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1、北京市高中示范校数学教学研讨会教案弧 长 公 式(二)清华附中 李娜教学目标:1使学生灵活应用弧长公式解决相关问题2进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力,提高学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,培养学生逻辑思维能力3创设情境激发学生对数学的“好奇心、求知欲”;营造“民主、和谐”的课堂氛围,让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验培养学生以严谨求实的态度思考数学教学重点:应用弧长公式进行计算教学难点:弧长公式的灵活应用教学方式:体验式教学手段:常规教学用具,计算机及课件教学过程:一、复习提问 复习弧长公式:,并请学生说出对公式的理解二、创设情境,解决问题例1:同学们看到的这个由
2、九个小正三角形、一个大正三角形和一些曲线组成的优美的图案,它不仅是旋转对称图形,也是轴对称图形已知小正与大正三角形的边长比为1:3,求美丽的外围曲线的长度计算机演示曲线的形成过程,闪动外围曲线学生思考并回答问题: 你看到了什么在做什么运动? 外围曲线是怎样形成的? 在大三角形每条边上滚动的情况一样吗?学生回答,补充完善后,教师说明:我们观察到,正在绕着大正三角形滚动在滚动的过程中,外围的曲线就是三角形的一个顶点A所走过的路径我们可以简化研究在一条直线上滚动时,点所经过的路径的长度设计意图:由一个美丽的图形引出问题,激发学生探询新知的欲望步骤1:如图,在正中,正在一条直线顺时针滚动一周,求点所经
3、过的路径的长度教师几何画板演示图形的运动过程,同时启发学生思考并回答下面几个问题: 点所经过的路径是什么图形,为什么? 每一段圆弧所在圆的圆心和半径如何?圆心角如何?教师板书:圆心 半径 圆心角 弧长(1) 点 (2) 点 (3) 点 0 0所以,点所经过的路径的长度为教师总结:三角形在滚动的过程中,点经过的路径是两段圆弧对于每一段圆弧,考虑到应用弧长公式,解决此类问题的关键是确定每一段圆弧的圆心、半径和圆心角步骤2:在大正三角形的边缘顺时针滚动后回到原来的位置,求点所经过的路径的长度教师引发学生思考并回答下面的问题:我们在步骤1中解决了什么问题?求出外围曲线的长度外围曲线的长度为设计意图:在
4、这个过程中,学生体验研究类似问题的过程和方法体验到研究复杂问题可以从简单问题入手,同时体验到解决这个问题的关键是确定每一段圆弧的圆心、半径和圆心角,这样突出重点,突破难点例2:有一历史遗留的圆弧形桥拱,由于时间久远,桥拱面已经损坏,市政府要对桥拱面重新修复已知桥拱的跨度为米,拱高为5米,拱面宽为10米,求所要修复的桥拱面的面积(结果用表示)教师引发学生思考下面的问题: 如何将实际问题转化为数学问题? “有一圆弧形桥拱”这句话给我们解题提供什么信息? 画出解决此实际问题的几何图形? 要求拱桥面的面积,缺少什么条件?学生画图,写出计算过程,然后交流、反思、总结此问题的答案是设计意图:这是一个实际问
5、题,首先应该把实际问题转化为数学问题,这是数学建模的过程然后挖掘条件,解决此问题的关键是求桥拱的截面图的弧长三、巩固练习1练习:如图,在中,,在直线上滚动一周后,求点所经过的路径的长度设计意图:学生类比联想,总结反思解决这个问题的过程和方法2思考题:如图,为正三角形,曲线叫“正三角形的渐开线”,其中弧,弧,弧的圆心依次按、循环,它们依次相连接,如果,求曲线的长(依时间而定,也可课后思考)四、课堂小结1学生自己总结,并在班上交流2结合学生所述,教师给予指导解决问题要抓住事物的本质这节课解决问题的关键是先确定曲线为圆弧,然后应用弧长公式,要找准所在圆的半径和对应的圆心角将生活中的实际问题自觉的转化
