3B 4BAC ABCEAD。例2、已知:如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP3PC,Q是CD的中点,ADQ与QCP是否相似?为什么?点拨:根据条件“BP3PC ,Q是CD的中点”可知,结合CD90,可用“SAS”求证。解答:BP3PC ,Q是CD的中点,又四边形ABCD是正方形,CD90,在ADQ与QCP中, CD
16、ADQQCP。例3、如图,点C、D在线段AB上,PCD是等边三角形。(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,ACPPDB?(2)当ACPPDB时,求APB的度数。解答:(1)ACPPDB120,当,即,也就是CD2ACDB时,ACPPDB。(2)ACPPDB。ADPB,APBAPCCPDDPBAPCACPDPCDCPD120。123例4、(2006年福建省南平市)如图,正方形ABCD的边长为1,点E是AD边上的动点,从点A沿AD向D运动,以BE为边,在BE的上方作正方形BEFG,连接CG。请探究:(1)线段AE与CG是否相等?请说明理由:(2)若设,当取何值时,最大?(3)连接BH,当点E运
17、动到AD的何位置时,BEHBAE?点拨:本题主要考察对全等三角形和相似三角形的理解与应用,根据条件注意到ABEDEH,并由此得到,从而得到关于x、y的一个条件式,进而得到y与x的一个函数,这是解决第(2)小题的关键;在第(3)小题中,则要从果溯源,要使BEHBAE,则必须,由此得到关于x的一个方程,解这个方程即可。解答:(1)AECG,四边形ABCD、EBGF都是正方形,12,且ABAC、BEBG,ABECBG,AECG(全等三角形的对应边相等)。(2)在ABE和DEH中,DA90,1390AEB,ABEDEH,即,得,当时,。(3)若BEHBAE,则,即,解得,当E点运动到中点时,BEHBA
18、E。考点考题点拨1、中考导航中考中对相似三角形的考察往往结合其他内容例如平行线、平行四边形来进行,要熟练掌握相似三角形的四种判定方法,特别是“AA”。2、经典考题追踪例1、(06天门)点E是 ABCD的边BC延长线上的一点,AE与CD相交于G,则图中相似三角形共有( )。A、2对 B、3对 C、4对 D、5对点拨:将BCG、ADG、ABC、ACD分别标为、,则有和、和、和、和、和五对相似三角形。解答:选D。1234例2、(06苏州)如图,梯形ABCD中,ABCD,且AB2CD,E、F分别是AB、BC的中点,EF与BD相交于点M。(1)求证:EDMFBM;(2)若DB9,求BM。点拨:由条件“A
19、B2CD,E是AB的中点”可得BECD,从而可知四边形DEBC是平行四边形,由此可证(1),在(1)中结论成立的前提下,利用相似三角形“对应边成比例”的性质,可求BM。解答:(1)AB2CD,且E是AB的中点,BECD,又BECD,四边形DEBC是平行四边形,DEBC,12,34,EDMFBM;(2)EDMFBM,(相似三角形的对应边对应成比例),F是CD的中点,令BMx,则DM2x,BD3x9,x3,BM3。例3、(06年锦州)点D是ABC中AB边上的一点,过点D作直线(不与直线AB重合)截ABC,使截得的三角形与ABC相似,满足这样条件的直线最多有_条。点拨:要使所截得的三角形与ABC相似
20、,则所截三角形的三个内角与ABC的三个角对应相等,如果所截三角形与ABC以A为公共角,则以有一个角已经相等,只要另一个角对应相等即可,由此有1B、2C或3B、ADFC两种情况;如果所截三角形与ABC以B为公共角,则同理也有两种情况,所以经过D点共有4种不同直线可截三角形与ABC相似。解答:4。易错点点拨易错点1、相似三角形识别不准确。易错点导析:两个相似三角形中对应角相等,对应边对应成比例,然而不对应的角和不对应的边之间并没有特别的关系,在应用相似三角形的性质时要特别注意边、角的对应,不能随便得出角相等,边成比例。例1、如图,ABC是等边三角形,AB3cm,分别延长BC、CB至E、D,使得CE
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