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1、.求值域方法& 常用求值域方法(1)、直接观察法:利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例1、求函数的值域。例2、 求函数的值域。【同步练习1】函数的值域. (2)、配方法:二次函数或可转化为形如类的函数的值域问题,均可用配方法,而后一情况要注意的范围;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例1、求函数的值域。例2、求函数的值域。例3、求。(配方法、换元法)例4、设,求函数的值域例5、求函数的值域。(配方法、换元法)例6、求函数的值域。(配方法)【同步练习2】1、求二次函数()
2、的值域. 2、求函数的值域. 3、求函数的最大值与最小值. 4、求函数的最大值和最小值. 5、已知,求函数的值域. 6、若,试求的最大值。(3)、换元法:(三角换元法)有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题方向,这就是换元法在求值域时,我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域例1、求的值域 【同步练习3】求函数的值域。例2、求函数的值域。【同步练习4】求函数的值域。【同步练习5】1、求函数的值域. 2、求函数的值域。3、已知函数的值域为,求函数
3、的值域. (4)、函数有界性法(方程法)直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。例1、求函数的值域。 例2、求函数的值域。【同步练习6】求函数,的值域.(5)、数形结合法(函数的图像):对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题,我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况,再有的放矢地通过函数解析式求函数最值,确定函数值域,用数形结合法,使运算过程大大简化其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。例1、 求
4、函数的值域 例2、 求函数的值域. 例3、求函数的值域.例4、求函数的值域.【同步练习7】1、求函数的值域. 2、求函数的值域. 3、求函数的值域.4、求函数的最大值. (6)均值不等式法:利用基本关系两个正数的均值不等式在应用时要注意“一正二定三相等”;利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例1、求函数的值域例3、 求函数的值域. (7)、根判别式法:对于形如(,不同时为)的函数常采用此法,就是把函数转化成关于的一元二次方程(二次项系数不为时),通过方程有实数根,从而根的判别式大于等于零,求得
5、原函数的值域对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:例1、求函数的值域 例2、求函数的值域.【同步练习8】1、求函数的值域. 2、求函数的值域. 3、函数的定义域为,值域为,求的值.4、设函数 的值域为 ,求a,b . 5、已知函数y=f(x)= 的值域为1,3,求实数b,c的值. (8)、分离常数法:对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题,因为分子分母都有变量,利用函数单调性确定其值域较困难,因此,我们可以采用凑配分子的方法,把函数分离成一个常数和一个分式和的形式,而此时的分式,只有分母上含有变量,进而可利用函数性质确定其值
6、域例1、求函数的值域例2、求的值域.(9)、倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况例1、求函数的值域.多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。【例题综合分析】例1、求下列函数的值域:(1); (2); (3);(4); (5); (6);(7); (8); (9)解:(1)法一:公式法(略)法二:(配方法),的值域为【拓展】求函数,的值域解:(利用函数的单调性)函数在上单调增,当时,原函数有最小值为;当时,原函数有最大值为函
7、数,的值域为(2)求复合函数的值域:设(),则原函数可化为又,故,的值域为(3)(法一)反函数法:的反函数为,其定义域为,原函数的值域为(法二)分离变量法:,函数的值域为(4)换元法(代数换元法):设,则,原函数可化为,原函数值域为说明:总结型值域,变形:或(5)三角换元法:,设,则,原函数的值域为(6)数形结合法:,函数值域为(7)判别式法:恒成立,函数的定义域为由得: 当即时,即,当即时,时方程恒有实根,且,原函数的值域为(8),当且仅当时,即时等号成立,原函数的值域为(9)(法一)方程法(函数有界性):原函数可化为:,(其中),原函数的值域为(法二)数形结合法:可看作求点与圆上的点的连线
