第八节-多元函数的极值及其求法ppt课件.ppt
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1、“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值条件极值条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法第八节第八节 多元函数的极值与多元函数的极值与 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义极大值和极小值的定义一元函数的
2、极值一元函数的极值的定义的定义:是在一点是在一点附近附近将函数值比大小将函数值比大小.定义定义点点P0为函数的为函数的极大值点极大值点. 类似可定义极小值点和极小值类似可定义极小值点和极小值.设在点设在点P0的某个邻域的某个邻域, ),()(0PfPf 为为极大值极大值.则称则称)(0Pf多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3 注注 函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极
3、大值点与极小值点统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是多元函数的极值也是局部的局部的, 一般来说一般来说:极大值未必是函数的最大值极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值极小值未必是函数的最小值.有时有时,极值极值. .极值点极值点. .内的值比较内的值比较.是与是与P0的邻域的邻域极小值可能比极大值还大极小值可能比极大值还大.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4xy
4、zO例例2243yxz 函数函数 存在极值存在极值, 在在(0,0)点取极小值点取极小值. 椭圆抛物面椭圆抛物面在简单的情形下是在简单的情形下是容易判断的容易判断的.函数函数(也是最小值也是最小值).多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法 “雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5xyzO例例22yxz 例例xyz 在在(0,0)点取极大值点取极大值. (也是最大值也是最大值).在在(0,0)点无极值点无极值.下半个圆锥面下半个圆锥面马鞍面马鞍面函
5、数函数函数函数 xyzO “雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。62. .极值的必要条件极值的必要条件定理定理1 1( (必要条件必要条件) ),(),(00yxyxfz在在点点设设函函数数 具有具有处处且在点且在点),(00yx则它在该则它在该点的偏导数必然为零点的偏导数必然为零:, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy,偏偏导导数数,有有极极值值多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级
6、综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7证证处处在在点点),(),(00yxyxfz 有极大值有极大值,不妨设不妨设的的某某邻邻域域内内任任意意则则对对于于),(00yx),(),(00yxyx 都有都有),(),(00yxfyxf ,00时时故当故当xxyy ),(),(000yxfyxf 有有说明一元函数说明一元函数处处在在00),(xxyxf 有极大值有极大值,必有必有; 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy类似地可证类似地可证“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以
7、综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8推广推广 如果三元函数如果三元函数),(),(000zyxPzyxfu在在点点 具有偏导数具有偏导数,则它在则它在),(000zyxP有极值的有极值的必要条件必要条件为为, 0),(000 zyxfx, 0),(000 zyxfy. 0),(000 zyxfz多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9均称为函数的均
8、称为函数的驻点驻点极值点极值点(偏导数存在偏导数存在)仿照一元函数仿照一元函数,凡能使凡能使一阶偏导数一阶偏导数同时为零的同时为零的点点,驻点驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如何判定一个驻点是否为极值点如如,的的是是函函数数点点xyz )0 , 0(驻点驻点, 但不是极值点但不是极值点. 注注“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。103. .极值的充分条件极值的充分条件定理定理2 2( (充分条件充分条件) ),(),(00yxyxfz在在点点设设函函数数 的某邻域
9、内连续的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数有一阶及二阶连续偏导数, 0),(00 yxfx又又, 0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy ,),(00Byxfxy ),(),(00yxyxf在在点点则则处是否取得极值的条件如下处是否取得极值的条件如下:(1)时时02 BAC有极值有极值,时时当当0 A有极大值有极大值,时时当当0 A有极小值有极小值;(2)时时02 BAC没有极值没有极值;(3)时时02 BAC可能有极值可能有极值,也可能无极值也可能无极值.“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化
10、管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11求函数求函数 极值的一般步骤极值的一般步骤: :),(yxfz 第一步第一步解方程组解方程组 0),(0),(yxfyxfyx求出实数解求出实数解,得驻点得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值.CBA、第三步第三步 定出定出2BAC 的符号的符号,再判定是否是极值再判定是否是极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频
11、监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12例例 解解又又在点在点(0,0)处处, 在点在点(a,a)处处, )0(3),(33 ayxaxyyxf求函数求函数 03303322yaxfxayfyx).,(),0 , 0(aa驻驻点点 xxf xyf yyf229aBAC 故故),(yxf2227aBAC aA6 且且故故),(yxf即即.),(3aaaf 的极值的极值.0 在在(0,0)无极值无极值;在在(a,a)有极大值有极大值,0 ,6x ,3a.6y 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法0 “雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、
