2022年初中数学专题特训第十九讲:解直角三角形 .pdf
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1、2013 年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义:在 RE ABC 中, C=900, A、 B、 C 的对边分别为a、b、c,则 A 的正弦可表示为: sinA= , A的余弦可表示为CBA= A 的正切:tanA= ,它们弦称为A 的锐角三角函数【赵老师提醒:1、sinA、 cosA、tanA 表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围sinA cosA 】二、特殊角的三角函数值:sin cos tan 300450600【赵老师提醒:1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解
2、的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系:sinA+cos2A= ,tanA=sin A若 A+B=900,则 sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形:1、定义: 由直角三角形中除直角外的个已知元素, 求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据:RTABC 中, C900 三边分别为a、b、c 三边关系:两锐角关系边角之间的关系:sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【赵老师提醒:解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系
3、解决】3、解直角三角形应用中的有关概念仰角和俯角:如图:在用上标上仰角和俯角坡度坡角:如图:斜坡 AB 的垂 直度 H 和水平宽度L 的比叫做坡度,用i 表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母 表示,则 i=hl= 方位角:是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图: OA 表示OB 表示OC 表示(也可称西南方向)3、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤:把实际问题抓化为数字问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 29 页根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角
4、三角形解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【赵老师提醒:在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一:锐角三角函数的概念例 1 (2012?内江) 如图所示, ABC 的顶点是正方形网格的格点,则 sinA 的值为 ()A12B55C1010D2 55思路分析:利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答解:如图:连接CD 交 AB 于 O,根据网格的特点,CDAB ,在 RtAOC 中,CO=2211=2;AC=2213=10;则 sinA=OCAC=25510故选 B点评: 本题考查了锐
5、角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD 并利用网格构造直角三角形是解题的关键对应训练1( 2012?贵港)在平面直角坐标系中,已知点A(2,1)和点 B(3,0),则 sinAOB的值等于()A55B52C32D121A 考点: 锐角三角函数的定义;坐标与图形性质;勾股定理 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页专题: 计算题 分析:过 A 作 ACx 轴于 C,利用 A 点坐标为( 2,1)可得到 OC=2,AC=1 ,利用勾股定理可计算出OA ,然后根据正弦的定义即可得到sinAOB 的值解答:解:如图过A 作
6、 AC x 轴于 C,A 点坐标为( 2,1),OC=2,AC=1 ,OA=22OCAC=5,sinAOB=1555ACOA故选 A点评: 本题考查了正弦的定义:在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值也考查了点的坐标与勾股定理考点二:特殊角的三角函数值例 2 ( 2012?孝感)计算: cos245 +tan30 ?sin60 =思路分析:将cos45 =22,tan30 = 33,sin60 = 32代入即可得出答案解: cos245 +tan30 ?sin60 =12+3332=12+12=1故答案为: 1点评: 此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题, 熟练记忆一些
7、特殊角的三角函数值是解答本题的关键对应训练(2012?南昌)计算:sin30 +cos30?tan60思路分析:分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可解:原式 =13322=1322=2点评: 本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键考点三:化斜三角形为直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页例 3 ( 2012?安徽)如图,在ABC 中, A=30 , B=45 ,AC=23,求 AB 的长6思路分析:过C 作 CDAB 于 D,求出 BCD=
8、 B,推出 BD=CD ,根据含30 度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD ,相加即可求出答案解:过 C 作 CDAB 于 D, ADC= BDC=90 , B=45 , BCD= B=45 ,CD=BD , A=30 ,AC=23,CD=3,BD=CD=3,由勾股定理得:AD=22ACCD=3,AB=AD+BD=3+3,答: AB 的长是 3+3点评:本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30 度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目对应训练3( 2012?重庆)如图,在RtABC 中, BAC=90,点 D 在 B
