八年级数学阅读理解题专项练习提高.doc

\ 八年级阅读理解题专项练习 1.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形, AOB=COD =90．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积． A D C O B E B O C D A 图1 图2 小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证△OBE≌△OAD, 从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）． I H G F A B C D E 请你回答：图2中△BCE的面积等于 ． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形 ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID． （1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长 度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为 三边长的三角形的面积等于 ． 图3 解：△BCE的面积等于 2 ………1分 （1）如图（答案不唯一）…2分 以EG、FH、ID的长度为三边长的 一个三角形是△EGM . …………3分 （2） 以EG、FH、ID的长度为三边长的三角 形的面积等于 3 ． …………5分 2.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，，，则点就是四边形的准内点． （1）如图2，与的角平分线相交于点． 求证：点是四边形的准内点． 第12题图 （2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）． 3．如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为，则电子跳蚤连续跳（）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ． 4.△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA， 若＜∠PBC＜180，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA， （1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= ； （2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数； （3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形． 5．请阅读下列材料： 已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90，得到△ABE′，连结E′D， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数 量关系式，并对你的猜想给予证明； 图（1） （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线 段CB延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？ 请说明你的猜想并给予证明. 图（2） 6.（石景山二）25．（1）如图1，四边形中，，，，请你 猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，四边形中，，，若点为四边形 内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的 图2 数量关系，并证明你的结论． 图１ 　　　 7.问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数． 小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决． 请你回答：图2中∠APB的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题： 如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115，∠BPC=125． （1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ． 图1 图2 图3 8.阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60得到△A’BC,连接,当点A落在上时,此题可解（如图2）． 请你回答：AP的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点， 则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简） 9.如图，在△ABC中，,M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B。已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连结MP，MQ，PQ。在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（ ） A. 一直增大 B.一直减小 C. 先减小后增大 D.先增大后减少 10. （2012山东省青岛市，23，10）（10分）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一：以△ABC的三个顶点和它内部的一个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？ 如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形. 探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： 一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在△PAC内部，如图②； 另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在PA上，如图③； 显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形. 探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点可把△ABC分割成 个互不重叠的小三角形，并在图④画出一种分割示意图. 探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点可把△ABC分割成 个互不重叠的小三角形。 探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形。 问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个顶点，可把△ABC分割成 个互不重叠的小三角形。 实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算） 23. 【解析】观察图形发现：内部每多一个点，则多2个三角形，从而得到一般规律为n+2(m-1)或2m+n-2.