2022年七年级数学下实际问题与二元一次方程组及三元一次方程组解法举例 .pdf
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1、学习好资料欢迎下载第八周第一课时 8.3 再探实际问题与二元一次方程(1)教学目标1、经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型;2、能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组;3、学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答;4、培养分析、解决问题的能力,体会二元一次方程组的应用价值,感受数学文化。教学难点确定解题策略,比较估算与精确计算。知识重点以方程组为工具分析,解决含有多个未知数的实际问题。教学过程(师生活动)设计理念创设情境前面我们结合实际问题,讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程
2、组本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题(出示问题)养牛场原有30 只母牛和 15 只小牛,一天约需用饲料675 kg; 一周后又购进12 只母牛和5 只小牛,这时一天约需用饲料940 kg. 饲养员李大叔估计平均每只母牛1 天约需用饲料1820 kg, 每只小牛 1 天约需用饲料78 kg. 你能否通过计算检验他的估计?开门见山,直接提出本节学习目标,强化本章的中心问题以学生身边的实际 问 题 展 开 讨论,突出数学与现实的联系探索分析解决问题学生思考、讨论判断李大叔的估计是否正确的方法有两种:一、先假设李大叔的估计正确,再根据问题中给定的数量关系来检验二、根据问题中给定的数量关系求出平均
3、每只母牛和每只小牛 1 天各约需用饲料量,再来判断李大叔的估计是否正确学生在比较探究后发现用方法二较简便设问 1:如果选择方法二,如何计算平均每只母牛和每只小牛 1 天各约需用饲料量?(有前面几节的知识准备,学生可以回答)列方程组求解主要思路:引导学生探寻 解 题 思路,并对各种方法进行比较,方法一主要是要估 算 的 运用,而方法二是方程思想的应用。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载实际应用学生
4、先独立思考,然后师生共同讨论解题过程解:设平均每只母牛和每只小牛1 天各约需用饲料xkg 和 ykg. 找出相等关系列方程组94020426751530yxyx解这个方程组,得520yx这就是说,平均每只母牛和每只小牛1 天各约需用饲料20kg 和5kg. 饲养员李大叔对母牛的食量估计正确,对小牛的食量估计不正确分步到位,渗透 模 型 化 的 思想。规 范 解 题 步骤,培养学生有条理地思考、表达的习惯。让学生认识到检验的重要性,并 学 会 正 确 作答。拓广探索比较分析设问 2:以上问题还能列出不同的方程组吗?结果是否一致?个别学生可能会列出如下方程组2655126751530yxyx但结果
5、一致比较分析,加深对 方 程 组 的 认识。课堂练习一千零一夜中有这样一段文字:有一群鸽子,其中一部分在树上欢歌,另一部分在地上觅食树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说:“若从你们中飞上来一只,则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3 ;若从树上飞下去一只,则树上、树下的鸽子就一样多了”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?出示古典名题一方面及时巩固用方程组解决实际问题的过程,另一方面让学生感受数学文化。小结与作业小结提高提问:通过这节课的学习,你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤?学生思考后回答、整理:设未知数找相等关系列方程组检验并作答以问题的形式出现,引导学生思考、交流,梳理所学知识,建立起符合自身认识
6、特 点 的 知 识 结构训练口头表达能力,养成及时归纳总结的良好学习习惯布置作业1、 必做题:教科书116 页习题 8.3 第 1(1)3、5 题。2、 选做题:教科书112 页习题 8.3 第 8 题。本课教育评注(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想)从实际问题出发,通过分析实际问题中的数量关系,列出二元一次方程组这种数学模型,通过对方程组解的检验,让学生认识到检验不仅要检查求得的解是否适合方程组中的每一个方程,而且还要考查所得的解答是否符合实际问题的要求,初步体验用方程组解决实际问题的全过程在重视方程的应用价值的同时关注其文化内涵给出一千零一夜(希腊文集)中的数学名题,使学生在数学知识和
7、能力得到提高的同时能够感受到数学文化的熏陶实际问题数学问题(二元一次方程组)设未知数列方程组名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载第二课时 8.3 再探实际问题与二元一次方程(2) 教学目标1、经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型;2、能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组;3、学会开放性地寻求设计方案,培养分析教学难点用方程组刻画和
8、解决实际问题的过程。知识重点经历和体验用方程组解决实际问题的过程。教学过程(师生活动)设计理念创设情境前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程,其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决(出示问题)据以往的统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1:1 :5,现要在一块长200 m,宽 100 m 的长方形土地上种植这两种作物,怎样把这块地分为两个长方形,使甲、乙两种作物的总产量的比是 3:4( 结果取整数 )?以学生身边的实际 问 题 展 开 学习,突出数学与现实的联系,培养学生用数学的意识。探索分析研究策略以上问题有哪些解法?学生自主探索,合作交流,整理思路:(1) 先确定有
