2022年高等代数各大名校研究生入学考试试题-.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 目 录njdx 南京高校 2007 sdsfdx 首都师范高校 2001,2002,2003,2004 whdx武汉高校 2002,2003,2004,2005,2006 zgkxy 中国科学院 1996,1997,2003 zjdx 浙江高校 2003,2005,2006 zqdx 重庆高校 2002,2003,2004,2005,2006 zsdx 中山高校 1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,2004,2005, 2006,2007,20221,20222,20221,20222,20223 名
2、师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 南京高校20XX年1判定题1 设 Q 是有理数域,就 P i | , Q 也是数域,其中 i 1;2 设 f x 是数域 P 上的多项式,a P,假如 a 是 f x 的三阶导数 f x 的k 重根 k 1 ,并且 f a 0,就 a是 f x 的 k 3 重根;3 设 f x x 4 4 x 3,就 f x 在有理数域上不行约;4 设 f x , g x 都是整系数多项式,h x 是有理系数多项式并且它们满意f x g x h x ,就 h x 也是整系数多项式;5 n n 2 级
3、方阵 A 可逆当且仅当 A 的相伴矩阵 A 可逆;6 设 1 , 2 , , r 于 1 , 2 , , s 为两个 n 维向量组,如 1 , 2 , , r 可由1 , 2 , , s 线性表出且 r s,就 1 , 2 , , r 线性无关;7 任意一个可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵;8 设Aaij为正定矩阵,就在 A 的全部元素中,肯定值最大者必在A 的主对角线上;9 设 V 1,V 2 是数域 P 上有限维线性空间 V 的子空间,并且维 V 1 维 V 2 维 V ,就 V V 1 V 2;10 设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换,1 , 2 , , n 是 V 的一组
4、基,如果 A 是单射,就 A 1 , A 2 , , A n 也是 V 的一组基;2填空题名师归纳总结 为1 设fx13254108, 就fx中x3的 系 数第 2 页,共 48 页x 0x200072x340985x4;,常数项等于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 121x 1名师归纳总结 2 设实二次型fx 1,x2,x3x1x2x3000x2,就fx 1,x 2,x 3的第 3 页,共 48 页323x3矩阵为,符号差为;3 实二次型fx 1,x 2,x 352 x 1x222 x 34x 1x 22x 1x 32x 2x 3是正定2二次型当且仅
5、当满意条件;4 设 4 级数字矩阵A 的最小多项式为5 3,就 A 的全部不变因子为, A 的特点多项式为;5 设 5 级数字矩阵A 的特点多项式为122 3,最小多项式为1 2 2,就 A 的全部行列式因子为, A的全部初等因子为;2016 设三维欧几里得空间V 中一组基1,2,3的度量矩阵为040,101且2123,就的长度|;3设向量组12,1 , ,0 4 ,2 ,5 ,0 1,3 ,3,3,1 4 ,2 ,4,2 4 ,5 9 ,5 ,3,17,11 求向量组1,2,3,4,5的秩;2 求向量组1,2,3,4,5的一个极大线性无关组;3 求向量组1,2,3,4,5中其余向量表为极大线
6、性无关组的线性组合;1124设A013,把 A 分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积;2215设 n 为正整数,f1x ,f2x ,fnx都是多项式,并且xnxn1x2x1|f1xn1xf2xn1xn1fnxn1证明x1n|f1x f2xfnx ;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6设 A 为 n 级可逆矩阵,U ,V为nm矩阵,E 是 m 级单位矩阵,如秩 VA1 UEmm,就秩AUVn,其中 V 表示 V 的转置;|A7设 A 是 n 级正定矩阵,B 是 n 级实矩阵并且0 不是 B 的特点值,证明BB|A|;8设 A 是三级正交矩阵并且| A
7、|1,求证1 1是 A 的一个特点值;2 A 的特点多项式f可表示为f3a2a1,其中 a 是某个实数;3 如 A 的特点值全为实数并且|AE|0,就 A 的转置AA23A3E,其中 E 是 3 级单位矩阵;名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 首都师范高校20XX年1运算行列式1 c 1 b 1 c 1 b 2 c 1 b nc 2 b 1 1 c 2 b 2 c 2 b nc n b 1 c n b 1 1 c n b n2假如 f 1 x , f 2 x , f 3 x 是数域 F 上线性空间 F x 中三个互素