8、的斜率的范围,解略例2、若关于的方程有实数根,求实数的取值范围(综合)解:原方程可化为,令,则,又在区间上是减函数,即,故实数的取值范围为:例3、 求函数的值域。(换元法、不等式法)解:令,则(1)当时,当且仅当t=1,即时取等号,所以(2)当t=0时,y=0。综上所述,函数的值域为:注:先换元,后用不等式法【拓展练习】(共11题,附答案)一、选择题1、下列函数中,值域是(0,+)的函数是A B C D2、已知(是常数),在上有最大值3,那么在上的最小值是A B C D 3、已知函数在区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是A、 1,+) B、0,2 C、(-,2 D、1,24、(0
9、4年天津卷.文6理5)若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a= A. B. C. D. 5、(04年湖北卷.理7)函数上的最大值与最小值之和为a,则a的值为(A) (B) (C)2 (D)46、若,则的最小值是_的最大值是_7、已知函数的值域为R,则实数的取值范围是_8、下列函数的值域分别为:(1) (2) (3) (4) .(1) (2) (3) (4)9、已知函数的值域为,求实数的值。10、已知二次函数满足条件:且方程 有等根, 求的解析式; 是否存在实数,使得的定义域为,值域为。11、已知函数(1) 当时,求函数的最小值 ;(2) 若对任意,恒成立,试求实数的取值范围。答案:同步练习
10、 g3.1011函数的最值与值域15、DDDAB 6、;7、0,1 8(1)(-1,1) (2) (3)R (4) 9、 10(1) (2) 9(1) (3)1、函数的值域为(分离常数法)2、若函数在上的最大值与最小值之差为2,则(函数单调性法)【拓展练习】()一、选择题1、函数y=x2+ (x)的值域是( )(函数单调性法)A.(,B.,+C.,+D.(,2、函数y=x+的值域是( )(换元法)(配方法)A.(,1B.(,1C.RD.1,+1、函数f(x)ax+loga(x+1)在0,1上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( )()A. B. C.2 D.42、函数ylog2x+logx(
11、2x)的值域是( ) ()A.(-,-1 B.3,+) C.-1,3 D.(-,-13,+)3、已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)x2+3x+2.若当x1,3时,nf(x)m恒成立,则m-n的最小值为( )A. B.2 C. D.4、把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A. cm2 B.4 cm2 C. cm2 D. cm25、在区间1.5,3上,函数f(x)x2+bx+c与函数同时取到相同的最小值,则函数f(x)在区间1.5,3上的最大值为( )A.8 B.6 C.5 D.46、若方程x2+ax+b0有不小于2的实根,则a
12、2+b2的最小值为( )A.3 B. C. D.7、函数的最小值为( )A.190 B.171 C.90 D.458、设a1,函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为,则a等于( )A. B.2 C. D.49、设a、bR,a2+2b26,则a+b的最小值是( )A. B. C.-3 D.10、若动点(x,y)在曲线(b0)上变化,则x2+2y的最大值为( )A. B. C. D.2b11、设a,bR,记maxa,b函数f(x)max|x+1|,|x-2|(xR)的最小值是_.12、规定记号“”表示一种运算,即,a、bR+.若1k3,则函数f(x)kx的值域是_.13、已知
13、函数f(x)2+log3x,x1,9,则函数yf(x)2+f(x2)的值域为_.14、若变量x和y满足条件则z2x+y的最小值为_;的取值范围是_.15、求下列函数的值域:()(1)yx2-4x+6,x1,5);(2);(3).16、(2009山东烟台高三模块检测,20)设函数(a,bR),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;(2)若g(x)在区间-1,3上是单调递减函数,求a2+b2的最小值.【答案】1、解析:f(x)ax+loga(x+1)是单调递增(减)函数原因是yax与yloga(x+1)单调性相同,
14、且在0,1上的最值分别在两端点处取得,最值之和为f(0)+f(1)a0+loga1+a+loga2a,loga2+10. 答案:B2、解析:ylog2x+logx(2x).,(-,-13,+).故选D.3、解析:设x0,则-x0,f(x)-f(-x)-(-x)2+3(-x)+2-x2+3x-2.在1,3上,当时f(x)max,当x3时f(x)min-2.m且n-2.故m-n. 答案:A4、解析:设其中一段长为3x,则另一段为12-3x,则所折成的正三角形的边长分别为x,4-x,它们的面积分别为,则它们的面积之和为,可见当x2时,两个正三角形面积之和的最小值为 cm2. 答案:D5、解析:,当且
15、仅当x2时,g(x)min3,f(x)(x-2)2+3.在区间1.5,3上,f(x)maxf(3)4.故选D.6、解析:将方程x2+ax+b0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x20的方程,则a2+b2的几何意义为l上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d的最小性知a2+b2d2(x2),令ux2+1,易知(u5)在5,+)上单调递增,则f(u)f(5),a2+b2的最小值为.故选B.7、解析:f(x)|x-1|+|x-2|+|x-9|+|x-10|+|x-11|+|x-18|+|x-19|,由|a-b|a|+|b|(当且仅当ab0时取等号),得|x-1|+|