9、C 边上,且 ABD 是等边三角形若AB=2 ,求 ABC 的周长(结果保留根号)3考点: 解直角三角形; 三角形内角和定理;等边三角形的性质;勾股定理 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 29 页专题: 计算题 分析:根据等边三角形性质求出B=60 ,求出 C=30 ,求出 BC=4 ,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案解答:解:ABD 是等边三角形, B=60 , BAC=90 , C=180 -90 -60 =30 ,BC=2AB=4 ,在 RtABC 中,由勾股定理得:AC=2222422 3BCAB, ABC
10、的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23答: ABC 的周长是6+23点评:本题考查了勾股定理,含30 度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目考点四:解直角三角形的应用例 4 (2012?张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中 B=D=90 ,AB=BC=15 千米,CD=3 2千米,请据此解答如下问题:(1)求该岛的周长和面积; (结果保留整数,参考数据21.414 ,31.73 ,62.45 )(2)求 AC
11、D 的余弦值考点:解直角三角形的应用分析: (1)连接 AC ,根据 AB=BC=15 千米, B=90 得到 BAC= ACB=45 AC=152千米,再根据 D=90 利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积;(2)直接利用余弦的定义求解即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 29 页解: (1)连接 AC AB=BC=15 千米, B=90 BAC= ACB=45 AC=152千米又 D=90 AD=22-ACCD=22(15 2)(3 2)12 3(千米)周长 =AB+BC+CD+DA=30+32+123=30+
12、4.242+20.78455 (千米)面积 =SABC+18 6 157(平方千米)(2)cosACD=CD3 21=AC515 2点评: 本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解对应训练6 (2012?益阳)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离 (AC ) 为 30 米这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8 秒,BAC=75 (1)求 B、C 两点的距离;(2)请判断此车是否超过了益阳大道60
13、千米 /小时的限制速度?(计算时距离精确到1 米,参考数据:sin75 0.9659, cos750.2588, tan753.732,3 1.732 ,60 千米 /小时 16.7 米/秒)考点:解直角三角形的应用专题:计算题分析: (1)由于 A 到 BC 的距离为30 米,可见 C=90 ,根据 75 角的三角函数值求出BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 29 页的距离;(2)根据速度 =路程 时间即可得到汽车的速度,与60 千米 /小时进行比较即可解答:解:( 1)法一:在RtABC 中, ACB=90 , BA
14、C=75 ,AC=30 ,BC=AC?tan BAC=30 tan75303.732112(米)法二:在 BC 上取一点D,连接 AD ,使 DAB= B,则 AD=BD , BAC=75 , DAB= B=15 , CDA=30 ,在 RtACD 中, ACD=90 ,AC=30 , CDA=30 ,AD=60 ,CD=303, BC=60+303112 (米)(2)此车速度=112 8=14(米 /秒) 16.7 (米 /秒) =60(千米 /小时)此车没有超过限制速度点评:本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键【聚焦山东中考】1(2012?济南)如图,在8 4 的矩
15、形网格中,每格小正方形的边长都是1,若 ABC 的三个顶点在图中相应的格点上,则tanACB 的值为()A13B12C22D3 1A 考点: 锐角三角函数的定义专题: 网格型 分析:结合图形,根据锐角三角函数的定义即可求解解答:解:由图形知:tanACB=2163,故选 A点评:本题考查了锐角三角函数的定义,属于基础题,关键是掌握锐角三角函数的定义2 ( 2012?滨州)把 ABC 三边的长度都扩大为原来的3 倍,则锐角 A 的正弦函数值 ()A不变B缩小为原来的13C扩大为原来的3 倍D不能确定2A 分析:由于 ABC 三边的长度都扩大为原来的3 倍所得的三角形与原三角形相似,得到锐角 A
16、的大小没改变,根据正弦的定义得到锐角A 的正弦函数值也不变解答:解:因为ABC 三边的长度都扩大为原来的3 倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角 A 的大小没改变,所以锐角A 的正弦函数值也不变故选 A点评: 本题考查了正弦的定义:在直角三角形中,一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值也考查了相似三角形的判定与性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 29 页3( 2012?烟台)计算:tan45 + 2cos45 = 32 考点: 特殊角的三角函数值分析:首先把特殊角的三角函数值代入,然后进行二次根式的计算即可求解解答:解
17、:原式=1+222=1+1=2 故答案是: 2点评:本题考查了特殊角的三角函数值,正确记忆特殊角的三角函数值是关键4(2012?济宁)在ABC 中, 若 A、 B 满足 |cosA- 12|+ (sinB- 22)2=0, 则 C= 475考点: 特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方;三角形内角和定理 分析:首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA- 12=0,sinB- 22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到A、 B 的度数,再根据三角形内角和为180 算出 C 的度数即可解答:解: |cosA-12|+( sinB-22)2=0,cosA- 12=0,sin