8、的多项式,但其中任意两个都不互素,证明 f 1 x , f 2 x , f 3 x 线性无关;3证明线性方程组a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n对任何 b 1 , b 2 , , b n 都有解的充分必要条件是系数行列式a 11 a 12 a 1 na 21 a 22 a 2 n| A | 0a n 1 a n 2 a nn4设 A, B 为 n 阶实对称矩阵,A 的全部特点值都小于 a , B 的全部特点值都小于 b ,就矩阵 A B 的全
9、部特点值小于 a b;5证明 n 维线性空间 V 中的线性变换 可逆的充分必要条件是 把 V 的一组基仍变为一组基;6设 A 是数域 F 上 n 阶矩阵, I 是 n 阶单位矩阵,A2I,V 和V 分别是线性方程组IAX0和IA X0的解空间, 就FnV 1V 2,其中Fn是所有 n 维列向量所成的向量空间;7设 4 阶实对称矩阵 A 的特点值是3 1,1,1,已知属于特点值1 的特点向量是名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11111 0,20,30,101 求属于特点值的特点向量0014;2 求矩阵 A ;8设为
10、一复数,且是数域F 上非零多项式gx的根,令fx ,且px在WfxFx|f0 证明在 W 中存在多项式px,使得对任一fxW,都有px|数域 F 上不行约;20XX年1设 p x 为数域 F 上的次数大于零的多项式, 证明假如 p x 对任意多项式f x ,都有 p x | f x 或 p x , f x 1,就 p x 必为 F 上的不行约多项式;0 0 02设 V 是数域 F 上全体 3 3 矩阵所作成的线性空间,A 0 0 1,令0 0 0W B V | AB 0 ;1 证明 W 是 V 的一个子空间;2 求W ;3 求W 的维数和一组基;名师归纳总结 3设 V 是数域 F 上全体 n
11、阶方阵所作成的线性空间,C 为 V 中一矩阵,定第 6 页,共 48 页义 V 的变换:ACAAC;证明1 是V 的一个线性变换;2 对V 中任意的A,B都有ABA BAB;a204设矩阵Ab12的三个特点值为4 1, ,2,求a ,b ,c;c20- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5设1,2,n是线性无关的 n 元列向量, P 为 n 阶方阵,试给出向量组P 1 , P 2 , , P n 线性无关的充分必要条件,并证明你的结论;6设 A, B 都是 n 阶实数对称矩阵, 证明存在正交矩阵 P ,使得 P 1 AP B 的充分必要条件是 A 与 B
12、有相同的特点多项式;7线性变换 称为幂等的,假如 2;设 与 都是线性空间 V 的幂等线性变换,证明 是幂等变换的充分必要条件是 0 ;8设 V 是复数域上的有限线性空间,是 V 的线性变换,假如对 V 的任意不变子空间 U 即 U U ,存在 V 的 不变子空间 W 满意 V U W,就称是完全可约的,证明 是完全可约的当且仅当 V 有由特点向量组成的基;20XX年1用fx,gx 表示数域 F 上多项式fx 和gx的首项系数为 1 的最大公因式,证明fx,gxfx2gx,fxgx1在实数域上分解2表达实系数多项式的因式分解定理,并将多项式x10为不行约多项式的乘积;名师归纳总结 3设 F 是
13、数域,已知矩阵AFnr的列向量是一齐次线性方程组的基础解第 7 页,共 48 页系,证明矩阵CFnr的列向量也是该齐次线性方程组的基础解系的充要条件为存在可逆矩阵BFnr使得CAB;4设是数域 F 上的 n 维线性空间 V 的线性变换,与分别是的属于特点值1与2的特点向量,而且12,试证1 ,线性无关;2 不行能是的特点向量;5设数域 F 上的 n 维线性空间VW 1W 2,就任一xV可表为xx 1x 2,其中xiW ii,12 ,我们把变换x :xx 1称为在W 上的投影变换,试证- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 投影变换是线性变换;2 V 的线
14、性变换n1是投影变换的充要条件是在V 的任何基下的矩阵A满意A2A;xn1a 1xa 0Fx 是数域 F 上的不行约多项式,6设fx xna是fx的一复数根;|gxFx是 F 上 n 维线性空间,且,1,n 是一1 证明Fg基;2 定义F的线性变换n:,求n在上述基下对应的矩阵A ,n 阶并求行列式|A n|;7设 A 与 B 是两个 n 阶实对称矩阵,且A 是正定矩阵,试证存在一个实可逆矩阵 T ,使TAT及TBT都是对角矩阵;,r8设1,2,r与1,2,s是线性空间 V 中两组向量,且1,2,r线性无关,iaijj i12 ,s ,求证j11 向量组1,2,s的秩等于矩阵A aij的秩;2
15、 sr时,1,2,s线性无关的充要条件为| A|0;20XX年名师归纳总结 1给定有理数域 Q 上的多项式fxx33 x23;Q 1;第 8 页,共 48 页1 证明fx为 Q 上的不行约多项式;2 设是fx在复数域 C 内的一个根,定义Q a0a 1a22|a 0,a 1,a2证明对于任意的gx Qx,有gQ ;3 证明如Q且0,就存在Q ,使得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2令F22表示数域 F 上全体22矩阵组成的线性空间,P11,定义121 证明是FXPX,XF220,E 2200下 的 矩22上的线性变换;2 求E 1110,E 1201
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