根据根据规律逐一解答. 【答案】探究三：7 分割示意图.（答案不唯一）. 探究四：3+2（m-1）或2m+1 探究拓展：4+2（m-1）或2m+2 问题解决：n+2(m-1)或2m+n-2 实际应用：把n=8,m=2012代入上述代数式，得2m+n-2=22012+8-2=4024+8-2=4030. 【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解题关键是结合图形，探寻其规律，发现规律才能顺利解题，体现特殊到一般的数学思想． 11.在由mn（mn＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f， （1）当m、n互质（m、n除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表： 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 4 7 3 5 7 猜想：当m、n互质时，在mn的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是______________________________（不需要证明）； 解： （2）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立， 17：解析：（1）通过题中所给网格图形，先计算出25，34，对角线所穿过的小正方形个数f，再对照表中数值归纳f与m、n的关系式. （2）根据题意，画出当m、n不互质时，结论不成立的反例即可. 解：（1）如表： 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 4 7 6 3 5 7 6 f=m+n-1 （2）当m、n不互质时，上述结论不成立，如图24 24 点评：本题是操作探究题，根据操作规则得出数据，并归纳总结其中规律，对于错误结论的证明，只要举出反例即可. 12．操作与探究： （1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点. 点在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点的对应点分别为．如图1，若点表示的数是，则点表示的数是 ；若点表示的数是2，则点表示的数是 ；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位（），得到正方形及其内部的点，其中点的对应点分别为。已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标。 【解析】（1）–3+1=0；设B点表示的数为a，a+1=2，a=3；设点E表示的数为a, a+1=a，解得a= (2)由点A到A’，可得方程组；由B到B’，可得方程组，解得，设F点的坐标为（x,y），点F’与点F重合得到方程组，解得，即F（1，4） 【答案】（1）0，3， （2）F（1，4） 【点评】本题考查了根据给出的条件列出方程或方程组，并解方程组的知识。 13.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)； 第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分； 第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) 则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为________cm，最大值为________cm． 解析：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6，左右两边的长等于线段MN的长，当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来矩形的边AB的一半，等于4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2（6+4）=20；当点E与点A重合，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，等于，此时，这个四边形的周长最大，其值为2（6+）=12+。 答案：20；12+. 点评：本题需要较好的空间想象能力和探究能力，解题时可以边操作边探究。将最终的四边形的一周的线段分成长度不变的和可以变化的，然后研究变化的边相关的边的变化范围，这是一种转化思想。 14.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第二次操作，……依次类推，若第n次余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，□ABCD中，若AB=1,BC=2,则□ABCD为1阶准菱形. (1)判断现推理: ①邻边长分别为2和3的平行四边形是____阶准菱形; ②小明为了得剪去一个菱形,进行如下操作:如图2,把□ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点落在边上的点F,,得到四边形,请证明四边形是菱形. (2)操作、探究、计算： ①已知的边长分别为1，a(a﹥1)且是3阶准菱形，请画出□ABCD及裁剪线的示意图，并在下方写出的a值 ②已知□ABCD的邻边长分别为a,b(a﹥b),满足a=6b+r,b=5r,请写出□ABCD是几阶准菱形 【解析】（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；（2）①如图所示： ②∵a=6b+r，b=5r，∴a=65r+r=31r； 如图所示：故□ABCD是10阶准菱形． （2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出□ABCD是几阶准菱形． 【答案】(1) ①2，②由折叠知：∠ABE=∠FBE,AB=BF ∵四边形ABCD是平行四边形∴AE∥BF ∴∠AEB=∠FBE,∴∠AEB=∠ABE, ∴四边形ABFE是平行四边形, ∴四边形ABFE是菱形, (2)a=4,a=,a=,a=.(图同解析) 【点评】此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键． 15.如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn-1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（ ） 第1次折叠 第2次折叠 第3次折叠 第7题图 A. B. C. D. 【解析】先写出AD、AD1、AD2、AD3的长度，然后可发现规律推出ADn的表达式，继而根据APn=ADn即可得出APn的表达式，也可得出AP6的长． 【答案】 【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．难度中等. 16.右图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：= . 考点：数学归纳法，规律探索题 【解析】当时： 当时： 当时： 猜想：= 【点评】在求解规律探索问题时，常常通过特殊到一般，通过特殊值时的结论，总结一般的结论。 17.观察图形，解答问题： y x （1）按下表已填写的形式填写表中的空格： 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1(－1)2=－2 (－3)(－4)(－5)=－60 三个角上三个数的和 1＋(－1)＋2=2 (－3)＋(－4)＋(－5)=－12 积与和的商 －22=－1, （2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x． 