2022年《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习提高带答案 .pdf
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1、学习必备欢迎下载锐角三角函数全章复习与巩固- 知识讲解(提高)【学习目标】1. 了解锐角三角函数的概念,能够正确使用sinA 、cos A 、tanA 表示直角三角形中两边的比;记忆30、45、 60的正弦、余弦和正切的函数值,并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数;2能够正确地使用计算器,由已知锐角的度数求出它的三角函数值,由已知三角函数值求出相应的锐角的度数;3理解直角三角形中边与边的关系,角与角的关系和边与角的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形,并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题;4通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函
2、数的变化与对应的思想,通过解直角三角的学习,体会数学在解决实际问题中的作用,并结合实际问题对微积分的思想有所感受. 【知识网络】【要点梳理】 要点一、锐角三角函数1. 正弦、余弦、正切的定义如右图、在RtABC中, C=90 ,如果锐角A确定: (1)sinA=,这个比叫做A的正弦 . (2)cosA=,这个比叫做A的余弦 . (3)tanA=,这个比叫做A的正切 . 要点诠释:(1) 正弦、 余弦、 正切是在一个直角三角形中定义的,其本质是两条线段的比值,它只是一个数值,其大小只与锐角的大小有关,而与所在直角三角形的大小无关. (2)sinA 、cosA、tanA 是一个整体符号,即表示A三
3、个三角函数值,书写时习惯上省略符号“”,但不能写成sin A,对于用三个大写字母表示一个角时,其三角函数中符号 “”不能省略, 应写成 sin BAC ,而不能写出sinBAC. (3)sin2A表示 (sinA)2, 而不能写成sinA2. (4) 三角函数有时还可以表示成等. 2. 锐角三角函数的定义锐角 A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数. 要点诠释:1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值,sinA 有唯一确定的值与它对应,所以 sinA 是 A的函数 . 同样,cosA、tanA 也是 A的函数,其中A是自变量, sinA 、cosA、tanA 分别是对应的函数. 其
4、中自变量 A的取值范围是0 A 90,函数值的取值范围是0sinA 1, 0cosA1,tanA 0. 2锐角三角函数之间的关系:余角三角函数关系:“正余互化公式”如 A+B=90,那么: sinA=cosB ; cosA=sinB ;同角三角函数关系:sin2Acos2A=1;tanA=3.30 、 45、 60角的三角函数值A 304560名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载s
5、inA cosA tanA 1 30、 45、 60角的三角函数值和解30、60直角三角形和解45直角三角形为本章重中之重,是几何计算题的基本工具,三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 要点二、解直角三角形在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系,如图:角角关系:两锐角互余,即A+B=90;边边关系:勾股定理,即;边角关系:锐角三角函数,即要点诠释:解直角三角形,可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形:(1) 已知两条边 ( 一直角边和一斜边;两直角边);(2) 已知一条边和一个锐角( 一直角边和一锐角;斜边和一锐角)
6、 这两种情形的共同之处:有一条边因此,直角三角形可解的条件是:至少已知一条边要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1. 解这类问题的一般过程(1) 弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型 . (2) 将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3) 根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形) 元素 ( 边、角 ) 之间的关系解有关的直角三角形.
7、(4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解. 2. 常见应用问题(1) 坡度:; 坡角 :. (2) 方位角:名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(3) 仰角与俯角:要点诠释: 1解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤RtABC 两边两直角边 (a ,b) 由求 A,B=90 A,斜边,一直角边( 如 c,a) 由求 A,B=90 A,一边一角一直
8、角边和一锐角锐角、邻边( 如 A,b) B=90 A,锐角、对边( 如 A,a) B=90 A,斜边、锐角 ( 如 c, A) B=90 A,2用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是:把实际问题抽象成数学问题( 解直角三角形) ,就是要舍去实际事物的具体内容,把事物及它们的联系转化为图形( 点、线、角等) 以及图形之间的大小或位置关系借助生活常识以及课本中一些概念( 如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等) 的意义,也有助于把实际问题抽象为数学问题当需要求解的三角形不是直角三角形时,应恰当地作高,化斜三角形为直角三角形再求解3锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性,适用于所有形
9、状的三角形,而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题,所以在直角三角形中先考虑三角函数,可以使过程简洁。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载如:射影定理不能直接用,但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单:【典型例题】类型一、锐角三角函数1在 RtABC中, C90,若将各边长度都扩大为原来的2倍,则 A的正弦值是 ( ) A扩大 2 倍 B缩小 2 倍 C扩大 4 倍 D不变【答
