初中数学复习 方程思想.doc
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1、专题29 方程思想阅读与思考所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系,恰当引入未知量,寻找已知量与未知量的等量关系,列方程或方程组,通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法.应用方程思想解决问题的常见途径有:1引入字母,把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解;2突出主元,把等式看作是其中某个字母的方程,将问题转化为方程或方程组问题来探讨;3构造一元二次方程,利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识,求解代数式的相关问题;4列方程、方程组解应用题;5通过列方程或方程组解几何计算题,把几何问题代数化 17世纪,法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想:把所有问题 数学问题 代数问题
2、方程问题虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现,但随着计算机的广泛应用,人们已经越来越体验到方程思想的重要性构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径,在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求最值等方面有广泛的应用常用的构造方法有:用根的定义构造;用韦达定理的逆定理构造;对于含有多个字母的变元等式问题,把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.例题与求解【例1】 已知:,是四个不同的有理数,且(ac)(ad)1,(bc)(bd)1,那么(a十c) (bc)的值是_ _ (江苏省竞赛试题)解题思路:本例内容新颖,构思巧妙,解题思路宽广,或用特殊值代入试算、或从变形已知等式入手. 仔细观察已知两个等式
3、特点,可看作是方程(xc)(xd)1的两根,利用方程思想揭示题设条件与结论的内在规律【例2】化简的结果是( ) A B C D2 (武汉市选拔赛试题)解题思路:设,将二次根式的化简问题转化为解方程.【例3】已知实数,满足,则的值为( )A. 7 B C D5(全国初中数学联赛试题)解题思路:本题可以构造一元二次方程,利用根与系数关系韦达定理解决.【例4】 已知,求的值(“数学周报杯”天津竞赛试题)解题思路:要求的代数式中含三个字母,正好与已知的三个等式中含的三个字母相同,所以可以将已知的三个等式组成二元二次方程组,求出这些未知数的值本例已知的三个等式中含的三个字母相同,结构相同,排列位置循环转
4、,根据这些特点可构造二次方程求解,这也是解决这类问题的常见方法.【例5】 如图,RtABC中,C90,BC6,AC8点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BPAQ.点E,D分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点,HQAB,垂足为点Q,交AC于点H,当点E到达顶点B时,P,Q同时停止运动,当BP长为何值时,HDE为等腰三角形?(台州市中考试题改编)解题思路:本题可结合图形,从几何知识中找等量关系列方程 利用方程思想解几何题,通常是对某几何量进行合理设元,根据几何性质正确列出方程、方程组,然后化归为解方程、方程组的有关问题著名数学家波利亚曾说:“为了使
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