12、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1304222 xxzzzx解解求由方程求由方程010422222 zyxzyx.),(的极值的极值确定的函数确定的函数yxfz 将方程两边分别对将方程两边分别对x, y求偏导数求偏导数,04222 yyzzzy 由函数取极值的必要条件知由函数取极值的必要条件知,驻点为驻点为),1, 1( P将上方程组再分别对将上方程组再分别对x, y求偏导数求偏导数,21|zzAPxx , 0| PxyzB,21|zzCPyy 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法法一法一“雪亮工程是以区
13、(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14故故22)2(1zBAC )2( z函数在函数在P有极值有极值.0 010422222 zyxzyx)1, 1( P将将代入原方程代入原方程,6, 221 zz有有,21时时当当 z41 A, 0 2)1, 1( fz为极小值为极小值;,62时时当当 z41 A, 0 6)1, 1( fz为极大值为极大值.zzAPxx 21|0| PxyzB多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法所以所以所以所以zzCPyy 21|“雪亮
14、工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15求由方程求由方程010422222 zyxzyx.),(的的极极值值确确定定的的函函数数yxfz 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法解解 法二法二 配方法配方法 方程可变形为方程可变形为16)2()1()1(222 zyx 于是于是22)1()1(162 yxz,1, 1时时当当 yx 显然显然, 根号中的极大值为根号中的极大值为4,由由可知可知,42 z为极值为极值.即即6 z为极大值为极大值,2 z为极
15、小值为极小值.“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16取得取得. .然而然而, ,如函数在个别点处的如函数在个别点处的偏导数不存在偏导数不存在, ,这些点当然不是驻点这些点当然不是驻点,如如: 函数函数22yxz 不存在不存在, ,但函数在点但函数在点(0,0)处都具有极大值处都具有极大值. . 在研究函数的极值时在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外除研究函数的驻点外,还应研究还应研究偏导数不存在的点偏导数不存在的点. .注注由由极值的必要条件知极值的必要条件知,
16、 , 极值只可能在驻点处极值只可能在驻点处但但也可能是极也可能是极值值点点.在点在点(0,0)处的偏导数处的偏导数多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法2003年考研数学年考研数学(一一), 4分分选择题选择题已知函数已知函数f (x, y)在点在点(0, 0)的某个邻域内连续的某个邻域内连续, 1)(),(lim22200 yxxyyxfyx且
17、且则则(A) 点点(0, 0)不是不是f (x, y)的极值点的极值点.(B) 点点(0, 0)是是f (x, y)的极大值点的极大值点.(C) 点点(0, 0)是是f (x, y)的极小值点的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为是否为f (x, y)的极值点的极值点.“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。18其中最大者即为最大值其中最大者即为最大值, , 与一元函数相类似与一元函数相类似,可利用函数的极值来可利用函数的极值
18、来求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值.4. .多元函数的最值多元函数的最值求最值的一般方法求最值的一般方法最小者即为最小值最小者即为最小值. .将函数将函数在在D内内的所有嫌疑点的函数值及的所有嫌疑点的函数值及在在D的边界上的最大值和最小值相互比较的边界上的最大值和最小值相互比较, ,多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。19解解 (1) 求函数求函数在在D内内的驻点的驻点 由于由于所以函数在所以函
19、数在D内无极值内无极值. .(2) 求函数在求函数在 D边界上的最值边界上的最值(现现最值只能在边界上最值只能在边界上) )与与在在求求函函数数0, 0212 yxyxxz1 yx直线直线围成的三角形闭域围成的三角形闭域D上的上的0 最大最大(小小)值值.例例xzx21 2 yz 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法1 yxDxyO“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。20在边界线在边界线在边界线在边界线由于由于最小最小, 由于由于又在端点又在
20、端点(1,0)处处,yxxz212 所以所以,最大最大.yz21 21xxz ,21ddxxz ,21 x43)0 ,21( z有驻点有驻点 函数值函数值有有, 0 x单调上升单调上升.2dd yz, 0 yz21 1)0 , 0( z3)1 , 0( z, 0 y. 1)0 , 1( z,10上上 y,10上上 x多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法1 yxDxyO“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。21在边界线在边界线所以所以, 最值在端
21、点处最值在端点处.yxxz212 )1(212xxxz由于由于 函数单调下降函数单调下降,)0 ,21( z及及43)0 ,21(min zz3)1 , 0(max zz, 1 yx233xx xxz23dd 0 ),10( x(3)比较比较),0 , 0( z),0 , 1( z)1 , 0( z,10上上 x43)0 ,21( z1)0 , 0( z3)1 , 0( z1)0 , 1( z多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法1 yxDxyO“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联
22、网应用为重点的“群众性治安防控工程”。22解解, 02 xfx令令08 yfy)0 , 0(),(422yxfyx代代入入将将 133),(2yyxf2 , 2 yyyg6)( 令令0 y此时此时24yx ,2时时当当 y9)0 , 0( f. 9,25),(最最小小值值为为上上的的最最大大值值为为在在故故Dyxf13)0 , 2( f25)2, 0( f的最大值与最小值的最大值与最小值.驻点驻点得得)(yg0 2 0 x均有均有多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法上上在在求求4:94),(2222 yxDyxyxf“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中
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