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-/ 九年级下册数学教案 第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 绿色圃中小学教育网http://www.Lspjy.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM及创新思维] （1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？ 分析 若函数是二次函数，须满足的条件是：． 解 若函数是二次函数，则 ． 解得 ，且． 因此，当，且时，函数是二次函数． 回顾与反思 形如的函数只有在的条件下才是二次函数． 探索 若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？ 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系； （4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 ，其中S是a的二次函数； （2）由题意，得 ，其中y是x的二次函数；绿色圃中小学教育网http://www.Lspjy.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com 绿色圃中小学教育网http://www.Lspjy.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com （3）由题意，得 （x≥0且是正整数）， 其中y是x的一次函数； （4）由题意，得 ，其中S是x的二次函数． 例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积． 解 （1）； （2）当x=3cm时，（cm2）． [当堂课内练习] 1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1） （2） （3） （4） 2．当k为何值时，函数为二次函数？ 3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)判断y是否为x的二次函数． [本课课外作业] A组 已知函数是二次函数，求m的值．绿色圃中小学教育网http://www.Lspjy.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com 绿色圃中小学教育网http://www.Lspjy.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com 1． 2． 已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值． 3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y． 4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围． B组 5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A． B． C． D． 6．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是 （ ） A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会] 26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时） 教学目标 (一)知识与技能 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标． (二)过程与方法 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神． 2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想． 3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识． (三)情感态度与价值观 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性， 2．具有初步的创新精神和实践能力． 教学重点 1．体会方程与函数之间的联系． 2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根． 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标． 教学难点 1．探索方程与函数之间的联系的过程． 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系． 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解． 现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢? 2.选教材提出的问题，直接引入新课 Ⅱ．合作交流 解读探究 1.二次函数与一元二次方程之间的关系 探究：教材问题 师生同步完成. 观察：教材22页，学生小组交流. 归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳. Ⅲ.应用迁移 巩固提高 1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根 同期声 2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围. 3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况 Ⅳ．总结反思 拓展升华 本节课学了如下内容： 1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系． 2．理解了二次函数与x轴交点的个数 与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根. 3.数学方法:分类讨论和数形结合. 反思：在判断抛物线与x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案 Ⅴ．课后作业P231.3.5 二次函数的图象与性质（1）绿色圃中小学教育网http://www.Lspjy.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com 绿色圃中小学教育网http://www.Lspjy.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com 26．2 [本课知识要点] 会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM及创新思维] 我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是 、 ，那么二次函数的图象是什么呢？ （1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？ （2）观察函数的图象，你能得出什么结论？ [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1） （2） 解 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 18 8 2 0 2 8 18 … … -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 … 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1． 共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点． 不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升． 的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴． 解 （1）由题意，得， 解得k=2． （2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴． 例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2． 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得． 列表： C 2 4 6 8 … 1 4 … 描点、连线，图象如图26．2．2． （2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm． （3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2． 回顾与反思 （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习] 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） （2） （3） 2．（1）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图． [本课课外作业] A组 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1） （2） 2．填空： （1）抛物线，当x= 时，y有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线开口向下． （3）已知函数是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x的增大而增大． 3．已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）作出函数的图象（草图）． 4．已知抛物线经过点（1，3），求当y=9时，x的值． B组 5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm3． 6．二次函数与直线交于点P（1，b）． （1）求a、b的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小． 7． 一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象； （2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出⊿MON的面积． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（2） [本课知识要点] 会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM及创新思维] 同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？ ，那么与的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 18 8 2 0 2 8 18 … … 20 10 4 2 4 10 20 … 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示． 回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？ 例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … … -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 … 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示． 可以看出，抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的． 探索 如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？ 例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式． 解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，， 解得． 故所求函数关系式为． 回顾与反思 （a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 [当堂课内练习] 1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： ， ， ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的． 3．函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． [本课课外作业] A组 1．已知函数， ， ． （1）分别画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平移得到的． 3．若二次函数的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？ B组 4．在同一直角坐标系中与的图象的大致位置是( ) 5．已知二次函数，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（3） [本课知识要点] 会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM及创新思维] 我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． ， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … … 0 2 8 … … 8 2 0 … 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示． 它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 探索 抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？ 例2．不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗? 解 抛物线的顶点坐标为（0，0）；抛物线的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线．抛物线是由向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 （a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 [当堂课内练习] 1．