16、x-19|x-1-x+19|18,|x-2|+|x-18|x-2-x+18|16,|x-9|+|x-11|x-9-x+11|2,|x-10|0.上面各式当x10时同时取等号,f(x)最小值为18+16+2+0. 答案:C8、解:由a1知f(x)为增函数,所以loga2a-logaa,即loga2,解得a4.所以选D.9、解析:,故令,.a+b的最小值为-3. 答案:C10、解析:令x2cos,ybsin,则x2+2y4cos2+2bsin-4sin2+2bsin+4-4()2+4+;当1即0b4时,x2+2y取最大值,此时;当即b4时,x2+2y的最大值为2b,此时sin1.故选A.11、解析
17、:如右图所示,函数ymax|x+1|,|x-2|的图象为图中实线部分,max|x+1|,|x-2|的最小值为. 答案:12、解析:由题意,解得k1,.而在0,+)上递增,f(x)1. 答案:1,+)13、解析:f(x)2+log3x,x1,9,yf(x)2+f(x2)的定义域为解得1x3,即定义域为1,3.0log3x1.又yf(x)2+f(x2)(2+log3x)2+2+log3x2(log3x)2+6log3x+6(log3x+3)2-3,0log3x1,6y13.故函数的值域为6,13. 答案:6,1314、解析:如图作出可行域,易知将直线DE:2x+y0平移至点A(2,1)时目标函数z
18、2x+y取得最小值,即zmin22+15,表示可行域内点与原点连线的斜率,由图形知,直线从GH绕原点逆时针方向转动到AB位置,斜率变得越来越大,故-1kGHkAB. 答案:5 (-1,15、解:(1)yx2-4x+6(x-2)2+2,x1,5),由图象知函数的值域为y|2y11.(2) .0,y.函数的值域为yR|y.(3)令,则xt2+1(t0),y2(t2+1)-t2t2-t+22()2+.t0,y.函数的值域是,+).16、解:(1)根据导数的几何意义知f(x)g(x)x2+ax-b,由已知-2、4是方程x2+ax-b0的两个实数,由韦达定理,f(x)x2-2x-8.(2)g(x)在区间
19、-1,3上是单调减函数,在-1,3区间上恒有f(x)g(x)x2+ax-b0,即f(x)x2+ax-b0在-1,3上恒成立,这只需满足即可,也即而a2+b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近,当时,a2+b2有最小值13.【拓展练习】1、函数的值域是( )()A-1,1B-1,1)C(-1,1D(-1,1)2、若函数的定义域和值域都是,则的值为( )()A3B4C5D63、已知定义在闭区间0,a上的函数y=x2-2x+3,若y的最大值是3,最小值是2,则a的取值范围是 . ()5、函数y=x2-2x+a在0,3上的最小值是4,则a= ;若最大值是4,则a= .
20、6、已知函数的值域分别是集合P、Q,则( )()(根判别法)ApQBP=QCPQD以上答案都不对7、函数的值域是( )()(配方法)A0,2B1,2C2,2D,8、若函数的定义域是( )A B C D3,+9、求下列函数的值域: y=|x+5|+|x-6| 10、设函数. ()若定义域限制为0,3,求的值域; ()若定义域限制为时,的值域为,求a的值.11、若函数的值域为2,2,求a的值.一、选择题1若函数y2x的定义域是P1,2,3,则该函数的值域是()A2,4,6 B2,4,8C1,2,log32 D1,2,log232定义在R上的函数yf(x)的值域为a,b,则yf(x1)的值域为()A
21、a,b Ba1,b1Ca1,b1 D无法确定3函数y(x0)的值域是()A(0,) B(0,)C(0, D,)4函数yx22x3在区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是()A1,) B0,2C(,2 D1,25若函数yf(x)的值域是,3,则函数F(x)f(x)的值域是()A,3 B2,C, D3,6(2009海南/宁夏高考)用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值设f(x)min2x,x2,10x(x0),则f(x)的最大值为()A4 B5C6 D7二、填空题(每小题5分,共20分)7函数y的值域是y|y0或y4,则此函数的定义域为_8已知f(x)的值域是,g(x)f(x
22、),则yg(x)的值域是_9函数f(x)2的最小值为_10(2009泉州质检)在实数的运算法则中,我们补充定义一种新运算“”如下:当ab时,aba;当a0)得0y,因此该函数的值域是(0,选C.4、解析:x1时,y取最小值2;令y3,得x0或x2.故1m2. 答案:D5、解析:令tf(x),则t,3,F(t)t,根据其图象可知:当t1时,F(x)minF(t)minF(1)2;当t3时,F(x)maxF(t)maxF(3),故其值域为2, 答案:B6、解析:令2xx2x10(舍)或x22,令2x10x即2xx10,则2x3.则可知f(x)的大致图象如图2所示故f(x)6,即选C.答案:C7、解
