2014挑战中考数学压轴题第七版精选.doc
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1、第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2013年上海市中考第24题如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线yax2bx(a0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AOBO2,AOB120(1)求这条抛物线的表达式;(2)连结OM,求AOM的大小;(3)如果点C在x轴上,且ABC与AOM相似,求点C的坐标图1 思路点拨1第(2)题把求AOM的大小,转化为求BOM的大小2因为BOMABO30,因此点C在点B的右侧时,恰好有ABCAOM3根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论ABC与AOM相似满分解答(1)如图2,过点A作AHy轴,垂足为H在RtAOH中,
2、AO2,AOH30,所以AH1,OH所以A因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点,设yax(x2),代入点A,可得 图2所以抛物线的表达式为(2)由,得抛物线的顶点M的坐标为所以所以BOM30所以AOM150(3)由A、B(2,0)、M,得,所以ABO30,因此当点C在点B右侧时,ABCAOM150ABC与AOM相似,存在两种情况:如图3,当时,此时C(4,0)如图4,当时,此时C(8,0) 图3 图4考点伸展在本题情境下,如果ABC与BOM相似,求点C的坐标如图5,因为BOM是30底角的等腰三角形,ABO30,因此ABC也是底角为30的等腰三角形,ABAC,根据对称性,点C的坐标为(4,0
3、)图5例2 2012年苏州市中考第29题如图1,已知抛物线(b是实数且b2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C(1)点B的坐标为_,点C的坐标为_(用含b的代数式表示);(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由图1思路点拨1第(2)题中,等腰直角三角形PB
4、C暗示了点P到两坐标轴的距离相等2联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b的式子表示3第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上满分解答(1)B的坐标为(b, 0),点C的坐标为(0, )(2)如图2,过点P作PDx轴,PEy轴,垂足分别为D、E,那么PDBPEC因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3,联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b解得所以点P的坐标为()图2 图3(3)由,得A(1, 0),OA1如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么OQCQOA当,即时,BQA
5、QOA所以解得所以符合题意的点Q为()如图5,以OC为直径的圆与直线x1交于点Q,那么OQC90。因此OCQQOA当时,BQAQOA此时OQB90所以C、Q、B三点共线因此,即解得此时Q(1,4)图4 图5考点伸展第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而QOA与QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样,先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中,圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB4OC矛盾例3 2012年黄冈市中考模拟第
6、25题如图1,已知抛物线的方程C1: (m0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;(2)在(1)的条件下,求BCE的面积;(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BHEH最小,求出点H的坐标;(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由图1思路点拨1第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当H落在线段EC上时,BHEH最小2第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线BF,作CBFEBC45,或者作BF/EC再用含m的式子表示点F的
7、坐标然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于m的方程满分解答(1)将M(2, 2)代入,得解得m4(2)当m4时,所以C(4, 0),E(0, 2)所以SBCE(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x1,当H落在线段EC上时,BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P,那么因此解得所以点H的坐标为(4)如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FFx轴于F由于BCEFBC,所以当,即时,BCEFBC设点F的坐标为,由,得解得xm2所以F(m2, 0)由,得所以由,得整理,得016此方程无解图2 图3 图4如图4,作CBF45交抛物线于F,过点F作FFx轴于F,由于EBCCBF,所以,即时,BCEB
8、FC在RtBFF中,由FFBF,得解得x2m所以F所以BF2m2,由,得解得综合、,符合题意的m为考点伸展第(4)题也可以这样求BF的长:在求得点F、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长例4 2010年义乌市中考第24题如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3)(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2
9、)用含S的代数式表示x2x1,并求出当S=36时点A1的坐标;(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由 图1 图2思路点拨1第(2)题用含S的代数式表示x2x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2y1
10、3通过代数变形就可以了2第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证3第(3)题的示意图,不变的关系是:直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方满分解答(1)抛物线的对称轴为直线,解析式为,顶点为M(1,)(2) 梯形O1A1B1C1的面积,由此得到由于,所以整理,得因此得到当S=36时, 解得 此时点A1的坐标为(6,3)(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交
