高等量子力学-第一章--希尔伯特空间ppt课件.ppt
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1、我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物第一章第一章 希尔伯特空间希尔伯特空间 本章讨论量子力学的主要数学工具本章讨论量子力学的主要数学工具希尔伯特空间,即希尔伯特空间,即满足一定要求的多维矢量空间满足一定要求的多维矢量空间。 主要内容:主要内容:1 矢量空间矢量空间2 算符算符3 本征矢量和本征值本征矢量和本征值4 表象理论表象理论5 矢量空间的直和与直积矢量空间的直和与直积我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有
2、一个活的生物1 矢量空矢量空间间1-1 定义定义1-2 正交性和模正交性和模1-3 基矢基矢1-4 子空间子空间1-5 右矢和左矢右矢和左矢主要内容:主要内容:我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物1-1 矢量空间的定义矢量空间的定义 我们讨论的对象是很广泛的,可以是实数或复数,可以是我们讨论的对象是很广泛的,可以是实数或复数,可以是有序的一组数,可以是有方向的线段,也可以是一种抽象的东有序的一组数,可以是有方向的线段,也可以是一种抽象的东西。我们把这些通称之为西。我们把这些通称之为数学对象数学对
3、象。 同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时,就构同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时,就构成一个成一个矢量空间矢量空间;每一个对象称为空间的一个;每一个对象称为空间的一个元元,或称为,或称为矢量矢量。我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物加法规则视不同对象可以不同,但一定要满足下列四个条件:加法规则视不同对象可以不同,但一定要满足下列四个条件: 我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物是
4、实数时,空间称为在实数域上的矢量空间;是实数时,空间称为在实数域上的矢量空间;是复数时,空间称为在复数域上的矢量空间。是复数时,空间称为在复数域上的矢量空间。数乘要满足下列四个条件:数乘要满足下列四个条件: aa 我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物c),( 在实数域(复数域)上的矢量空间中的内积,所得的也是在实数域(复数域)上的矢量空间中的内积,所得的也是实数(复数)。内积与两个因子的次序有关,内积规则要满足实数(复数)。内积与两个因子的次序有关,内积规则要满足下列四个条件:下列四个条件:),
5、(),(*我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物)(nmnm,在量子力学中所用到的空间,就是复数域上的希尔伯特空间。在量子力学中所用到的空间,就是复数域上的希尔伯特空间。 我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物下面我们举出矢量空间的一些简单性质。下面我们举出矢量空间的一些简单性质。 (1)在矢量空间中,零矢量是唯一的。)在矢量空间中,零矢量是唯一的。我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放
6、在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物(2)每个矢量的逆元是唯一的。)每个矢量的逆元是唯一的。我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物下面,讨论几个矢量空间的例子。下面,讨论几个矢量空间
7、的例子。 值得注意的是在这个空间中,有的序列的极限超出这一空间值得注意的是在这个空间中,有的序列的极限超出这一空间之外。例如取以下序列:之外。例如取以下序列:niinsssss0210!1,.,!21! 111,! 111, 1这个序列的每一项都在我们的空间中,但是当这个序列的每一项都在我们的空间中,但是当 的极限是的极限是e=2.7182818,这是一个无理数,不在有理数空间中。这是一个无理数,不在有理数空间中。 n 第一个例子第一个例子 取数学对象为所有正负有理数和零,规取数学对象为所有正负有理数和零,规定加法即为算术中的加法;规定数乘中的数定加法即为算术中的加法;规定数乘中的数a也限于所
8、也限于所有的有理数,数乘即是算术中的乘法;最后规定内积有的有理数,数乘即是算术中的乘法;最后规定内积为两个因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢为两个因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢量空间。因为有理数相加和相乘所得的都是有理数,量空间。因为有理数相加和相乘所得的都是有理数,这个空间是封闭的,即所得结果仍在空间之中。这个空间是封闭的,即所得结果仍在空间之中。我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物 第二个例子 取数学对象为三维位形空间中由一点引出的不同方向不同长短的线段的全体,即理论力学中位
9、置矢量全体。规定加法服从平行四边形法则;数乘中的数是实数,以a数乘的结果是方向不变,长度乘以a;内积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的内积空间。 我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物 第三个例子第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数,例如四个数,取数学对象为一组有次序的复数,例如四个数,可以把它们写成一个一列矩阵:可以把它们写成一个一列矩阵:4321lllll加法,数乘和内积的定义分别为加法,数乘和内积的定义分别为44332211mlmlmlmlml4321lllll4*43*32*21*1
10、),(mlmlmlmlml这是一个复数域上的内积空间。这是一个复数域上的内积空间。如果内积定义为:如果内积定义为:4*43*32*21*1),(mlmlmlmlml432空间是否仍然是一个内积空间?空间是否仍然是一个内积空间?我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物badxxgxfxgxf)()()(),(*这样的函数全体构成一个内积空间,平方可积的意思是这样的函数全体构成一个内积空间,平方可积的意思是badxxfxf)()(*我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界
11、里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物1-2 正交性和模正交性和模2),(下面我们证明两个与模有关的基本关系。下面我们证明两个与模有关的基本关系。 我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物Schwartz不等式:不等式: ),(1.1) 证明:证明: 2),(22222*2*2210),(),(),(),(),(),(),(),(),(22222*2*2210),(),(),(),(),(),(),(),(),(22222*2*2210),(),(),(),(),(),()
12、,(),(),(),(,),(22222),(即),(),(),(*我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物三角形不等式:三角形不等式: (1.2) 2222222),(2),Re(2),(2222222),(2),Re(2),(22),(),(于是得 22我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物1-3 基矢基矢 线性无关线性无关01niiia (1.3) 对于无穷个矢量的集合,线性无关的定义可以推广为:
13、在对于无穷个矢量的集合,线性无关的定义可以推广为:在无穷个矢量的集合中,若任意有限的子集合都是线性无关的,无穷个矢量的集合中,若任意有限的子集合都是线性无关的,则整个集合就是线性无关的。则整个集合就是线性无关的。我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物定理定理: 在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是相同的。
14、相同的。证明证明: 我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物11211,.,ii,nii,.,.,11211,仍将是线性无关的。(1.4) 我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物nii,.,.,11211,(1.4) 我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物于是我们证明了只有一个可能,即m=n. 因此,每一个
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