23、析:y2,即2或2,由2x3,由23x. 答案:,3)(3,8、解析:f(x),则2f(x),12f(x),令t,则f(x),g(x)t,即g(x),对称轴t1,g(x)在t,上单调递增,g(x),答案:,9、解析:由x4或x0.又x4,)时,f(x)单调递增f(x)f(4)12;而x(,0时,f(x)单调递减f(x)f(0)044.故最小值为12. 答案:1210、解析: 【拓展练习】一、选择题1.函数yx22x的定义域为0,1,2,3,那么其值域为 ()A.1,0,3 B.0,1,2,3C.y|1y3 D.y|0y32.若函数f(x)(a22a3)x2(a3)x1的定义域和值域都为R,则a
24、的取值范围是()A.a1或a3 B.a1 C.a3 D.a不存在3.已知函数f(x)lg(4x)的定义域为M,g(x)的定义域为N,则MN()A.M B.N C.x|2x4 D.x|2x0x|x4,Nx|0.5x40x|x2,则MNN. 答案:B4、解析:要使y有意义,只要所以所求定义域为4,0)(0,1. 答案:D5、解析:令f(x)t,t,3,问题转化为求函数yt在,3的值域.又y1,当t,1,y0,yt为减函数, 在1,3,y0,yt在1,3上为增函数,故t1时ymin2,t3时y为最大.yt,t,3的值域为2,. 答案:B6、解析:1f(x)3,1f(x3)3,62f(x3)2,5F(
25、x)1. 答案:A7、解析:由即1x0,0x2.函数的定义域为(0,2).又当x(0,2)时,x22x(0,1,log2(x22x)(,0.即函数的值域为(,0.(3)函数定义域为0,1,2,3,4,5,函数值域为2,3,4,5,6,7.一、函数的概念与表示 1、映射(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:AB。注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素 定
26、义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据:(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数必须大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;三、函数的值域1求函数值域的方法直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且 R的分式;分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图)
27、;单调性法:利用函数的单调性求值域;图象法:二次函数必画草图求其值域;利用对号函数几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数四函数的奇偶性1定义: 设y=f(x),xA,如果对于任意 A,都有 ,则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意 A,都有 ,则称y=f(x)为奇函数。2.性质:y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇两函数的定义域D1 ,D2,D1D2要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称
28、看f(x)与f(-x)的关系五、函数的单调性1、函数单调性的定义:2 设 是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则 在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则 在M上是增函数。 例说函数奇偶性的几种判断方法在函数奇偶性概念的学习中,应多方面、多角度地思考概念的内涵,要掌握函数奇偶性定义的等价形式,注重寻求简捷的解题方法,函数奇偶性的定义是:如果对于函数定义域内任意一个x,都有(或),那么函数就叫做奇函数(或偶函数)。函数奇偶性的定义反映在定义域上:若是奇函数或偶函数,则对于定义域D上的任意一个x,都有,即定义域是关于原点对称的。函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。
29、下面给出函数奇偶性判断的其他等价形式,寻求比较简便的判别方法。1. 相加判别法对于函数定义域内的任意一个x,若,则是奇函数;若,则是偶函数。例1 判断函数的奇偶性。解法1:利用定义判断,由,可知是奇函数。解法2:由xR,知。因为,所以是奇函数。2. 相减判别法对于函数定义域内任意一个x,若,则是奇函数;若,则是偶函数。例2 判断函数的奇偶性。解:由xR,知。因为,所以是偶函数。3. 相乘判别法对于函数定义域内任意一个x,若,则是奇函数;若,则是偶函数。例3 证明函数是偶函数。证明:由xR,知。因为,所以是偶函数。4. 相除判别法对于函数定义域内任意一个x,设,若,则是奇函数;若,则是偶函数。例4 证明函数是奇函数。证明:由,知且,所以定义域关于原点对称。因为,所以是奇函数。点评:上述各例,若用定义判定,则困难程度可想而知。用等价定义判断解析式较为复杂的函数的奇偶性时,方便快捷,可化繁为简,会使大家感到思路清晰,目标明确,思维视野大为开阔,值得同学们注意。练一练:已知是定义在R上的函数,且对任意的xR,都有,。若,则_。答案:1(提示:由,所以其中等号均成立,。由得,从而有)
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