11、于点F,那么要探求相似的GAF与GQE,有一个公共角G在GEQ中,GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值在GAF中,GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能,GQEGAF这时GAFGQEPQD由于,所以解得 图3 图4考点伸展第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3例5 2009年临沂市中考第26题如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,2)三点(1)求此抛物线的解析式;(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PMx轴,
12、垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似?若存在,请求出符合条件的 点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得DCA的面积最大,求出点D的坐标,图1思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便2数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA满分解答 (1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为,代入点C的 坐标(0,2),解得所以抛物线的解析式为(2)设点P的
13、坐标为如图2,当点P在x轴上方时,1x4,如果,那么解得不合题意如果,那么解得此时点P的坐标为(2,1)如图3,当点P在点A的右侧时,x4,解方程,得此时点P的坐标为解方程,得不合题意如图4,当点P在点B的左侧时,x1,解方程,得此时点P的坐标为解方程,得此时点P与点O重合,不合题意综上所述,符合条件的 点P的坐标为(2,1)或或 图2 图3 图4(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m,那么点D的坐标为,点E的坐标为所以因此当时,DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1) 图5 图6考点伸展第(3)题也可以这样解:如图6,过D点构造矩形OAMN,那么D
14、CA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积设点D的横坐标为(m,n),那么由于,所以例6 2008年苏州市中考第29题图1思路点拨1求等腰直角三角形OAB斜边上的高OH,解直角三角形POH求k、b的值2以DN为边画正方形及对角线,可以体验到,正方形的顶点和对角线的交点中,有符合题意的点E,写出点E的坐标,代入抛物线的解析式就可以求出a3当E在x轴上方时,GNP45,POBPGN,把转化为4当E在x轴下方时,通过估算得到大于10满分解答(1),(2)由抛物线的解析式,得点M的坐标为,点N的坐标为因此MN的中点D的坐标为(2,0),DN3因为AOB是等腰直角三角形,如果DNE与A
15、OB相似,那么DNE也是等腰直角三角形如图2,如果DN为直角边,那么点E的坐标为E1(2,3)或E2(2,3)将E1(2,3)代入,求得此时抛物线的解析式为将E2(2,3)代入,求得此时抛物线的解析式为如果DN为斜边,那么点E的坐标为E3或E4将E3代入,求得此时抛物线的解析式为将E4代入,求得此时抛物线的解析式为 图2 图3对于点E为E1(2,3)和E3,直线NE是相同的,ENP45又OBP45,PP,所以POBPGN因此对于点E为E2(2,3)和E4,直线NE是相同的此时点G在直线的右侧,又,所以考点伸展在本题情景下,怎样计算PB的长?如图3,作AFAB交OP于F,那么OBCOAF,OFO
16、C,PF,PA,所以1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1,在RtABC中,A90,AB6,AC8,点D为边BC的中点,DEBC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且PDQ90(1)求ED、EC的长;(2)若BP2,求CQ的长;(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若PDF为等腰三角形,求BP的长图1 备用图思路点拨1第(2)题BP2分两种情况2解第(2)题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系3第(3)题探求等腰三角形PDF时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形CDQ满分解答(1)在RtA
17、BC中, AB6,AC8,所以BC10在RtCDE中,CD5,所以,(2)如图2,过点D作DMAB,DNAC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是ABC的两条中位线,DM4,DN3由PDQ90,MDN90,可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以,图2 图3 图4如图3,当BP2,P在BM上时,PM1此时所以如图4,当BP2,P在MB的延长线上时,PM5此时所以(3)如图5,如图2,在RtPDQ中,在RtABC中,所以QPDC由PDQ90,CDE90,可得PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF是等腰三角形时,CDQ也是等腰三角形如图5,当CQCD5时,QNCQCN541(如图3所示)此时所以如图6
18、,当QCQD时,由,可得所以QNCNCQ(如图2所示)此时所以不存在DPDF的情况这是因为DFPDQPDPQ(如图5,图6所示)图5 图6考点伸展如图6,当CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到BDP也是等腰三角形,PBPD在BDP中可以直接求解例2 2012年扬州市中考第27题如图1,抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当PAC的周长最小时,求点P的坐标;(3)在直线l上是否存在点M,使MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请
19、说明理由图1 思路点拨1第(2)题是典型的“牛喝水”问题,点P在线段BC上时PAC的周长最小2第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点,设ya(x1)(x3),代入点C(0 ,3),得3a3解得a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x1当点P落在线段BC上时,PAPC最小,PAC的周长最小设抛物线的对称轴与x轴的交点为H由,BOCO,得PHBH2所以点P的坐标为(1, 2)图2(3)点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考点伸展第(3)题的解题过程是这
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