初中数学课件 关于中点的联想.doc
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1、专题 22 关于中点的联想阅读与思考线段的中点把线段分成相等的两部分,图形中出现中点,可以引起我们丰富的联想:首先它和三角形的中线紧密联系;若中点是在直角三角形的斜边上,又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论;其次,中点又与中位线息息相关;另外,中点还可以与中心对称相连解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线,如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等,如图所示: 例题与求解【例1】如图,ABC边长分别为AB14,BC16,AC26,P为A的平分线AD上一点,且BPAD,M为BC的中点,则PM的值为_ (安徽省竞赛试题) 解题思路:A的平分线与BP边
2、上的垂线互相重合,通过作辅助线,点P可变为某线段的中点,利用三角形中位线定理解题【例2】如图,边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动,始终保持EFAB,线段CF,DH的中点分别为M,N,则线段MN的长度为( ) (北京市竞赛试题)A B C D解题思路:连接CG,取CG的中点T,构造三角形中位线、梯形中位线【例3】如图,在ABC中,ABAC,延长AB到D,使BDAB,E为AB中点,连接CE,CD,求证:CD2EC (宁波市竞赛试题) 解题思路:图形中有两个中点E,B,联想到与中点相关的丰富知识,将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明,关键是恰当添加辅助线 例3
3、图【例4】如图1,P是线段AB上一点,在AB的同侧作APC和BPD,使APCBPD,PCPA,PDPB,连接CD,点E,F,G,H分别是AC,AB,BD,CD的中点,顺次连接E,F,G,H(1) 猜想四边形EFGH的形状,直接回答,不必说明理由;(2) 当点P在线段AB的上方时,如图2,在APB的外部作APC和BPD,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?说明理由;(3) 如果(2)中,APCBPD90,其他条件不变,先补全图3,再判断四边形EFGH的形状,并说明理由 (营口市中考试题) 图 图 图解题思路:结论随着条件的改变也许发生变化,但解决问题的方法是一致的,即通过连线,为三角形中位线定
4、理的应用创造条件【例5】如图,以ABC的AB,AC边为斜边向形外作直角三角形ABD和ACE,且使ABDACE,M是BC的中点,求证:DMEM (“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路:显然DBM不全等于ECM,必须通过作辅助线,构造全等三角形证明DMEM 例5图【例6】如图,已知ABC中,ACB90,AB边上的高CH与ABC的两条内角平分线AM,BN分别交于P,Q两点,PM,QN的中点分别为E,F,求证:EFAB (全国初中数学联赛题)解题思路:从图形的形成过程,逐步探索相应结论将原问题分解为多个小问题 例6图 A 级1如图,若E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是_ (1
5、)如果把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形,其他条件不变,那么所得的四边形EFGH分别为_;(2)如果把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形、正方形,那么原四边形ABCD应具备的条件是_ (湖北省黄冈市中考试题) 第1题图 第2题图2如图,已知AGBD,AFCE,BD,CE分别是ABC和ACB的角平分线,若BF2,ED3,GC4,则ABC的周长为_ (重庆市竞赛试题)3如图,在ABC中,ABAC,ADBC于点D,E是AC的中点,若BC16,DE5,则AD_ (南京市中考试题)4 如图,在ABC中,ABAC,M,N分别是AB,AC的中点,D,E为BC上的点,连接D
6、N,EM,若AB13cm,BC10cm,DE5cm,则图中阴影部分的面积为_ (北京市中考试题) 第3题图 第4题图 第7题图5A,B,C,D顺次为四边形ABCD的各边的中点,下面条件中使四边形ABCD为正方形的条件是( ) A四边形ABCD是矩形 B四边形ABCD是菱形 C四边形ABCD是等腰梯形 D四边形ABCD中,ACBD且ACBD 6若等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则该等腰梯形的面积为( ) A16cm2 B32cm2 C64cm2 D112cm2 7如图,梯形ABCD中,ADBC,E,F分别是BD,AC的中点,若AD6cm,BC18cm,则EF的长为( ) A8cm
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