【解析】⑴模仿图①中的第三格（三个角上三个数的积与三个角上三个数的和的商）图②的第三格：(－60)(－12)=5图③的第三格17010=17，模仿前面的得到图③的第一格（三个角上三个数的积）(－2)(―5)17=170第二格（三个角上三个数的和）(－2)＋(―5)＋17=10； （2）发现的规律是：中间的数 所以图④ 图⑤中： 解之得： 【答案】解: ⑴图②：(－60)(－12)=5 ……………………………………………1分 图③：(－2)(―5)17=170，………………………………………2分 (－2)＋(―5)＋17=10， ………………………………………3分 17010=17 . ………………………………………4分 ⑵图④：5(―8)(―9)=360……………………………………………5分 5＋(―8)＋(―9)=－17……………………………………………6分 y=360(－12)=－30.……………………………………………7分 图⑤：， ……………………………………………9分 解得 ……………………………………………10分 【点评】本题主要考查考生对所给图形的观察、理解和模仿能力，同时也考查了有理数的加减乘除运算能力。难度中等. 18.某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有 ▲ 种购买方案． 【答案】2。 【考点】二元一次方程（不定方程）的应用。 【分析】设甲种运动服买套，乙种买套钱都用尽，根据题意列出方程：20＋35＝365得＝，根据，必须为整数，化为＝。要使为整数，要被4整除。同时考虑到35≤365，即≤10，所以只能取3，7。故在钱都用尽的条件下，有2种购买方案：甲种运动服买13套，乙种买3套；甲种运动服买6套，乙种买7套。 19.两个全等的梯形纸片如图(1)摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图(2)．已知AD＝4，BC＝8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，则图(2)中平移距离A′A＝ ▲ . 【答案】3。 【考点】平移的性质，一元一次方程的应用（几何问题）。 【分析】设A′A＝x，则根据平移的性质，得A′D＝4＋x，B′C＝8＋x，AD′＝6－x，BC′＝8－x。 设梯形的高为a，四边形A′B′CD的面积为，阴影部分的面积为。 由阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，得，解得x＝3。 20.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30，∠B=90，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE= ▲ 米时，有DC2=AE2+BC2． 【答案】。 【考点】一元二次方程的应用，含30度角直角三角形的性质，勾股定理。 【分析】根据已知，∵坡角∠A=30，∠B=90，BC=6米，∴AC=12米。∵正方形DEFH的边长为2米，即DE=2米，设AE=，可得EC=12﹣，利用勾股定理得出DC2=DE2+EC2=4+（12﹣）2，AE2+BC2=2+36，∵DC2=AE2+BC2，∴4+（12﹣）2=2+36，解得：米。 21.（2011辽宁营口14分）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立． (1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)； (2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明) (1) (2) (3) 【答案】解：(1)①PE＝PB，②PE⊥PB。 (2) (1)中的结论成立。证明如下： ①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB。 又PC＝PC，∴△PDC≌△PBC（SAS）。∴PD＝PB。 ∵PE＝PD，∴PE＝PB。 ②由①△PDC≌△PBC，得∠PDC＝∠PBC。 又∵PE＝PD，∴∠PDE＝∠PED。∴∠PDE＋∠PDC＝∠PEC＋∠PBC＝180。 ∴∠EPB＝360－(∠PEC＋∠PBC＋∠DCB)＝90。∴PE⊥PB。 (3)画出图形，结论：①PE＝PB，②PE⊥PB。 【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，多边形内角和定理，三角形外角定理。 【分析】(1) ①由△PDC≌△PBC（SAS）和PE＝PD可得PE＝PB。 ②∠BPE＝∠BPC＋∠CPE＝∠DPC＋∠CPE（全等三角形对应角相等） ＝∠DPC＋∠DPC－∠DPE＝2∠DPC－∠DPE ＝2∠DPC－（1800－2∠PDE）（三角形内角和定理和等腰三角形底角相等） ＝2（∠DPC＋∠PDE）－1800 ＝2（1800－∠PCD）－1800（三角形内角和定理） ＝2（1800－450）－1800（正方形的性质）＝90。 ∴PE⊥PB。 （2）①由△PDC≌△PBC（SAS）和PE＝PD可得PE＝PB。 ②由四边形内角和为3600可证。 （3）①由△PDC≌△PBC（SAS）和PE＝PD可得PE＝PB。 ②∠BPE＝∠CPE－∠CPB＝（1800－450－∠CEP）－（450－∠CBP）＝90。∴PE⊥PB。 A C P D B E G F 22.已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为________. 解答：解：如图，分别延长AE、BF交于点H． ∵∠A=∠FPB=60， ∴AH∥PF， ∵∠B=∠EPA=60， ∴BH∥PE， ∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分． ∵G为EF的中点， ∴G也正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN． ∵CD=6﹣1﹣1=4， ∴MN=2，即G的移动路径长为2． 故答案为2． 23.探究：如图①，在ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE， ∠FAB=∠EAD=90，连接AC、EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明． 应用：以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连结EF、GH、IJ、KL．若ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为 ． 【答案】探究：△FAE≌△CDA，证明如下： 在平行四边形ABCD中，AB=CD，∠BAD+∠ADC=180。 等腰直角△ABF和等腰直角△ADE中，AF=AB，AE=AD，∠FAB=∠EAD=90， ∴∠FAE+∠BAD=180。∴∠FAE=∠ADC。∴△FAE≌△CDA（SAS） 应用：10。 【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质。 【分析】首先由SAS可证明△FAE≌△CDA，则阴影部分四个三角形的面积和是ABCD的面积的2倍，据此即可求解：四个三角形的面积和为25=10。 24.如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R。 （1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）。 （2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的 结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。 （3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的 数量关系？请直接写出你的猜想。 【答案】解：(2) 图2中结论PR＋PQ＝仍成立。证明如下： 连接BP, 过C点作CK⊥BD于点K。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90。 又∵CD=AB=3，BC=4 ∴BD＝。 ∵S△BCD＝BCCD＝BDCK，∴34＝5CK。∴CK=。 ∵S△BCE＝BECK，S△BEP＝PRBE，S△BCP ＝PQBC，且 S△BCE＝ S△BEP＋S△BCP， ∴BECK＝PRBE＋PQBC 。 又∵BE＝BC，∴CK＝PR＋PQ。∴CK＝PR＋PQ。 又∵CK＝，∴PR＋PQ＝ 。 (3) 图3中的结论是PR－PQ= 【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，等量代换。 【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。 （3）图3中的结论是PR－PQ= 。如图，同（2）有CK=。 ∵S△BCE＝BECK，S△BEP＝PRBE，S△BCP ＝PQBC， 且 S△BCE＝ S△BEP－S△BCP， ∴BECK＝PRBE－PQBC 。 又∵BE＝BC，∴CK＝PR－PQ。∴CK＝PR－PQ。 又∵CK＝，∴PR－PQ＝ 。 15.（2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西8分）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG且EG⊥CG． （1）将△BEF绕点B逆时针旋转90，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想． （2）将△BEF绕点B逆时针旋转180，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】解：（1） EG=CG，EG⊥CG。 （2）EG=CG，EG⊥CG。证明如下： 延长FE交DC延长线于M，连MG． ∵∠AEM=90，∠EBC=90，∠BCM=90， ∴四边形BEMC是矩形。∴BE=CM，∠EMC=90。 又∵BE=EF，∴EF=CM。 ∵∠EMC=90，FG=DG，∴MG= FD=FG。 ∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD。 ∵EF=CM，∴FM=DM。∴∠F=45。 又∵FG=DG，∠CMG= ∠EMC=45，∴∠F=∠GMC。 又∵FG=MG，∴△GFE≌△GMC（SAS）。∴EG=CG，∠FGE=∠MGC。 ∵∠FMC=90，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD。∴∠FGE+∠EGM=90。 ∴∠MGC+∠EGM=90。即∠EGC=90。∴EG⊥CG。 【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。 【分析】从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明。 25.如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 . 【答案】 26.等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。 已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意点D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC 求证： DE＋DF＝BH 证法一： 连接AD 则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2 而△ABC的面积＝BH*AC/2 所以：DE＋DF＝BH 即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高 证法二： 作DG⊥BH，垂足为G 因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC 所以四边形DGHF是矩形 所以GH＝DF 因为AB＝AC 所以∠EBD＝∠C 因为GD//AC 所以∠GDB＝∠C 所以∠EBD＝∠GDB 又因为BD＝BD 所以△BDE≌△DBG（ASA） 所以DE＝BG 所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH 证法三： 提示： 过B作直线DF的垂线，垂足为M 运用全等三角形同样可证 另外运用三角函数也能进行证明 如果D在BC或CB的延长线上，有下列结论：|DE－DF|＝BH 问题：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。 如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的 如图，已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC三边AB\AC\BC(或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，三角形ABC的高为h。 解答提示： 如图，过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H，作HQ⊥AG 先证明PD＋PE＝HQ （见：） 而HQ＝AN，FP＝MN 所以PD＋PE－PF ＝AN－PF ＝AM＋MN－PF ＝AM 即h1＋h2－h3＝h 另外一个变式问题： 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F。 （1）当∠A＝30时，求证：PE+PF＝BC （2）当∠A≠30（∠A＜∠ABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明：如果不正确，请说明理由。 腰长5厘米 底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe= 解： 作底边BC上的高AM，设腰上的高＝h，连接PA 因为AB＝AC＝5，BC＝6 所以BM＝CM＝3 所以根据勾股定理得AM＝4 因为S△ABC＝BC*AM/2＝AB*h/2＝12 所以h＝24/5 因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP ＝AB*PD/2＋AC*PE/2 所以5*PD/2＋5*PE/2＝12 所以PD＋PE＝24/5 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。 解： 设AC、BD交于O，作AE⊥BD，PM⊥AC，PN⊥BD，连接OP 因为AB＝8，BC＝AD＝15 所以根据勾股定理得BD＝17 因为S△ABC＝AB*AD/2＝AE*BD/2 所以可得AE＝120/17 因为四边形ABCD是矩形 所以OA＝OD 因为S△OAD＝S△OPA＋S△OPD ＝OA*PM/2＋OD*PN/2 ＝（PM＋PN）*OD/2 S△OAD＝AE*OD/2