10、案】 D;【解析】 根据AsinA的对边斜边知 sin A的值与 A的大小有关,与A的对边斜边的比值有关当各边长度都扩大为原来的2 倍时,其A的对边斜边的比值不变故选D. 【总结升华】锐角三角函数正弦、余弦和正切反映了直角三角形中边与边的关系举一反三:【变式 1】已知,如图,ABC中,CEAB,BDAC,25DEBC,求 cosA及 tanA【答案】 易证点 B、 C、D、E四点共圆,ADE ABC , cosA=2,5ADDEABBC tanA=21.2BDAD变式 2】如图所示,已知ABC是 O的内接三角形,AB c,AC b,BC a,请你证明sinsinsinabcABC 1ABCDE
11、 2【答案】证明: O是 ABC的外接圆,设圆的半径为R ,连结 AO并延长交 O于点 D,连结 CD ,则 B D AD是 O的直径,ACD 90即 ADC为直角三角形sinsin2ACbBDADR,2sinbRB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载同理可证:2sinaRA,2sincRC2sinsinsinabcRABC类型二、特殊角三角函数值的计算2已知 a3,且21(4ta
12、n 45)302bbc,则以 a、b、c 为边长的三角形面积等于( ) A6 B 7 C8 D9【答案】 A;【解析】 根据题意知4tan450,130,2bbc解得4,5.bc所以 a3,b4,c5,即222abc,其构成的三角形为直角三角形,且C90,所以162Sab【总结升华】 利用非负数之和等于0 的性质,求出b、c 的值,再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形,注意 tan45 的值不要记错举一反三:【变式】 计算:tan60tan45tan60tan452sin60【答案】 原式 =313223 1 =2 333类型三、解直角三角形3 如图所示, 在等腰 RtABC中, C9
13、0,AC 6, D是 AC上一点,若1tan5DBA, 则 AD的长为 ( )A2 B3 C2 D 1【思路点拨】如何用好1tan5DBA是解题关解,因此要设法构造直角三角形,若所求的元素不在直角三角形中,则应将它转化到直角三角形中去,转化的途径及方法很多,如可作辅助线构造直角三角形,或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等【答案】 A; 【解析】作 DEAB于点 E因为 ABC为等腰直角三角形,所以A 45,所以 AEDE 又设 DE x,则 AE x,由1tan5DEDBAEB知 BE 5x,所以 AB 6x,由勾股定理知AC2+BC2AB2,所以 62+62 (6x)2,2x, A
14、D 2AE 222【总结升华】 在直角三角形中,若已知两边,宜先用勾股定理求出第三边,再求锐角三角函数值;若已知一边和角,应先求另一角,再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解类型四、锐角三角函数与相关知识的综合4如图所示,直角ABC中, C90,AB 2 5,sin B55,点 P为边 BC上一动点, PD AB ,PD交 AC于点 D,连接 AP , (1)求 AC ,BC的长; (2) 设 PC的长为 x, ADP的面积为y,当 x 为何值时, y 最大,并求出最大值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习
15、资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【思路点拨】(1) 在 Rt ABC中,由 AB 2 5, sin B 55ACAB,易得 AC 2,再由勾股定理求BC (2)12ADPSADPC,只要把AD用 x 表示即可求出ADP的面积 y,由 PD AB可得PCCDBCAC,从而求出12CDx,则122ADx【答案与解析】 (1)在 Rt ABC中,由5sin5B, AC2,由勾股定理得BC 4(2)PD AB ,ABC DPC ,12DCA CPCBCPC x,则2211112(2)1224
16、4yxxxxx,当 x2 时, y 有最大值,最大值是1【总结升华】近几年,锐角三角函数与圆、函数、相似三角形以及方程相结合的题目在各地中考试题中出现的频率越来越大如圆中的垂径定理,直径所对的圆周角都出现了直角或直角三角形在函数中,在直角坐标系中求点的坐标,离不开求直角三角形两直角边的问题,相似三角形中可将有些元素进行转换或替代举一反三:【变式 】如图, 设P是矩形ABCD的AD边上一动点,PEAC于点E,PFBD于F,3AB,4AD求PEPF的值【答案】 如图, sin 1=.PEPA sin 2=.PFPD由矩形 ABCD 知 1=2,则 PE=PAsin 1,PF=PDsin2,sin
17、1=CD3=AC5,所以 PE+PF= PAsin1+ PDsin 2=(PA+PD )sin 1=3124=55类型五、三角函数与实际问题5某乡镇中学教学楼对面是一座小山,去年“联通”公司在山顶上建了座通讯铁塔甲、乙两位同学想测出铁塔的高度,他们用测角器作了如下操作:甲在教学楼顶A 处测得塔尖M的仰角为 ,塔座 N 的仰角为 ;乙在一楼B处只能望到塔尖M , 测得仰角为 ( 望不到底座 ) , 他们知道楼高AB20 m , 通过查表得:tan0.572 3,tan0.2191 ,tan 0.7489 ,请你根据这几个数据,结合图形推算出铁塔高度MN的值名师归纳总结 精品学习资料 - - -
18、- - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【答案与解析】如图所示,设地平线BD 、水平线AE分别交直线MN于 D、E,显然 AE BD ,不妨设为m ,则在 Rt AEM 中,ME mtan, 在 RtAEN中,NE mtan MN m(tan tan ) 在 RtBDM 中,MD mtan,而 AB DE MD ME m(tan tan ),tantanABm,(tantan)tantanABMN将 AB 20(m),tan
19、0.5723 ,tan0.2191 ,tan0.7489 代入得 MN 40(m)可测得铁塔的高度MN 40m.【总结升华】构造直角三角形,把实际问题转化为解直角三角形问题. 6如图所示,帆船A和帆船 B在太湖湖面上训练,O为湖面上的一个定点,教练船静候于O点训练时要求A,B两船始终关于O点对称以O为原点,建立如图所示的坐标系,x 轴, y 轴的正方向分别表示正东、正北方向设A,B 两船可近似看成在双曲线4yx上运动湖面风平浪静,双帆远影优美训练中当教练船与A,B 两船恰好在直线yx 上时, 三船同时发现湖面上有一遇险的C船,此时教练船测得C船在东南45方向上, A船测得 AC与 AB的夹角为
20、60, B船也同时测得C船的位置 (假设 C船位置不再改变,A ,B,C三船可分别用A,B, C三点表示 ) (1)发现 C船时,A, B, C三船所在位置的坐标分别为A(_, _) , B(_ , _) 和 C(_,_) ; (2)发现 C 船,三船立即停止训练,并分别从A,O,B 三点出发沿最短路线同时前往救援,设A, B 两船的速度相等,教练船与A船的速度之比为3:4 ,问教练船是否最先赶到?请说明理由【思路点拨】作 AD x 轴, 在等腰直角三角形ADO 中 结合点 A在4yx上, 不难求出A点坐标,而 B与 A关于原点对称 注意到 ABC为等边三角形,连OC ,作 CH x 轴解直角
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