6、为数学问题,体会到“数学源于生活,又服务于生活”研究问题,一般遵循着从简单到复杂的原则五、布置作业 必做题:三新练习册P61思考题:秋千拉绳长3米,静止时踩板离地面0.5米,某小朋友荡秋千时,秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称),求该秋千所荡过的圆弧长教学反思:一、设计思想:本节课是华东师大版教材九年级(上)第24章23.3圆中的计算问题弧长公式的第二节课从知识结构来看,它是旋转问题和圆中的计算问题弧长公式的延续;从解决问题的思想方法来看,体现了从简单到复杂的研究问题的方法在教学的过程中,培养学生自主探索、合作交流,在观察与反思中体验解决问题的方法同时教师借助于图形运动、多媒体教学手段,促进
7、学生不断体验、不断反思,引发学生的学习积极性,培养他们合作、交流解决问题,充分发挥学生在学习过程中的主体作用在教学中同时完成三项基本任务:掌握知识和技能,发展学生的智力和能力,渗透数学教育的德育观点二、学生情况:11班是普通班,学生基础比较扎实,上课气氛一直不错虽然初三年级的学生在课堂中已不象初一、初二年级时那样活跃,他们的学习行为趋于理性化,即使有想法也不会贸然举手发言但是思维的成熟度、求知欲望要比以往强因此营造的课堂气氛要能充分激活学生的创造欲望,让学生在教师创设的情境中充满好奇心的学,留给学生足够的自主活动、相互交往活动的空间,让学生在实践与观察中不断体验与反思,发现数学问题,在实践中日
8、益领悟数学思想三、教学内容特点:第一个例题是一个纯数学问题,从一个漂亮的图案提出问题,学生分析曲线的形成过程后,可以简化研究正三角形在一条直线上滚动时,某一顶点所经过的路径的长度解决这类问题关键是先明确曲线为几段圆弧,然后引导学生弄清每一个分段过程的旋转中心、旋转半径和旋转角度根据扇形的弧长公式求出某顶点经过的路径有多长在这一过程中,学生体验解决问题的过程和方法第二个例题是一个实际问题,学生应该自觉的将实际问题转化为数学问题,这是数学建模的过程解决这个问题的关键是求出圆弧所在圆的半径和圆心角的度数,然后代入弧长公式求弧长随后两道练习题是检验学生对前面所学知识的掌握情况学生在解决问题的过程中,应
9、不断体验、不断反思,学会解决问题的思想方法学生的思维和体验达到高点四、流程框图:数学问题 化简研究 解决问题实际问题 数学问题 解决问题 五、教学方式及其实用性:根据本节课的教学内容特点及学生的实际水平,我采用体验式的教学方式让学生体验解决类似问题的过程和方法,并在对经验与体验进行反思中获得成长性发展注重循序渐进的原则,采取观察、类比、讨论等方法,注重创设问题情景,充分暴露思维过程,发展学生的思维能力六、课后反思:本节课是弧长公式的第二节课,这节课是应用弧长公式解决更复杂的求弧长的问题一个例题是求运动过程中形成的几段弧长,第二个例题是在实际问题中求弧长在教学的过程中,培养学生自主探索、合作交流,在观察与反思中体验解决问题的方法同时教师借助于图形运动、多媒体教学手段,促进学生不断体验、不断反思,引发学生的学习积极性,培养他们合作、交流解决问题,充分发挥学生在学习过程中的主体作用在研究问题的过程中,体现了从简单到复杂的解决问题的方法这节课体现了新课程标准的理念,充分发挥了学生在学习活动中的主体作用当然也有不足之处,比如:当学生回答到在大三角形的三边上翻滚时,我应该继续追问,让学生解释对于这个问题,翻滚就是我们以前学过的旋转变换,并且具体指明旋转变换中的旋转中心、旋转半径和旋转角度,这样新旧知识联系的更加紧密了6清华大学附属中学 李娜
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