画图填空：抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． ， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． [本课课外作业] A组 1．已知函数，， ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质． 2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？ 3．函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 4．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系． B组 5．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求的值． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（4） [本课知识要点] 1．掌握把抛物线平移至+k的规律； 2．会画出+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM及创新思维] 由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？ [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． ，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … … 8 2 0 2 … … 6 0 -2 0 … 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示． 它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系． 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关． 探索 你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表． +k 开口方向 对称轴 顶点坐标 例2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值． 分析 抛物线的顶点为（0，0），只要求出抛物线的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值． 解 ． 向上平移2个单位，得到， 再向左平移4个单位，得到， 其顶点坐标是，而抛物线的顶点为（0，0），则 解得 探索 把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试． [当堂课内练习] 1．将抛物线如何平移可得到抛物线 （ ） A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线可由抛物线向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到． [本课课外作业] A组 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． ，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2．将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式． 3．将抛物线如何平移，可得到抛物线？ B组 4．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，则有 （ ） A．b =3，c=7 B．b= -9，c= -15 C．b=3，c=3 D．b= -9，c=21 5．抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值． 6．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，其中h＞0，k＜0，求所得的抛物线的函数关系式． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（5） [本课知识要点] 1．能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标； 2．会利用对称性画出二次函数的图象． [MM及创新思维] 我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？ [实践与探索] 例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图． 解 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）． 由对称性列表： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … … -10 0 6 8 6 0 -10 … 描点、连线，如图26．2．7所示． 回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，． （2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点． 探索 对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ． 例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值． 分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0． 解 ， 则抛物线的顶点坐标是． 当顶点在x轴上时，有 ， 解得 ． 当顶点在y轴上时，有 ， 解得 或． 所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是 –2，4，8． [当堂课内练习] 1．（1）二次函数的对称轴是 ． （2）二次函数的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小． （3）抛物线的顶点横坐标是-2，则= ． 2．抛物线的顶点是，则、c的值是多少？ [本课课外作业] A组 1．已知抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） （2） （3） （4） 3．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴． B组 4．当时，求抛物线的顶点所在的象限． 5. 已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（6） [本课知识要点] 1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值； 2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． [MM及创新思维] 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗? [实践与探索] 例1．求下列函数的最大值或最小值． （1）； （2）． 分析 由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数中的二次项系数2＞0， 因此抛物线有最低点，即函数有最小值． 因为=， 所以当时，函数有最小值是． （2）二次函数中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线有最高点，即函数有最大值． 因为=， 所以当时，函数有最大值是． 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 探索 试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数的最大值或最小值． 例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表： x（元） 130 150 165 y（件） 70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？ 分析 日销售利润=日销售量每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200， 因此，所求的一次函数的关系式为． 设每日销售利润为s元，则有 ． 因为，所以． 所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果． 例3．如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y． （1）用含y的代数式表示AE； （2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； （3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值． 解 （1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此 ． （2）由∥，得，即， 所以，，x的取值范围是． （3）， 所以，当x=2时，S有最大值8． [当堂课内练习] 1．对于二次函数，当x= 时，y有最小值． 2．已知二次函数有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是 （ ） A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定 3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ [本课课外作业] A组 1．求下列函数的最大值或最小值． （1）； （2）． 2．已知二次函数的最小值为1，求m的值．， 3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：．y值越大，表示接受能力越强． （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？ B组 4．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围． 5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2． （1）求S与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？ （3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF． （1）求线段EF的长； （2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S， 写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围， 并求出S的最小值． [本课学习体会] 26 . 2 二次函数的图象与性质（7） [本课知识要点] 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式． [MM及创新思维] 一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？ [实践与探索] 例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式． 解 由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4）， 又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得 所以 ． 因此，函数关系式是． 例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）； （3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）； （4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4． 分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入，即可求出a的值． 解 （1）设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到 解这个方程组，得 a=2，b= -1． 所以，所求二次函数的关系式是． （2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为， 又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到 解得 ． 所以，所求二次函数的关系式是． （3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0）， 所以设二此函数的关系式为． 又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到 ． 解得 ． 所以，所求二次函数的关系式是． （4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成． 回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式： （1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求． （2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求． （3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求． [当堂课内练习] 1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）； （2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）； （3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）． 2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式． [本课课外作业] A组 1．已知二次函数的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3）， （1）求该二次函数的关系式； （2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成的形式，