2022高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题四概率与统计第2讲概率随机变量及其分布列含解析.doc
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1、第2讲概率、随机变量及其分布列高考定位1.随机事件的概率、古典概型的考查多以选择或填空的形式命题,中低档难度;2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等;对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”.随着新一轮课程改革,“数据分析、数据建模”将会不断加大考查力度.真 题 感 悟 1.(2020全国卷)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为()A. B. C. D.解析从O,A,B,C,D这5个点中任取3点,取法有O,A,B,O,A,C,O,A,D,O,B,C,O,B,D,O,C,D,A,B,C,A,B,D,A,C,
2、D,B,C,D,共10种,其中取到的3点共线的只有O,A,C,O,B,D这2种取法,所以所求概率为或.故选A.答案A2.(多选题)(2020新高考山东卷)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,n,且P(Xi)pi0(i1,2,n),pi1,定义X的信息熵H(X)pilog2pi.()A.若n1,则H(X)0B.若n2,则H(X)随着p1的增大而增大C.若pi(i1,2,n),则H(X)随着n的增大而增大D.若n2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,m,且P( Yj)pjp2m1j(j1,2,m),则H(X)H(Y)解析对于A,当n1时,p11,H(X)1log2
3、10,故A正确;对于B,当n2时,有p1p21,此时,若p1或都有H(X),故B错误;对于C,当pi(i1,2,n)时,H(X) log2nlog2log2n,显然H(X)随n的增大而增大,故C正确;对于D,法一当n2m时,H(X)(p1log2p1p2log2p2p2m1log2p2m1p2mlog2p2m),H(Y),由于p1log2p1p2mlog2p2mlog2(pp)log2log2(p1p2m)p1p2m(p1p2m)log2(p1p2m),同理可证p2log2p2p2m1log2p2m1(p2p2m1)log2(p2p2m1),pmlog2pmpm1log2pm1(pmpm1)l
4、og2(pmpm1),所以H(X)H(Y),故D错误.法二(特值法)令m1,则n2,p1,p2.P(Y1)1,H(Y)log210,H(X)0,H(X)H(Y),故D错误.答案AC3.(2020浙江卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为,则P(0)_;E()_.解析0表示停止取球时没有取到黄球,所以P(0).随机变量的所有可能取值为0,1,2,则P(1),P(2),所以E()0121.答案14.(2020全国卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜
5、者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.解(1)甲连胜四场的概率为.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为;乙连胜四场的概率为;丙上场后连胜三场的概率为.所以需要进行第五场比赛的概率为1.(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为;比赛五场结束且丙最终获胜,则从
6、第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,.因此丙最终获胜的概率为.考 点 整 合1.概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式.P(A).(2)条件概率.在A发生的条件下B发生的概率:P(B|A).(3)相互独立事件同时发生的概率:若A,B相互独立,则P(AB)P(A)P(B).(4)若事件A,B互斥,则P(AB)P(A)P(B),P()1P(A).2.独立重复试验与二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk,k0,1,2,n.用X表示事件A在n次独立重复
7、试验中发生的次数,则X服从二项分布,即XB(n,p)且P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2,n).3.超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(Xk),k0,1,2,m,其中mminM,n,且nN,MN,n,M,NN*,此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样,超几何分布中的参数是M,N,n.4.离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量的分布列为x1x2x3xixnPp1p2p3pipn离散型随机变量的分布列具有两个性质:pi0;p1p2pipn1(i1,2,3,n).(2)E()x1p1x2p2xipixnpn为随机变量的数学期望
8、或均值.D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做随机变量的方差.(3)数学期望、方差的性质.E(ab)aE()b,D(ab)a2D().XB(n,p),则E(X)np,D(X)np(1p).X服从两点分布,则E(X)p,D(X)p(1p).热点一古典概型【例1】 (1)(2019全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“ ”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B. C. D.(2)(2020湖北四地七校联考)根据党中央关于“精准脱贫”的要求
9、,某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动,则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为_.解析(1)在所有重卦中随机取一重卦,其基本事件总数n2664,恰有3个阳爻的基本事件数为C20.故在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的概率p.(2)4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动,共有2416种情况.只有周一或周二有专家参加调研活动的情况有2种,所以周一、周二都有专家参加调研活动的情况有16214种,所以周一、周二都有专家参加调研活动的概率p.答案(1)A(2)探究提高求古典概型的概率,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数
10、.常常用到排列、组合的有关知识,计数时要正确分类,做到不重不漏.【训练1】 (1)(2020重庆质检)2020年,新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心,八方驰援战疫情,众志成城克时难,社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎,重庆某医院派出3名医生,2名护士支援湖北,现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院,则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为()A.0.7 B.0.4 C.0.6 D.0.3(2)(2020济南一模)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,被世界公认为组合数学的鼻祖,它是中华民族对人类的伟大贡献之一.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有图(1):“以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑
