2022年复变函数与积分变换第六章课后的习题答案-.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载习题六1. 求映射w1下,以下曲线的像. i= +ivz1 2 xy2ax a0,为实数 解:w1x1iyx2xy2x2yy2zux2xy2x1, axau1 a. 所以w1将x2y2ax 映成直线z2 ykx k 为实数 kxy2解:w1x2xy2x2yy2izux2xy2vx2yy2x2vku故w1将 ykx 映成直线 vku . z2. 以下区域在指定的映射下映成什么?名师归纳总结 ( 1) Imz0,w1iz ;1为半径的圆 第 1 页,共 7 页解:w1i xi xyi + uxy vxy.uv2y0.所以 ImwR
2、e w . 故w1iz 将 Im 0,映成 ImwRe w . 2 Re z0. 0Imz0, 0 y0. Imw0. 如 w=u+i v, 就yu2uv2,xu2vv2由于 0y0, 0Imz0,Im w0, w11 以(1 2,0 )为圆心、222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载3. 求 w=z 2 在 z=i 处的伸缩率和旋转角,问 w=z 2 将经过点 z=i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w平面上哪一个方向?并作图. 旋转角 arg w = 2. . 如图解:由于 w =2z, 所以 w i= 2i , |w |=2
3、, 于是 , 经过点 i 且平行实轴正向的向量映成w平面上过点 -1 ,且方向垂直向上的向量所示 . 4. 一个解析函数,所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性?映射w=z2 在z 平面上每一点都具有这个性质吗?答:一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射2 w=z在 z=0 处导数为零,所以在z=0 处不具备这个性质. 5. 求将区域 0x0. 解: 1 Re z=0 是虚轴,即z=i y 代入得 . wiy11i 21y2i12y2iy11y21y2y写成参数方程为u1y2,v12y2, y1y2y消去 y 得,像曲线方程为单位圆, 即i 2ei
4、2eu 2+v2=1. 2 |z|=2. 是一圆围,令zi 2e ,02. 代入得1u53u54sin024cos4cos消去得,像曲线方程为一阿波罗斯圆. 即 u52v24 2 33 3 当 Imz0 时,即w1zImw10, w1w1令 w=u+i v 得Imw1Im u1iv u2vv20. w1 u1iv12即 v0, 故 Im z0 的像为 Imw0. 9. 求出一个将右半平面Rez0 映射成单位圆 | w|0. 故表示wiezz在单位圆内处的旋转角 argw. 111. 求将上半平面Imz0, 映射成 | w|0, 映为单位圆 | w|1 的一般分式线性映射为w=kz zIm1 由
5、 f i=0得=i ,又由 argfi0, 即f i ez2i2, ifi1ei0,得,所以222wizi. zi2 由 f 1=1, 得 k=1 1;由 f i= 1, 得 k=i联立解得55iw3 +5z2i. 52i312. 求将 | z|1 映射成 | w|1 的分式线性变换1 f 2=0, f -1=1. 2, 2 f 1 2=0, argf23 f a= a, argf . w=f z ,并满意条件:解:将单位圆 | z|1 映成单位圆 | w|1 的分式线性映射,为名师归纳总结 wie1zz , |1. . 第 4 页,共 7 页1 由 f 1 2=0 ,知1 2. 又由 f -
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