9、两种方法分割长方形;再分别求出两个小长方形的面积;最后计算分割线的位置(2) 先求两个小长方形的面积比,再计算分割线的位置(3) 设未知数,列方程组求解学生经讨论后发现列方程组求解较为方便多 角 度 分 析 问题,多策略解决问题,提高思维的发散性。拓展探究综合应用学生在手工实践课中,遇到这样一个问题:要用20 张白卡纸制作包装纸盒,每张白卡纸可以做盒身2 个,或者做盒底盖3 个,如果1 个盒身和2 个盒底盖可以做成一个包装纸盒,那么能否将这些白卡纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒底盖,使做成的盒身和盒底盖正好配套?请你设计一种分法按以下步骤展开问题的讨论:(l )学生独立思考,构建数学模型
10、 (2) 小组讨论达成共识(3)学生板书讲解(4)对方程组的解进行探究和讨论,从而得到实际问题的结果(5) 针对以上结论,你能再提出几个探索性问题吗?以学生学习生活中遇到的问题展开讨论,巩固用二元一次方程组解决实际问 题 的 一 般 过程,并不断提高分 析 问 题 的 能力 安 排 开 放题,以利于培养学生探索精神和创新意识小结与作业小结提高提问:通过本节课的讨论,你对用方程解决实际的方法又有何新的认识?学生思考后回答、整理布置作业3、 必做题:教科书116 页习题 8.3 第 1(2) 、4 题。4、 选做题:教科书117 页习题 8.3 第 7 题。5、 备选题:(1)解方程组152363
11、5yxyx分层次布1 作名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载( 2)小颖在拼图时,发现8 个一样大小的矩形(如图1 所示),恰好可以拼成一个大的矩形小彬看见了,说: “我来试一试 ”结果小彬七拼八凑,拼成如图2那样的正方形咳,怎么中间还留下一个洞,恰好是边长2 mm 的小正方形!你能帮他们解开其中的奥秘吗?提示学生先动手实践,再分析讨论业其中“必做题”面向全体学 生 , 巩 固 知识、方法,加深理
12、解厂选做题”面向部分学有余力的学生,给他们一定 的 时 间 和 空间,相互合作,自主探究,增强实践能力备选通供教师参考本课教育评注(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想)本课所提供的例题、练习题、作业题突出体现以下特点: 1 、活动性学生在图形分割、手工操作、拼图游戏中展开数学问题的讨论,更具趣味性,学生在玩中学、做中学,在增强能力的同时,收获快乐2、探索性问题解决的策略不易获得,问题中的数量关系不易发现,问题中的未知数不易设定,这为学生开展探究活动提供了机会3、开放性解决问题的策略、方法、问题的结论的开放性设计,意在增强学生的创新意识和培养勇于挑战、克服困难的能力第三课时 8.4 三元一次方
13、程组解法举例(1)教师寄语学习知识要善于思考,思考 ,再思考 .我就是靠这个方法成为科学家的。(爱因斯坦 ) 学习目标1、了解三元一次方程组的定义;2、掌握三元一次方程组的解法;3、进一步体会消元转化思想学习内容基本要求1. 体现学习的主要内容;2.典型例题;3. 精选练习; 4.课堂达标检测。学 习 的 主 要 内 容学 习 笔 记一、创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节要研究的内容活动 1 纸币问题小明手头有12 张面额分别是1 元、2 元、5 元的纸币,共计22 元,其中 1 元纸币的数量是2 元纸币数量的4 倍求 1 元、 2元、 5 元的纸币各多少张?若设 1 元、 2 元、 5 元
14、的纸币分别是x 张、y 张、z 张,根据题意可以得到三个方程分别是:这个问题的解必须同时满足上面三个条件,因此可以把三个方程合在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载一起写成的形式。归纳总结 ; 三元一次方程组:含有三个相同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是,并且一共有个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组活动 2 讨论如何解三元一次方程组自学课本第112页到 113页例 2 上面,并完成
15、下面问题; 1、解三元一次方程组的基本思路是:通过进行消元,把“三元”转化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解,进而再转化为解一元一次方程。2、小组交流三元一次方程组的解法及步骤二、典例讲析例: 解方程组xyzxyzxy12,2522,4 .三、自主练习、巩固新知1解下列三元一次方程组(1)xyyzzx29,3,247.(2)xyzxyzxyz34,2312,6.四、能力提升 :自学课本113例 2,并解决以下问题甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2 倍比乙数大5,乙数的三分之一等于丙数的二分之一求这三个数五、达标检测:1若.3,2, 1zxzyyx则xyz_2代数式ax2bxc,当x1 时
16、值为 0,当x2 时值为3,当x3 时值为 28,则这个代数式是_3、解下列三元一次方程组(1)432187xyzxyzxyz4327(2)64621xyzxyzxyz同学们:你还有什么不明白的地方吗?请记下来,及时解决。第四课时名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 8.4 (2)教学目标1、进一步经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型;2、会用列表的方式分析问题中
17、所蕴涵的数量关系,列出三元一次方程组;3、培养分析问题、解决问题的能力,进一步体会三元一次方程组的应用价值教学难点借助列表分问题中所蕴含的数量关系。知识重点用列表的方式分析题目中的各个量的关系。教学过程(师生活动)设计理念创设情境最近几年,全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面,为疏导电价矛盾,促进居民节约用电、合理用电,各地出台了峰谷电价试点方案电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大,而夜里人们休息时用电比较小,所以通常白天的用电称为是高峰用电,即8:00 22:00 ,深夜的用电是低谷用电即22:00 次日8:00. 若某地