18、B-22=0,cosA=12,sinB=22, A=60 , B=45 ,则 C=180 -A- B=180 -60 -45 =75 ,故答案为: 75 点评: 此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值5 (2012?潍坊)校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l 上确定点D,使 CD 与 l 垂直,测得CD 的长等于21 米,在 l 上点 D的同侧取点A、B,使 CAD=30 , CBD=60 (1)求 AB 的长
19、(精确到0.1 米,参考数据:3=1.73,2=1.41) ;(2)已知本路段对校车限速为40 千米 /小时,若测得某辆校车从A 到 B 用时 2 秒,这辆校车是否超速?说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 29 页5考点:解直角三角形的应用分析:(1)分别在 RtADC 与 RtBDC 中,利用正切函数,即可求得AD 与 BD 的长,继而求得AB 的长;(2)由从 A 到 B 用时 2 秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40 千米 /小时的大小,即可确定这辆校车是否超速解答:解:( 1)由題意得,在 RtADC 中,
20、 AD=CD21 =21 3 tan3033=36.33,在 RtBDC 中, BD=CD21 =73 tan303=12.11,则 AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22 24. 2(米) 。(2)汽车从A 到 B 用时 2 秒,速度为24.2 2=12.1(米 /秒) ,12.1 3600=43560,该车速度为43.56 千米 /小时,大于 40 千米 /小时,此校车在AB 路段超速点评: 此题考查了解直角三角形的应用问题此题难度适中, 解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解,注意数形结合思想的应用6 ( 2012?青岛)如图,某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD,当光线
21、与地面的夹角是22时,教学楼在建筑物的墙上留下高2 米的影子CE;而当光线与地面夹角是45 时,教学楼顶 A 在地面上的影子F 与墙角 C 有 13 米的距离( B、F、C 在一条直线上)(1)求教学楼AB 的高度;(2)学校要在A、E 之间挂一些彩旗,请你求出A、E 之间的距离(结果保留整数)(参考数据: sin22 38,cos221516,tan2225)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 29 页6考点:解直角三角形的应用分析: (1)首先构造直角三角形AEM , 利用 tan22 =AMME,求出即可;(2)利用
22、RtAME 中, cos22 =MEAE,求出 AE 即可解: (1)过点 E 作 EM AB,垂足为M设 AB 为 xRt ABF 中, AFB=45,BF=AB=x ,BC=BF+FC=x+13 ,在 RtAEM 中, AEM=22 ,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,tan22 =AMME,则 x-2 x+13 =2 5 ,解得: x=12即教学楼的高12m(2)由( 1)可得 ME=BC=x+13=12+13=25 在 RtAME 中, cos22 =MEAEAE=ME cos22 25 15 16 27 ,即 A、E 之间的距离约为27m点评:此题主要考查了解直角三角形的应用,根
23、据已知得出tan22 =AMME是解题关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 29 页【备考真题过关】一、选择题1.(2012?哈尔滨)如图,在RtABC 中, C=90 ,AC=4,AB=5 ,则 sinB 的值是()A23B35C34D451.D 考点: 锐角三角函数的定义分析:根据锐角三角函数的定义得出sinB= ACAB,代入即可得出答案解答:解:在ABC 中, C=90 ,AC=4 ,AB=5,sinB=ACAB=45,故选 D点评:本题考查了锐角三角函数的定义的应用,主要考查学生对锐角三角函数的定义的理解和记忆
24、,题目比较典型,难度适中2(2012?青海)如图,在RtABC 中, CD 是斜边 AB 上的中线,已知CD=5 ,AC=6,则tanB 的值是()A45B35C34D432考点: 锐角三角函数的定义;直角三角形斜边上的中线;勾股定理 分析: 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB 的长度, 再利用勾股定理求出BC 的长度,然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答解答:解: CD 是斜边 AB 上的中线, CD=5,AB=2CD=10 ,根据勾股定理,BC=22ABAC=22106=8,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页
25、,共 29 页tanB=ACBC=68=34故选 C点评:本题考查了锐角三角函数的定义,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理的应用,在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边应熟练掌握3 (2012?宁波) 如图,在 RtABC 中,C=90 ,AB=6,cosB= 23,则 BC 的长为 ()A4 B2 5C18 1313D12 13133考点: 锐角三角函数的定义分析:根据cosB= 23,可得CBAB= 23,再把 AB 的长代入可以计算出CB 的长解答:解: cosB=23,CBAB=23,AB=6 ,CB=23 6=4,故选: A点评:
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