2022年微分中值定理“中值点”的确定收集 .pdf
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1、吉首大学毕业论文设计1 微分中值定理“中值点”的确定* ( 吉首大学数学与计算机科学学院,湖南吉首, 416000) 摘要:讨论了微分中值定理中值点能被确定的几种函数类型,并通过拉格朗日中值定理,得到了初等函数的关于中值点的一些具体性质.关键词 :微分中值定理;泰勒定理;拉格朗日中值定理;L Hospital法则Diff Ascertainment Of Median Points In the Theory Of erential Median * (College of mathematics and computer science, Jishou University,Jishou H
2、unan 416000) Abstract:Several functional models applied to ascertain median points in the theory of differential median are discussed. Moreover, some specific properties of median points of elementary functions are obtained by Lagrange s median theory. Key words: The Theory Of Differential Median ;T
3、aylor s Theory ;Lagrange s median theory;LH o s p i tprinciple 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - 吉首大学毕业论文设计2 引言:微分中值定理的使用越来越广泛, 但是微分中值定理只肯定了中值点的存在性,而中值点的位置没有已有的定理给以解决,但它已越来越被重视并被研究.本文总结了已有的一些结论, 探讨了微分中值定理中值点的性质,结合实例讨论了初等函数的关于
4、中值点的确定问题,并在一些问题中进行了推广. 另外本文还讨论了一些其他类型的微分中值定理中值点的渐进性质 . 一、预备定理:1、 泰勒定理1:若函数f在,a b上存在直至 n 阶的连续导函数,在(,)a b内存在1n阶导函数, 则对任意给定的x,0,xa b, 至少存在一点(,)a b,使得12100000000()()()()()()()().()()2!(1)!nnnnfxfxffxfxfxxxxxxxxxnn2、拉格朗日中值定理1:若函数f满足以下条件:( ) if在闭区间,a b上连续;()iif在开区间(,)a b内可导,则在(,)a b内至少存在一点,使得()()()()fbfaf
5、ba3、L Hospital法则2:设函数f和g在点0 x的某邻域内 (点0 x除外)可导,且()0gx,并有00()0( )limlimxxxxfxg x。如果极限0()()limxxfxgx存在(有限或无限),则00()()()()limlimxxxxfxfxgxgx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 吉首大学毕业论文设计3 二、初等函数对应的微分中值定理中值点的确定定理 1.对任意的幂函数()nfxx(n0)
6、, ,xa b,其中0ab.若满足()()()()fbfabafaba,其中01,则1()nnnbaan baba证明: 对()fx求导得:1()nfxnx由题意可知:1()()nnnbaba n aba两边同除以()n ba,得1()()nnnbaaban ba两边开 n-1 次方,得1()()nnnbaaban ba易得1()nnnbaan baba证毕例 13.设3()fxx,其中,xa b,其中0ab.试求满足()()()()fbfabafaba,(其中01且1,2ab)时的值. 解:3()fxx是幂函数, 且()()()()fbfabafaba中的满足定理 1的条件,可得333321
7、13()3(21)211213baababa. 证毕推论 1. 对任意的幂函数()nfxx(n0), ,xa b,其中0ab若满足()()()()fbfabafaba,其中01,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - 吉首大学毕业论文设计4 则1()nnnbaan baba. 例 2 . 设1()fxx,其中,xa b, 其中0ab,试求满足()()()()fbfabafaba, (其中01且1,16ab)时的值。解:
8、11()fxxx是幂函数,且()()()()fbfabafaba中的满足推论 1 的条件,可得11216111(161)161411155证毕定理 2. 对任意的指数函数()xfx,(0,1),其中,xa b. 若满足()()()()fbfabafaba,其中01,则1log() ln()bababa. 证明: 对()fx的求导得()lnxfx由题意可知:()()lnbaababa两边同除以a,得()1()lnbababa两边同除以() lnba,得()1()lnbababa易得1()log() lnbababa两边同除以ba, 得1log() ln()bababa证毕例 3. 设()xfxe
9、,,xa b,试求满足()()()()fbfabafaba,(其中01且,2ae be)时的值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - 吉首大学毕业论文设计5 解:()xfxe是指数函数,且()()()()fbfabafaba中的满足定理2 的条件,可得2(1)1lnlnln(1)1(2) lnln2eeeeeeeeeeeeeeee定理 3. 对任意的对数函数()log,fxx,(0,1, ),,xa b. 其中0a
10、,若满足()()()()fbfabafaba. 其中01,则1loglnabbaaa. 证明: 对()fx求导得1( )lnfxx由题意可得:( )( )loglog() lnbaf bfabaaba易得()loglnbaababa两边减a后除以ba,得loglnbaababa1loglnabbaa. 证毕例 4设()lnfxx,,xa b,其中0a,试求满足()()()()fbfabafaba,(01且,2ae be)时的值. 解:()lnfxx是对数函数,且()()()()fbfabafaba中的满足定理 3 的条件,可得11122ln 2lnlneeeeee . 定理 4. 对任意三角函
11、数()sinfxx,,xa b, 若满足()()()()fbfabafaba,其中01,则sinsinarccosbaababa. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - 吉首大学毕业论文设计6 证明: (1)对()fx求导得()(sin)cosfxxx由题意可得()()sinsin() cos()fbfababaaba两边同除以ba,得sinsincos()baababa对cos()aba的求反函数,得sinsin(
12、)arccosbaababa易得sinsinarccosbaababa证毕例 53设()sinfxx,,xa b,试求满足()()()()fbfabafaba,(其中01且,32ab)时的值. 解:()sinfxx是三角函数,且()()()()fbfabafaba中的满足定理 4 的条件,可得112arccos33arccos63233arccos2236证毕结论 : 对于三角函数()cos,()tan,()cot,()sec,()cscfxxfxxfxxfxxfxx也同理可以确定的位置 . 定理 5. 对任意反三角函数函数()arcsinfxx, ,xa b. 其中11,a且11b. 若满足
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