18、的高峰电价为每千瓦时0.56 元;低谷电价为每千瓦时。 28 元八月份小彬家的总用电量为125 千瓦时,总电费为49 元,你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗?学生独立思考,容易解答以一道生活热点问题引入,具有现实意义激发学生学习兴趣,同时培养学生节约、合理用电的意识理 解 题 意 是 关健通过该题,旨在培养学生的读题能力和收集信息能力探索分析解决问题(出示例题)如图,长青化工厂与A,B 两地有公路、铁路相连这家工厂从A 地购买一批每吨1 000 元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B 地公路运价为1. 5元(吨千米),铁路运价为1.2元(吨千米) ,这两次运输共支出公
19、路运费15000 元,铁路运费97200 元这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?(图见教材115 页,图 8.3-2 )学生自主探索、合作交流设问 1. 如何设未知数?销售款与产品数量有关,原料费与原料数量有关,而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关因此设产品重x吨,原料重y 吨设问 2. 如何确定题中数量关系?列表分析产品 x 吨原料 y 吨合计公路运费(元)铁路运费(元)价值(元)由上表可列方程组本 例 所 涉 及 的 数 据 较多 , 数 量 关 系 较 为 复杂,具有一定挑战性,能 激 发 学 生 探 索 的 热情通过讨论让学生认识到合理设定未知数的愈义借助表格辅助分
20、析题中较复杂的数量关系,不失为一种好方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载972001201102. 11500010205. 1yxyx解这个方程组,得400300yx因为毛利润销售款原料费运输费所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800 元. 引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的学生讨论、分析:合理设定未知数,找出相等关系。课堂练习反馈调控某瓜果基地生产一种特色水果,若在市场上
21、每吨利润为1000元;经粗加工后销售,每吨利润增为4500 元;经精加工后销售,每吨利润可达7500 元。一食品公司购到这种水果140 吨,准备加工后上市销售该公司的加工能力是:每天可以精加工6 吨或者粗加工16 吨,但两种加工方式不能同时进行受季节等条件限制,公司必须将这批水果全部销售或加工完毕,为此公司研制二种可行的方案:方案一:将这批水果全部进行粗加工;方案二:尽可能多对水果进行精加工,没来得及加工的水果在市场上销售;方案三:将部分水果进行精加工,其余进行粗加工,并恰好15 天完成你认为选择哪种方案获利最多?为什么?学生合作讨论完成选择经济领城问题让学生展开讨论,增强市场经济意识和决策能
22、力,同时巩固二元一次方程组的应用小结与作业小结提高1、在用一元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设定未知数,可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?2、小组讨论,试用框图概括“用一元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程学生思考、讨论、整理这是第一次比较完整地用框图反映实际问题与二 元 一 次 方 程 组 的 关系让学生结合自己的解题过程 概 括 整 理 , 帮 助 理解,培养模型化的思想和应用数学于现实生活的意识布置作业6、 必做题:教科书116 页习题 8.3 第 2、6 题。7、 选做题:教科书117 页习题 8.3 第 9 题。8、 备选题:( 1)一批蔬菜要运往某批发市场,菜农准备
23、租用汽车公司的甲、乙两种货车已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示甲种货车(辆)乙种货车(辆)总量(吨)第1次4 5 28.5 第2次3 6 27 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载这批蔬菜需租用5 辆甲种货车、2 辆乙种货车刚好一次运完,如果每吨付20 元运费,问:菜农应付运费多少元? (2)某学校现有学生数1290 人,与去年相比,男生增加20,女生减少10,学生总数增加7. 5 ,问现
24、在学校中男、女生各是多少?本课教育评注(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想)本课探究的问题信息量大,数量关系复杂,未知数不容易设定,对学生来说是一种挑战,因此安排学生合作学习学生先独立思考,自主探索,然后在小组讨论中合理设定未知数,借助表格分析题中的数量关系,列出方程组求得问题的解在本节的小结中,让学生结合自己的解题过程概括整理实际问题与二元一次方程组的关系,并比较完整地用框图反映,培养模型化的思想同时本节向学生提供了社会热点问题、经济问题等现实、具有挑战性的、富有数学意义的学习素材,让学生展开数学探究,合作交流,树立数学服务于生活、应用于生活的意识第五课时第八章小结与思考学习目标1. 使学
25、生熟练掌握二元一次方程组的解法. 2. 体会方程组的价值,感受数学文化. 学习难点掌握解二元一次方程组的基本思路. 教学过程一复习引入:学生回忆解二元一次方程组的基本思路.(1)代入消元(2)加减消元二基础练习:1. 下列各组 x,y 的值是不是二元一次方程组52243yxyx的解?(1)12yx(2)22yx(3)13yx2. 已知二元一次方程组byxayx22的解53yx求 a,b 的值. 3. 根据下表中所给的x 值以及 x 与 y 的关系式,求出相应的y 值,然后填入表内:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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