微积分基本公式与计算ppt课件.ppt
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1、二、定积分的计算二、定积分的计算一、牛顿一、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 微积分的基本公式 第六章第六章 与定积分的计算一一 微积分的基本公式微积分的基本公式 引引 积分学中要解决两个问题:第一个问题是原函数积分学中要解决两个问题:第一个问题是原函数的求法问题,我们在第的求法问题,我们在第5 5章中已经对它做了讨论;第章中已经对它做了讨论;第二个问题就是定积分的计算问题二个问题就是定积分的计算问题. . 如果我们要按定如果我们要按定积分的定义来计算定积分积分的定义来计算定积分, , 将会十分困难将会十分困难. . 我们知我们知道道, , 不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分不定积分作为原
2、函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念和的极限的概念是完全不相干的两个概念. . 但是但是, , 牛顿和莱布尼兹不仅发现而且找到了这两个概念之牛顿和莱布尼兹不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的内在联系间存在着的内在联系, , 提出了提出了 “ “微积分学基本定微积分学基本定理理”. . 从而使积分学与微分学一起构成微积分学从而使积分学与微分学一起构成微积分学. . Newton-Leibniz 公式(微积分基本公式)公式(微积分基本公式)上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛顿牛顿 - 莱布尼茨公式莱布尼茨公式) 定理定
3、理.函数函数 , 则则微积分基本公式表明:一个连续函数在区间微积分基本公式表明:一个连续函数在区间 a, ,b 上上的定积分等于它的任意一个原函数在区间的定积分等于它的任意一个原函数在区间 a, ,b 上的增上的增量。求定积分的问题转化为求原函数的问题。量。求定积分的问题转化为求原函数的问题。例例1. 计算计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127)4(.)1sincos2(20 dxxx解解原式原式 20cossin2 xxx .23 例例2. 求求 例例3. 设设, , 求求 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 10
4、2120)()()(dxxfdxxfdxxf120125xdxdx6 例例4. .计算正弦曲线计算正弦曲线轴所围成上与在xxy, 0sin的面积的面积 . . 解解: :0dsinxxAxcos01()12Oyxxysin不定积分不定积分二、定积分的计算二、定积分的计算换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法2、定积分的分部积分法、定积分的分部积分法 1、定积分的换元法、定积分的换元法 3、定积分的计算技巧、定积分的计算技巧先来看一个例子先来看一个例子例例1 13011dxx换元求不定积分换元求不定积分令令1tx则则21xt121tdxdtt
5、x2tC21xC 故故33001211dxxx2dxtdt21、定积分的换元法、定积分的换元法 定理定理1. 设函数设函数, ,)(baCxf单值函数单值函数)(tx满足满足:1), ,)(1Ct 2) 在在,上上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t则则3011dxx212tdtt令令1tx则则21xt2dxtdt 当当x 从从0连续地增加到连续地增加到3时,时,t 相应地从相应地从1连续连续地增加到地增加到2于是于是3011dxx2122t说明说明: :1) 当当 , 即即区间换为区间换为,时,定理定理 1 仍成立仍成立 .2) 必须注意必须注意换元必换限换元必换限
6、 。但计算定积分值时。但计算定积分值时原函数中的新变量不必代回原函数中的新变量不必代回 .tfxxfbadd)()(t)(t例例2. 计算计算.d12240 xxx解解: 令令, 12 xt则则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且且 例例3:计算计算2ln01dxex解:解:令令tex1dtttdxtx12) 1ln(2200,ln21xtxt102212dttt102)111 (2dtt)arctan(2tt )41 (2例例4:计算计算21ln11edxxx0121ln1) 1(
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