11、点为阴数”,这就是最早的三阶幻方.按照上述说法,将1到9这九个数字,填在如图(2)的九宫格里,九宫格的中间填5,四个角填偶数,其余位置填奇数.则每一横行、每一竖列以及两条对角线上三个数字的和都等于15的概率是()A. B. C. D.解析(1)从5人中任选2人定点支援湖北某医院的基本事件总数nC10,恰有1名医生和1名护士被选中包含的基本事件个数mCC6,则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为P0.6.(2)记“将1到9这九个数字,填在题图(2)的九宫格里,九宫格的中间填5,四个角填偶数,其余位置填奇数,则每一横行、每一竖列以及两条对角线上三个数字的和都等于15”为事件A,则题图(2)的九宫格
12、里,九宫格的中间填5,四个角填偶数,其余位置填奇数的不同方法共有AA576(种).而事件A所包含的基本事件如图,共有8种.276951438294753618492357816438951276618753294672159834834159672816357492所以P(A).答案(1)C(2)C热点二条件概率及相互独立事件的概率【例2】 (1)(2020广州调研)某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团,据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学,假设他通过选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m,n.已知这三个
13、社团他都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,则mn()A. B. C. D.(2)(2020辽宁六校协作体期中)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是,连续两天为优良的概率是,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是_.解析(1)设该生进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”社团分别为事件A,B,C,则P(A)m,P(B),P(C)n.依题意知P(ABC)P(A)P(B)P(C)mn,所以mn.1P( )1P()P()P()1(1m)(1n),所以(1m)(1n).于是(1m)(1n)1(mn)mn1(mn),所以mn.(2)记事件A为“一天的空气质量
14、为优良”,事件B为“随后一天的空气质量也为优良”,则P(AB),P(A),根据条件概率公式可得P(B|A).答案(1)C(2)探究提高1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后用概率公式求解.2.(1)条件概率的计算,要分清是在谁的条件下的概率,古典概型的条件概率可缩减样本空间优化计算;(2)对于独立重复试验,要牢记公式Pn(k)Cpk(1p)nk,k0,1,2,n,并深刻理解其含义.【训练2】 (1)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出
15、现红灯的概率为,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后也出现红灯的概率为()A. B. C. D.(2)(2020天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_.解析(1)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,由题意得P(A),P(AB).由条件概率的定义可得P(B|A).故选C.(2)甲、乙两球都落入盒子的概率P;事件A:“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是:“甲、乙两球都不落入盒子”,P(),所以P(A)1.答案(1)C(2)热点三随机变量
16、的分布列、均值与方差角度1超几何分布【例3】 4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况,采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下:小组甲乙丙丁人数91263(1)从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名,求这两名学生来自同一个小组的概率;(2)在参加问卷调查的10名学生中,从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名,用X表示抽得甲组学生的人数,求X的分布列和数学期望.解(1)由已知得,问卷调查中,从四个小组中抽取的人数分别为3,4,2,1,从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的
17、取法共有C45种,这两名学生来自同一小组的取法共有CCC10(种),所以p.(2)由(1)知,在参加问卷调查的10名学生中,来自甲、丙两小组的学生人数分别为3,2.X的可能取值为0,1,2.则P(Xk)(k0,1,2).P(X0),P(X1),P(X2).则随机变量X的分布列为X012P故E(X)012.探究提高1.求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类求概率的公式,求出概率.2.对于实际问题中的随机变量X,如果能够判定它服从超几何分布H(N,M,n),则其概率可直接利用公式P(Xk)(k0,1,m,其中mminM,n,且nN,MN,n,M
18、,NN*).【训练3】 (2020长沙调研)某市“好运来”超市为了回馈新老顾客,决定在2021年元旦来临之际举行“庆元旦,迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案,该超市面向该市某高中学生征集活动方案,该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下:将一个444的正方体各面均涂上红色,再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后,从中任取两个小正方体,记它们的着色面数之和为,记抽奖一次中奖的礼品价值为.(1)求P(3);(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客,均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6,设为一等奖,获得价值50元的礼品;记抽取的两个小正方
19、体着色面数之和为5,设为二等奖,获得价值30元的礼品;记抽取的两个小正方体着色面数之和为4,设为三等奖,获得价值10元的礼品,其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望.解(1)64个小正方体中,三面着色的有8个,两面着色的有24个,一面着色的有24个,另外8个没有着色,所以P(3).(2)的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6;的所有可能取值为50,30,10,0.P(50)P(6),P(30)P(5),P(10)P(4),P(0)1.所以的分布列为5030100P所以E()5030100.角度2二项分布及其均值与方差【例4】 (2019天津卷)设甲、乙两位同学上学
20、期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率为,故XB,从而P(Xk)C,k0,1,2,3.所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)32.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则YB,且MX
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