重积分例题.doc
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1、精品文档,仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除第10章 重积分一、内容分析与教学建议重积分和定积分一样,都是来自实践中非均匀求和的需要,各种积分是不同维数空间的具体表现,因此教学中要从实例引出概念,且重点讲透二重积分概念和计算,避免平均使用力量(一) 重积分概念及性质关于重积分的概念,可由曲顶柱体或平面薄片质量等实例,在回顾定积分定义的基础上,通过分割、近似、求和、取极限来建立,至于性质的证明,可略讲。关于三重积分的概念和性质,和二重积分类似,教学上不必花较多时间。(二) 重积分的计算重积分一般都是化为累次积分来计算的,转化的关键是确定积分的上下限。对于二重积分,在推出直角坐标和极坐标的计算
2、公式之后,应多举些例题,重点讲解画图,解不等式定限法及选择积分顺序及坐标系等技巧。关于三重积分,这部分内容比较复杂,教学上应细致。计算方法有直角坐标、柱面坐标和球面坐标法。对于直角坐标,除了讲解一般方法(先一后二法),还应介绍先二后一法。关于极坐标和球面坐标,首先应讲清这些坐标的含义及一些常用曲面的表示方法,然后在此基础上,结合几何意义,讲解定限及积分计算的具体方法。重积分的具体计算,通常要考虑到以下几个方面,选择合适的坐标系及恰当的积分顺序,确定积分的上下限,正确使用对称性(见附后),最后可通过一些综合例子,加强这方面理解和训练。(三) 重积分应用首先要结合二重积分概念讲清微元法思想及方法,
3、其次要结合足够实例,使学生掌握用重积分来计算几何量(如面积体积等)及 物理量(重心、转动惯量等)。附:二重积分的对称性质一般的本科教材中都末具体给出,但在计算积分中经常用到,现补充如下:结论1:如果积分区域关于对称,则结论2:如果积分区域关于轴对称,则结论3:如果积分区域关于坐标原点对称,则 其中结论4:如果积分区域关于直线对称,则 三重积分的对称性,由教师自己给出。二、补充例题例1. 利用二重积分性质,估计积分 的值,其中是图形区域:解法1. 首先求在上的最小值和最大值 由于,令,得驻点, 的边界,此时解法2:由积分中值定理,在上至少,使 其中,且()例2 求,其中解: 如图,曲线把区域分为
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